Viết Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng

Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình bao quát của con đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy thông qua lý thuyết và những ví dụ minh họa có giải mã chi tiết.

Bạn đang xem: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của con đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:+ Điểm $A(x_0;y_0) in Delta $.+ Một vectơ pháp tuyến $overrightarrow n left( a;b ight)$ của $Δ.$Khi kia phương trình tổng thể của $Δ$ là $aleft( x – x_0 ight) + bleft( y – y_0 ight) = 0$.Chú ý:a. Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0$, $a^2 + b^2 e 0$ nhận $overrightarrow n left( a;b ight)$ làm vectơ pháp tuyến.b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT con đường thẳng này cũng chính là VTPT của mặt đường thẳng kia.c. Phương trình con đường thẳng $Δ$ qua điểm $Mleft( x_0;y_0 ight)$ có dạng $Δ$: $aleft( x – x_0 ight) + bleft( y – y_0 ight) = 0$ với $a^2 + b^2 e 0$. Đặc biệt:+ Nếu đường thẳng $Δ$ tuy nhiên song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = x_0$.+ Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – y_0 = kleft( x – x_0 ight)$.d. Phương trình con đường thẳng đi qua $Aleft( a;0 ight), Bleft( 0;b ight)$ với $ab e 0$ có dạng $fracxa + fracyb = 1$.

Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC$ biết $Aleft( 2;0 ight), Bleft( 0;4 ight), C(1;3)$. Viết phương trình bao quát của:a. Đường cao $AH$.b. Đường trung trực của đoạn trực tiếp $BC$.c. Đường trực tiếp $AB$.d. Đường trực tiếp qua $C$ và tuy nhiên song với con đường thẳng $AB$.

a. Vì $AH ot BC$ nên $overrightarrow BC $ là vectơ pháp con đường của $AH.$Ta có $overrightarrow BC left( 1; – 1 ight)$ suy ra ngoài đường cao $AH$ đi qua $A$ cùng nhận $overrightarrow BC $ là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.left( x – 2 ight) – 1.left( y – 0 ight) = 0$ hay $x – y – 2 = 0$.b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ đi qua trung điểm $BC$ và dìm vectơ $overrightarrow BC $ làm vectơ pháp tuyến.Gọi $I$ là trung điểm $BC$ khi đó $x_I = fracx_B + x_C2 = frac12$, $y_I = fracy_B + y_C2 = frac72$ $ Rightarrow Ileft( frac12;frac72 ight)$.Suy ra phương trình bao quát của đường trung trực $BC$ là:$1.left( x – frac12 ight) – 1.left( y – frac72 ight) = 0$ hay $x – y + 3 = 0$.c. Phương trình tổng quát của con đường thẳng $AB$ có dạng $fracx2 + fracy4 = 1$ hay $2x + y – 4 = 0$.d. Giải bởi 2 biện pháp sau:Cách 1: Đường thẳng $AB$ có VTPT là $overrightarrow n left( 2;1 ight)$ do đó vì đường thẳng bắt buộc tìm tuy nhiên song với mặt đường thẳng $AB$ nên nhận $overrightarrow n left( 2;1 ight)$ làm VTPT cho nên vì vậy có phương trình tổng thể là $2.left( x – 1 ight) + 1.left( y – 3 ight) = 0$ hay $2x + y – 5 = 0$.Cách 2: Đường trực tiếp $Δ$ tuy nhiên song với mặt đường thẳng $AB$ có dạng $2x + y + c = 0$.Điểm $C$ thuộc $Δ$ suy ra $2.1 + 3 + c = 0$ $ Rightarrow c = – 5$.Vậy đường thẳng cần tìm tất cả phương trình tổng quát là $2x + y – 5 = 0$.

Ví dụ 2: cho đường thẳng $d:x – 2y + 3 = 0$ và điểm $Mleft( – 1;2 ight)$. Viết phương trình tổng thể của mặt đường thẳng $Δ$ biết:a. $Δ$ trải qua điểm $M$ và có thông số góc $k = 3$.b. $Δ$ đi qua $M$ và vuông góc với mặt đường thẳng $d$.c. $Δ$ đối xứng với mặt đường thẳng $d$ qua $M$.

a. Đường thẳng $Δ$ có thông số góc $k = 3$ có phương trình dạng $y = 3x + m$.Mặt khác $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = 3.left( – 1 ight) + m$ $ Rightarrow m = 5$.Suy ra phương trình tổng quát đường trực tiếp $Δ$ là $y = 3x + 5$ hay $3x – y + 5 = 0$.b. Ta có $x – 2y + 3 = 0$ $ Leftrightarrow y = frac12x + frac32$ vì vậy hệ số góc của con đường thẳng $d$ là $k_d = frac12$.Vì $Delta ot d$ nên thông số góc của $Δ$ là $k_Delta $ thì $k_d.k_Delta = – 1 Rightarrow k_Delta = – 2$.Do kia $Delta :y = – 2x + m$, $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m$ $ Rightarrow m = – 2$.Suy ra phương trình bao quát đường thẳng $Delta $ là $y = – 2x – 2$ hay $2x + y + 2 = 0$.c. Giải bằng 2 giải pháp sau:Cách 1: Ta gồm $ – 1 – 2.2 + 3 e 0$ do đó $M otin d$ vì vậy con đường thẳng $Δ$ đối xứng với con đường thẳng $d$ qua $M$ sẽ tuy nhiên song với con đường thẳng $d$ suy đi ra đường thẳng $Δ$ gồm VTPT là $overrightarrow n left( 1; – 2 ight)$.Ta tất cả $Aleft( 1;2 ight) in d$, gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $M$ khi đó $A’ in Delta $.Ta gồm $M$ là trung điểm của $AA’$.$ Rightarrow left{ eginarray*20cx_M = fracx_A + x_A’2\y_M = fracy_A + y_A’2endarray ight.$ ${ Rightarrow left eginarray*20cx_A’ = 2x_M – x_A = – 3\y_A’ = 2y_M – y_A = 2endarray ight.$ $ Rightarrow A’left( – 3;2 ight)$.Vậy phương trình bao quát đường thẳng $Δ$ là $1.left( x + 3 ight) – 2left( y – 2 ight) = 0$ hay $x – 2y + 7 = 0$.Cách 2: hotline $Aleft( x_0;y_0 ight)$ là điểm ngẫu nhiên thuộc đường thẳng $d$, $A’left( x;y ight)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$.Khi đó $M$ là trung điểm của $AA’$, suy ra:$left{ eginarray*20cx_M = fracx_0 + x2\y_M = fracy_0 + y2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20c – 1 = fracx_0 + x2\2 = fracy_0 + y2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20cx_0 = – 2 – x\y_0 = 4 – yendarray ight.$Ta tất cả $A in d$ $ Rightarrow x_0 – 2y_0 + 3 = 0$, suy ra:$left( – 2 – x ight) – 2.left( 4 – y ight) + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0$.Vậy phương trình tổng quát của $Δ$ đối xứng với con đường thẳng $d$ qua $M$ là $x – 2y + 7 = 0$.

Ví dụ 3: Biết nhì cạnh của một hình bình hành gồm phương trình $x – y = 0$ và $x + 3y – 8 = 0$, tọa độ một đỉnh của hình bình hành là $left( – 2;2 ight)$. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Đặt thương hiệu hình bình hành là $ABCD$ với $Aleft( – 2;2 ight)$, do tọa độ điểm $A$ ko là nghiệm của nhị phương trình đường thẳng trên đề nghị ta giả sử $BC: x – y = 0$, $CD:x + 3y – 8 = 0$.Vì $ABparallel CD$ phải cạnh $AB$ thừa nhận $overrightarrow n_CD left( 1;3 ight)$ làm VTPT cho nên vì thế có phương trình là $1.left( x + 2 ight) + 3.left( y – 2 ight) = 0$ hay $x + 3y – 4 = 0$.Tương từ cạnh $AD$ nhấn $overrightarrow n_BC left( 1; – 1 ight)$ làm VTPT cho nên vì thế có phương trình là $1.left( x + 2 ight) – 1.left( y – 2 ight) = 0$ hay $x – y + 4 = 0$.

Ví dụ 4: mang lại điểm $Mleft( 1;4 ight)$. Viết phương trình con đường thẳng qua $M$ lần lượt giảm hai tia $Ox$, tia $Oy$ tại $A$ với $B$ làm thế nào để cho tam giác $OAB$ có diện tích bé dại nhất.

Xem thêm: Gợi Ý Giải Đề Thi Môn Toán Lên Lớp 10 Môn Toán Tỉnh Đồng Nai Năm 2022

Giả sử $Aleft( a;0 ight), Bleft( 0;b ight)$ với $a > 0, b > 0$. Khi đó con đường thẳng đi qua $A, B$ gồm dạng $fracxa + fracyb = 1$. Do $M in AB$ nên $frac1a + frac4b = 1$.Mặt khác $S_OAB = frac12OA.OB = frac12ab$.Áp dụng BĐT Côsi, ta có: $1 = frac1a + frac4b ge 2sqrt frac4ab $ $ Rightarrow ab ge 16 Rightarrow S_OAB ge 8$.Suy ra $S_OAB$ nhỏ tốt nhất khi $frac1a = frac4b$ và $frac1a + frac4b = 1$ do đó $a = 2; b = 8$.Vậy phương trình mặt đường thẳng đề xuất tìm là $fracx2 + fracy8 = 1$ hay $4x + y – 8 = 0$.