Hướng dẫn giải bài bác Ôn tập Chương III. Vectơ trong ko gian. Quan hệ vuông góc trong ko gian, sách giáo khoa Hình học 11. Nội dung bài giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 121 122 sgk Hình học 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài xích tập hình học có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Toán hình lớp 11 chương 3

Lý thuyết

1. §1. Vectơ trong ko gian

2. §2. Hai tuyến phố thẳng vuông góc

3. §3. Đường thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng

4. §4. Nhì mặt phẳng vuông góc

5. §5. Khoảng cách

6. Hệ thống hóa kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian

*

Dưới đây là phần lí giải giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 121 122 sgk Hình học 11. Chúng ta hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập Ôn tập chương III

romanhords.com giới thiệu với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài xích tập hình học 11 kèm bài giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 121 122 sgk Hình học tập 11 của bài Ôn tập Chương III. Vectơ trong ko gian. Quan hệ giới tính vuông góc trong không khí trong mặt phẳng cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 121 122 sgk Hình học tập 11

1. Giải bài xích 1 trang 121 sgk Hình học tập 11

Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) hai tuyến phố thẳng riêng biệt cùng vuông góc với một khía cạnh phẳng thì chúng song song

b) nhị mặt phẳng rõ ràng cùng vuông góc cùng với một mặt đường thẳng thì chúng tuy nhiên song

c) phương diện phẳng ((α)) vuông góc với mặt đường thẳng (b) mà lại (b) vuông góc với mặt đường thẳng (a), thì (a) tuy nhiên song cùng với ((α))

d) nhị mặt phẳng tách biệt cùng vuông góc cùng với một phương diện phẳng thì chúng tuy nhiên song.

e) hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt đường thẳng thì chúng song song.

Bài giải:

a) Đúng

(left matrixa ot (P) hfill crb ot (P) hfill cr ight. Rightarrow a//b)

b) Đúng

(left matrix(P) ot a hfill cr(Q) ot a hfill cr ight. Rightarrow (P)//(Q))

c) Sai. Vì (a) có thể thuộc mp ((α))

d) Sai. Vì hai mp ((α)) và ((β)) thuộc vuông góc với mp ((P)) thì ((α)) với ((β)) vẫn hoàn toàn có thể cắt nhau và trong trường đúng theo này thì giao tuyến của ((α)) và ((β)) vuông góc cùng với mp ((P)).

e) Sai. Vì hai tuyến đường thẳng thuộc vuông góc với một con đường thẳng thứ ba thì có thể không thuộc thuộc một khía cạnh phẳng, lúc ấy chúng giảm nhau.

2. Giải bài 2 trang 121 sgk Hình học 11

Trong các xác định sau đây, điều như thế nào đúng?

a) khoảng cách của hai tuyến đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong những đoạn trực tiếp nối nhì điểm bất cứ nằm trên hai tuyến phố thẳng ấy cùng ngược lại.

b) qua một điểm bao gồm duy tuyệt nhất một phương diện phẳng vuông góc với khía cạnh phẳng mang đến trước.

c) qua một đường thẳng bao gồm duy tốt nhất một khía cạnh phẳng vuông góc cùng với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với tất cả hai con đường thẳng chéo nhau mang đến trước là đường vuông góc thông thường của hai tuyến phố thẳng đó.

Bài giải:

a) Đúng. Khoảng bí quyết của hai tuyến đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn trực tiếp nối nhị điểm bất kỳ nằm trên hai tuyến phố thẳng ấy và trái lại (xem mục c) tính chất của khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng chéo cánh nhau)

b) Sai. Qua một điểm, ta hoàn toàn có thể vẽ được vô số khía cạnh phẳng vuông góc với một khía cạnh phẳng mang lại trước.

c) Sai. Vì vào trường hợp mặt đường thẳng vuông góc với phương diện phẳng thì ta có vô số khía cạnh phẳng vuông góc với phương diện phẳng mang lại trước vì bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng mọi vuông góc với phương diện phẳng mang lại trước.

Để có xác minh đúng, ta bắt buộc nói: “Qua một con đường thẳng không vuông góc với một khía cạnh phẳng có duy tốt nhất một phương diện phẳng vuông góc với khía cạnh phẳng đang cho“.

d) Sai. Vì đường vuông góc chung của hai tuyến phố thẳng đề xuất cắt cả hai đường thẳng ấy.

3. Giải bài 3 trang 121 sgk Hình học tập 11

Hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình vuông (ABCD) cạnh (a), cạnh (SA) bằng (a) và vuông góc với khía cạnh phẳng ((ABCD)).

a) minh chứng rằng các mặt bên của hình chóp là đông đảo tam giác vuông.

b) mặt phẳng ((α)) đi qua (A) và vuông góc cùng với cạnh (SC) lần lượt giảm (SB, SC) và (SD) trên (B’, C’) với (D’). Chứng minh (B’D’) song song cùng với (BD) với (AB’) vuông góc với (SB).

Bài giải:

*

a) chứng tỏ rằng các mặt bên của hình chóp là hầu như tam giác vuông.

Chứng minh $Delta SAB$ vuông

Ta có: $SAperp (ABCD),ABsubset (ABCD) ⇒ SAperp AB ⇒ Delta SAB vuông$

Chứng minh $Delta SAD$ vuông

Ta có: $SAperp (ABCD),ADsubset (ABCD) ⇒ SAperp AD ⇒ Delta SAD vuông$

Chứng minh $Delta SBC$ vuông

$SA ⊥(ABCD)$ buộc phải (AB) là hình chiếu của (SB) bên trên (mp(ABCD))

(ABCD) là hình vuông vắn nên (BC ⊥AB).

Ta có:

(left. matrixSA ot (ABCD) hfill crBC ot AB hfill cr ight\)

(⇒ SB⊥BC) (theo định lí bố đường vuông góc)

(⇒ Δ SBC) là tam giác vuông tại ( B)

Chứng minh $Delta SCD$ vuông

$SA ⊥(ABCD)$ yêu cầu (AD) là hình chiếu của (SD) trên (mp(ABCD))

(ABCD) là hình vuông vắn nên (CD ⊥AD).

Ta có:

(left. matrixSA ot (ABCD) hfill crCD ot AD hfill cr ight\)

(⇒ SD⊥CD) (theo định lí ba đường vuông góc)

(⇒ Δ SCD) là tam giác vuông tại ( D)

b) Chứng minh (B’D’) tuy vậy song với (BD) với (AB’) vuông góc cùng với (SB).

Chứng minh $B’D’//BD$

Ta có: $left.eginmatrix BD& perp AC \ BD& perp SA \ AC& cap SA endmatrix ight}Rightarrow BDperp (SAC)$

mà $SCsubset (SAC)Rightarrow BDperp SC$

Mặt khác: $(alpha )perp SC (gt)Rightarrow BD//(alpha )$

Ta có: $(SBD) cap (alpha ) = B’D’$

⇒ $B’D’//BD$

Chứng minh: $AB’perp SB$

Vì $BCperp (SAB),AB’subset (SAB)Rightarrow BCperp AB’$ (1)

$SCperp (alpha ), AB’subset (alpha )Rightarrow SCperp AB’$ (2)

Từ (1) (2) suy ra $AB’ perp (SBC)Rightarrow AB’ perp SB$

4. Giải bài bác 4 trang 121 sgk Hình học 11

Hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình thoi cạnh (a) và gồm góc (widehat BAD = 60^0). Gọi (O) là giao điểm của (AC) với (BD). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) với (SO = 3a over 4) . Gọi (E) là trung điểm của đoạn (BC) và (F) là trung điểm của đoạn (BE).

a) minh chứng mặt phẳng ( (SOF)) vuông góc với phương diện phẳng ((SBC))

b) Tính các khoảng cách từ (O) và (A) cho mặt phẳng ((SBC))

Bài giải:

*

a) Theo mang thiết hình thoi $ABCD$ có: (widehat BAD = 60^0) ⇒ (widehat BCD = 60^0)

Suy ra tam giác $BCD$ đầy đủ ⇒ (widehat CBD = 60^0) xuất xắc (widehat OBC = 60^0)

$ABCD$ là hình thoi ⇒ $ACperp BD equiv O$ ⇒ $Delta BOC$ vuông tại O có $E$ là trung điểm $BC$

⇒ $OE = EB = EC = frac12BC$ (tính chất đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền)

Xét tam giác (BOE) tất cả (BO=BE-cmt) với (widehat OBE = 60^0) cần tam giác (BOE) đều

Có $F$ là trung điểm $BD$ ⇒ (OF) bên cạnh đó là đường cao ⇒ (OF ⊥BC).

