Bài học giới thiệu nội dung: Phương trình đường thẳng. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được phương pháp để giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK hình học lớp 10, romanhords.com sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ \(\vec{u}\)được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu\(\vec{u}\)≠\(\vec{0}\)và giá của \(\vec{u}\)song song hoặc trùng với \(∆\)
Nhận xét
- Nếu\(\vec{u}\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u}( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\), do đó một đường thẳngcó vô số vectơ chỉ phương.
Bạn đang xem: Toán hình 10 bài phương trình đường thẳng
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0)\) và nhận vectơ\(\vec{u} =(a; b)\) làm vectơ chỉ phương là :
\(∆\) :\(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+t.a& \\ y= y_{0}+t.b& \end{matrix}\right.\)
-Khi hệ số \(a≠ 0\) thì tỉ số \(k= \frac{a}{b}\)được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0;y_0)\) và có hệ số góc k là:
\(y – y_0= k(x – x_0)\)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\)
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa
Vectơ\(\vec{n}\)được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu\(\vec{n}\)≠\(\vec{0}\)và\(\vec{n}\)vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\)
Nhận xét
Nếu\(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{n}\) \((k≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa
Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biệt
Nếu \(a = 0 => y = \frac{-c}{b};∆ \perp Oy=(0;\frac{-c}{b})\)Nếu \(b = 0 => x = \frac{-c}{a};∆ \perp Ox=(\frac{-c}{a};0)\)Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua gốc tọa độ.Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đường thẳng \(∆\) theo đoạn chắn:\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1và ∆2có phương trình tổng quát lần lượt là: a1x+b1y + c1= 0 và a2+ b2y +c2= 0.
Điểm\(M_0(x_0;y_0)\) là điểm chung của∆1và ∆2 khi và chỉ khi\((x_0;y_0)\)là nghiệm của hệ hai phương trình:
(1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2y}+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm:∆1cắt ∆2
b) Hệ (1) vô nghiệm:∆1// ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm:∆1$\equiv$ ∆2
6. Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng∆1và ∆2cắt nhau tạo thành 4 góc.
Xem thêm: Các Bài Toán Cộng Trừ Lớp 1, Bài Tập Toán Lớp 1 Cơ Bản Từ Học Kỳ 1
Góc giữa hai đường thẳng∆1và ∆2được kí hiệu là\(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)
Cho hai đường thẳng∆1=a1x+b1y + c1= 0
∆2= a2+b2y +c2= 00
Đặt\(\varphi\)=\(\widehat{\Delta _{1},\Delta _{2}}\)
\(\cos \varphi\)=\(\frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)
Chú ý
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2} \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\).Nếu\({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\)có phương trình y = k1x + m1và y = k2x + m2thì: \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\).7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c-0\)và điểm\(M_0(x_0;y_0)\). Khoảng cách từ điểm \(M_0\) đến đường thẳng \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bởi công thức: