Phân tích nhiều thức thành nhân tử là biến đổi đa thức thành dạng tích của khá nhiều đa thức. Đây là một trong kĩ thuật cực kì hữu ích khiến cho bạn làm nhanh những bài toán rút gọn phân thức sau này.

Bạn đang xem: Toán 8 phân tích đa thức thành nhân tử

Vậy có các cách phân tích đa thức thành nhân tử nào?

Hãy cùng tò mò các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hay cần sử dụng như:

đặt nhân tử chungnhóm hạng tửdùng hằng đẳng thứcphối hợp các phương pháptách hạng tửđổi biến
*
*

1-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chungBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thứcBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tửBài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức nhóm hạng tử4-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách phối hợp những phương phápBài tập SGK: Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp5-Phân tích đa thức thành nhân tử bởi phương pháp bóc hạng tử6-Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

1-Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung

Cách làm:

A.B + A.C = A(B + C)

Như vậy, biện pháp làm trên đó là phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Mẹo phân tích nhiều thức thành nhân tử đầu tiên chính là xem bác ái tử tầm thường nào hay không hoặc hoàn toàn có thể tạo ra nhân tử thông thường không.

Video bài bác giảng:


*
*

Phân tích đa thức 15x³ − 5x² + 10x thành nhân tử.

Giải:

Ta nhận thấy ba 1-1 thức thành phần gồm điểm phổ biến là những chứa 5x. Vậy ta để 5x làm nhân tử chung.

Ta có: 15x³ − 5x² + 10x = 5x.3x² − 5x.x + 5x.2 = 5x(3x² − x + 2)

*
*

Phân tích nhiều thức thành nhân tử:

a) x² − x = x(x − 1)

b) 5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) 

Ta để x − 2y là nhân tử chung. 

5x²(x − 2y) − 15x(x − 2y) = (x − 2y)(5x² − 15x) 

c) 3(x − y) − 5x(y − x) 

Chú ý: tính chất A = −(−A)

Ta thấy có x − y với y − x, ao ước có tầm thường nhân tử x − y ta làm cho như sau:

3(x − y) − 5x(y − x) = 3(x − y) + 5xy(x − y) = (x − y)(3 + 5xy)

*
*

Tìm x làm thế nào cho 3x² − 6x = 0.

Giải:

Đầu tiên ta phân tích đa thức thành nhân tử:

3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0

Tích trên bằng 0 khi một trong số nhân tử bằng 0.

Ta gồm x = 0 hoặc x − 2 = 0.

Vậy x = 0 hoặc x = 2.

Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung

Bài 39.

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 3x − 6y = 3(x − 2y);

b)

*
*

c) 14x² − 21xy² + 28x²y² = 7x(2x − 3y² + 4xy²) 

d)

*
*

e) 10x(x − y) − 8y(y − x) = 10x(x − y) + 8y(x − y) = 2(x − y)(5x + 4y)

Bài 40.

Tính giá trị của biểu thức:

a) 15. 91,5 + 150.0,85 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100= 1500

b) x(x − 1) − y(1 − x) tại x = 2001 với y = 1999.

Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức đặt nhân tử chung:

x(x − 1) − y(1 − x)

= x(x − 1) + y(x − 1)

= (x − 1)(x + y)

= (2001 − 1)(2001 + 1999)

= 2000.4000 = 8000000

Bài 41.

Tìm x, biết:

a) 5x(x − 2000) − x + 2000 = 0

Đầu tiên ta buộc phải phân tích nhiều thức thành nhân tử,. Vì chưa xuất hiện nhân tử chung, ta phải làm xuất hiện thêm nhân tử chung.

5x(x − 2000) − x + 2000 

= 5x(x − 2000) − (x − 2000)

= (x − 2000)(5x − 1) = 0

⇔ x = 2000 hoặc 5x − 1 = 0

⇔ x = 2000 hoặc x = 1/5

b) x³ − 13x = 0

⇔ x(x² − 13) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² = 13 

⇔ x = 0 hoặc x = ±√13

Bài 42.

Chứng minh rằng

*
*
chia hết đến 54 (với n là số tự nhiên).

Giải:

Ta phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: 

*
*

 

2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức

Cách làm:

Dùng rất nhiều hằng đẳng thức lưu niệm để thay đổi đa thức về dạng tích những đa thức.

Vậy để sử dụng cách thức này để phân tích đa thức thành nhân tử, ta đề nghị thuộc phần đông hằng đằng thức đáng nhớ và nhận thấy dạng của nó.