(left. matrixSO ot (ABCD) hfill cr mOF ot mBC hfill cr ight} Rightarrow SF ot BC)

(Định lí 3 mặt đường vuông góc)

(left. matrixSF ot BC hfill cr mOF ot mBC hfill cr ight} Rightarrow BC ot (SOF))

Mà (BC ⊂ (SBC))

Suy ra ((SOF) ⊥ (SBC))

b) bởi ((SOF) ⊥ (SBC)) với hai khía cạnh phẳng này giao nhau theo giao con đường (SF)

nên từ (O) ta kẻ (OH⊥SF) ⇒ (OH⊥(SBC)) ⇒ $d(O,(SBC))=OH$

Ta có:

(eqalign& SO = 3a over 4 m;OF = asqrt 3 over 4 Rightarrow SF = asqrt 3 over 2 cr& OH.SF = SO. mOF Rightarrow mOH = 3a over 8 cr )

Gọi (K) là hình chiếu vuông góc của (A) bên trên ((SBC)), ta bao gồm (AK//OH)

Trong (ΔAKC) thì (OH) là đường trung bình, bởi đó:

(AK = 2OH Rightarrow AK = 3a over 4)

5. Giải bài bác 5 trang 121 sgk Hình học 11

Tứ diện (ABCD) gồm hai phương diện (ABC) và (ADC) phía bên trong hai mặt phẳng vuông góc cùng với nhau. Tam giác (ABC) vuông trên (A) bao gồm (AB = a, AC = b). Tam giác (ADC) vuông tại (D) gồm (CD = a).

a) chứng minh các tam giác (BAD) và (BDC) đều là tam giác vuông

b) hotline (I) và (K) lần lượt là trung điểm của (AD) cùng (BC). Chứng minh (IK) là con đường vuông góc tầm thường của hai đường thẳng (AD) cùng (BC).

Bài giải:

*

a) chứng minh các tam giác (BAD) cùng (BDC) hầu hết là tam giác vuông

Chứng minh $Delta BAD$ vuông

Theo đưa thiết: ((ABC) ⊥ (ADC)) cơ mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến (AC).

Ta lại có (BA ⊂ (ABC)) cùng (BA⊥ AC) cần (BA⊥(ADC))

Vì (ABsubset (ADC) ⇒ BA⊥AD ⇒ ΔBAD) vuông tại (A)

Chứng minh: $Delta BCD$ vuông

(left. matrixBA ot (ADC) hfill cr AD ot DC hfill cr ight} Rightarrow BD ot DC)

(Định lí 3 mặt đường vuông góc)

(⇒ ΔBDC) vuông tại (D)

b) chứng tỏ (IK) là con đường vuông góc thông thường của hai tuyến phố thẳng (AD) với (BC).

Xét $Delta ABC$ với $Delta CAD$ có:

$widehatA=widehatD$

$AC$ chung

$AB=CD=a$

⇒ $Delta ABC=Delta CAD(c-g-c)$

⇒ $BI=CI$ (hai trung tuyến tương ứng của nhị tam giác bởi nhau)

⇒ $Delta IBC$ cân tại $I$

Có: $K$ là trung điểm $BC$ ⇒ $IK$ đôi khi là con đường cao trong $Delta IBC$

⇒ $IK perp BC$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: $Delta ABC=Delta DCB(c-g-c)$

⇒ $AK=DK$

⇒ $Delta KAD$ cân nặng tại $K$

Có: $I$ là trung điểm $AD$ ⇒ $KI$ đồng thời là mặt đường cao trong $Delta KAD$

⇒ $KI perp AD$ (2)

Từ (1) (2) ⇒ (IK) là mặt đường vuông góc chung của hai đường thẳng (AD) và (BC).

6. Giải bài 6 trang 122 sgk Hình học 11

Cho khối lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$.

a) minh chứng $BC’$ vuông góc với mặt phẳng $(A’B’CD)$

b) xác minh và tính độ nhiều năm đoạn vuông góc bình thường của $AB’$ và $BC’$

Bài giải:

*

a) minh chứng $BC’$ vuông góc với phương diện phẳng $(A’B’CD)$

Ta có tứ giác (BCC’B’) là hình vuông vắn nên (BC’ ⊥ B’C) (1)

Mặt khác (A’B’ ⊥ (BCC’B’)) (⇒ A’B’ ⊥ BC’) (2)

Từ (1) với (2) suy ra: (BC’⊥ (A’B’C’D’))

b) khẳng định và tính độ dài đoạn vuông góc bình thường của $AB’$ và $BC’$

Do (AD’//BC’) buộc phải mặt phẳng ((AB’D’)) là phương diện phẳng cất (AB’) và tuy nhiên song cùng với (BC’).

Ta tìm kiếm hình chiếu của (BC’) trên (mp (AB’D’))

Gọi (E, F) là tâm của những mặt bên (ADD’A’) cùng (BCC’B’)

Từ (F) kẻ (FI ⊥ B’E). Ta gồm (BC’ //AD’) nhưng (BC’ ⊥ (A’B’CD))

(⇒ AD’ ⊥ (A’B’CD)) với (IF ⊂(A’B’CD))

(AD’ ⊥ IF) (3)

(EB’⊥IF) (4)

Từ (3) cùng (4) suy ra : (IF ⊥ (AB’D’))

Vậy (I) là hình chiếu của (F) bên trên (mp (AB’D’)). Qua (I) ta dựng con đường thẳng tuy nhiên song với (BC’) thì con đường thẳng này đó là hình chiếu của (BC’) trên mp ((AB’D’))

Đường trực tiếp qua (I) tuy vậy song với (BC’) cắt (AB’) tại (K). Qua (K) kẻ mặt đường thẳng song song với (IF), đường này cắt (BC’) trên (H). (KH) chính là đường vuông góc chung của (AB’) cùng (BC’).

Thật vậy: ( mIF ot (AB’D’))

(Rightarrow IF ⊥ AB’) cùng (KH // IF) suy ra (KH ⊥ AB’)

(left. matrixBC’ ot (A’B’CD) hfill cr mIF subset m(A’B’CD) hfill cr ight} Rightarrow left. matrix mIF ot mBC’ hfill cr mKH//IF hfill cr ight} Rightarrow KH ot BC’)

Tam giác (EFB’) vuông góc trên (F), (FI) là con đường cao trực thuộc cạnh huyền nên

(1 over IF^2 = 1 over FB‘^2 + 1 over FE^2) với

(left matrixFB’ = asqrt 2 over 2 hfill cr mEF = a hfill cr ight.)

Ta tính ra: ( mIF = asqrt 3 over 3 Rightarrow KH = mIF = asqrt 3 over 3)

7. Giải bài xích 7 trang 122 sgk Hình học tập 11

Cho hình chóp $S.ABCD$ tất cả đáy hình hoi $ABCD$ cạnh $a$ có góc $widehatBAD=60^0$ và $SA=SB=SD=fracasqrt32$

Cho hình chóp (S.ABCD) gồm đáy là hình thoi (ABCD) cạnh (a), góc (widehat BAD = 60^0) với (SA = SB = SD = asqrt 3 over 2)

a) Tính khoảng cách từ (S) mang đến mặt phẳng ((ABCD)) và độ dài cạnh (SC)

b) chứng tỏ mặt phẳng ((SAC)) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD))

c) minh chứng (SB) vuông góc với (BC)

d) hotline (varphi) là góc thân hai phương diện phẳng ((SBD)) cùng ((ABCD)). Tính ( anvarphi)

Bài giải:

*

a) Tính khoảng cách từ $S$ mang đến mặt phẳng $(ABCD)$ cùng độ lâu năm cạnh $SC$.

Kẻ (SH⊥(ABCD))

Do (SA = SB = SD) suy ra (HA = HB = HC)

(⇒ H) là trọng điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( ABD).

Xem thêm: Ghi 5 Bàn Thắng Gọi Là Gì ? Giải Đáp: Ghi 4 Bàn Thắng Gọi Là Gì

Do (AB = AD = a) cùng (widehat BAD = 60^0) phải tam giác (ABD) là tam giác gần như cạnh (a),

Ta có:

(eqalign& AO = asqrt 3 over 2 cr& AH = 2 over 3AO Rightarrow AH = asqrt 3 over 3 cr )

Trong tam giác vuông (SAH), ta có: (SA = asqrt 3 over 2;AH = asqrt 3 over 3)

Tính ra: (SH = asqrt 15 over 6)

Ta cũng có: (HC = 2asqrt 3 over 3)

Trong tam giác vuông (SHC):

(SC^2 = SH^2 + HC^2)

Suy ra: (SC = asqrt 7 over 2)

b) chứng tỏ mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$

(left. matrixSH ot (ABCD) hfill crSH subset (SAC) hfill cr ight Rightarrow (SAC) ot (ABCD))

c) chứng minh (SB) vuông góc cùng với (BC)

(eqalign& SC^2 = 7a^2 over 4(1) cr& BC^2 = a^2(2) cr& SB^2 = 3a^2 over 4(3) cr )

Từ (1), (2) cùng (3) ta có: (SC^2 = BC^2 + SB^2)

Theo định lí Pytago đảo, tam giác (SBC) vuông tại (B).

d) điện thoại tư vấn (varphi) là góc thân hai phương diện phẳng ((SBD)) cùng ((ABCD)). Tính ( anvarphi)

Ta có:

(eqalign& left. matrixDB ot AC hfill crSH ot (ABCD) Rightarrow SH ot DB hfill cr ight Rightarrow DB ot (SAC) cr& Rightarrow left matrixDB ot mOS hfill cr mDB ot AC hfill cr ight. cr )

Suy ra: (widehat SOH) là góc thân hai phương diện phẳng ((SBD)) cùng ((ABCD))

Do đó:

(eqalign& widehat SOH = varphi cr& an varphi = SH over OH Rightarrow an varphi = sqrt 5 cr )

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 121 122 sgk Hình học 11!