(A + B)² = A² + 2AB + B² 

(A − B)² = A² − 2AB + B² 

A² − B² = (A − B)(A + B)

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³

A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²)

A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²)

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương thức dùng hằng đẳng thức

*
*

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² − 4x + 4 = x² − 2.2x + 2² = (x − 2)²

b) x² − 4x + 4 − y² = (x − 2)² − y² = (x − 2 − y)(x − 2 + y)

c) 1 − 8x³ = 1³ − (2x)³ = (1 − 2x)(1 + 2x + 4x²).

*
*

a) Phân tích nhiều thức thành nhân tử: x³ + 3x² + 3x + 1

Ta nhận biết đa thức trên tất cả dạng lập phương của một tổng buộc phải ta có:

x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³

b) Tính nhanh: 105² − 25

Ta phân biệt đa thức trên có dạng A² − B² đề xuất ta có:

105² − 25 = 105² − 5² = (105 − 5)(105 + 5) = 100.110 = 11000

*
*

Chứng minh rằng (2n + 5)² − 25 chia hết mang lại 4 với mọi số nguyên n.

Giải:

Muốn minh chứng một nhiều thức phân chia hết cho một số trong những nào đó, ta chỉ cần phân tích đa thức thành nhân tử và chỉ ra rằng số đó là 1 trong những nhân tử của nhiều thức.

Ta thấy nhiều thức trên gồm dạng A² − B² bắt buộc ta cần sử dụng hằng đẳng thức A² − B² = (A − B)(A + B) để phân tích nhiều thức thành nhân tử:

(2n + 5)² − 25 = (2n + 5)² − 5²

= (2n + 5 − 5)(2n + 5 + 5)

= 2n(2n + 10)

= 4n(n + 5)

Vì gắng (2n + 5)² − 25 phân chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

Video bài xích giảng:

Bài tập SGK: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thức dùng hằng đẳng thức

Bài 43.

Phân tích nhiều thức thành nhân tử:

a) x² + 6x + 9 

Ta phân biệt dạng x² + 2x.3 + 3² đúng không. 

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

b) 10x − 25 − x² 

Có thể nhận ra dạng của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu giả dụ ta viết lại đa thức:

10x − 25 − x²

= − (x² − 10x + 25) 

= − (x − 5)²

 

*
*
 

Các em có nhận biết dạng A³ − B³ không?

*
*

*
*

*
*

 

*
*

Các em có thấy nhiều thức dạng A² − B² không?

*
*

*
*

*
*

Bài 44.

Phân tích đa thức thành nhân tử:

*
*

= <(a + b)² + (a + b)(a − b) + (a − b)²>

= 2b(a²+ 2ab + b² + a² − b² + a² − 2ab + b²)

= 2b(3a² + b²)

c) (a + b)³ + (a − b)³

= <(a + b)² − (a + b)(a − b) + (a − b)²>

= 2a

= 2a(a²+ 3b²) 

= (2x + y)³

e) −x³ + 9x² − 27x + 27 

= − (x − 3)³

Bài 45. 

Tìm x, biết:

a) 2 − 25x² = 0

Đầu tiên ta buộc phải phân tích nhiều thức thành nhân tử, phụ thuộc vào hằng đẳng thức

A² − B² = (A − B)(A + B)

2 − 25x² = 0 

⇔ (√2 − 5x)(√2 + 5x) = 0

⇔ √2 − 5x = 0 hoặc √2 + 5x = 0

Nếu √2 − 5x = 0 ⇔ x = √2/5.

Nếu √2 + 5x = 0 ⇔ x = – √2/5.

*
*

Ta phân tích nhiều thức thành nhân tử theo hằng đẳng thức (A − B)² = A² − 2AB + B².

*
*

*
*

*
*

*
*

Bài 46.

Xem thêm:
Điểm Chuẩn Học Viện Báo Chí Và Tuyên Truyền 2020 Tăng Mạnh, Điểm Chuẩn Học Viện Báo Chí

Tính nhanh: 

a) 73² − 27² = (73 − 27)(73 + 27) = 46.100 = 4600

b) 37² − 13² = (37 − 13)(37 + 13) = 24. 50 = 1200

c) 2002² − 2² = (2002 − 2)(2002 + 2) = 2000.2004 = 4008000

3- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Cách làm:

Khi so sánh một đa thức thành nhân tử mà không thấy nhân tử chung hay là không có dạng hằng đẳng thức nào sẽ học, ta buộc phải một phương pháp khác.

Mục đích: Đó là làm nạm nào để mở ra nhân tử chung, là làm vậy nào để lộ diện hằng đẳng thức