Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng romanhords.com Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau.

Bạn đang xem: Toán 12 bất phương trình mũ


Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại romanhords.com Education

Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyết

Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ có dạng cơ bản là ax > b (hoặc ax ≥ b, ax x ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1.

Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng ax > b như sau:

Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì ax > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.Nếu b > 0 thì bất phương trình sẽ tương đương với ax > alogab.Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > logab.Với 0 ab.
*

Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là logax > b (hoặc logax ax ≥ b; logax ≤ b). Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1.

Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình logax > b theo 2 trường hợp như sau:

a > 1, ta có logax > b ⇔ x > ab0 ax > b ⇔ 0 b
Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp - Lý Thuyết Toán 11

Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = ax và b = logaa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.

Nếu a > 1 thì ax > aa ⇔ x > a.Nếu 0 ax > logaa ⇔ 0

Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Sau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn.

Cách giải bất phương trình mũ

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

a^{f(x)}>a^{g(x)} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{c}\begin{cases} 01 \\ f(x)> g(x) \end{cases}\end{array} \right.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2-x2+3x 0 ⇔ x 2\\& \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned}
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:


\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụαa2f(x) + βaf(x) + λ = 0. Đặt t = af(x), (t > 0).

Ví dụ: Giải bất phương trình 4x – 3.2x + 2 > 0.

Đặt t = 2x (t > 0 ), ta được bất phương trình:

t2 – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 2 ⇔ 0 x x > 2 ⇔ x 1.

Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; +∞).

Dạng 3: Phương pháp lôgarit hóa

\begin{aligned}&a^{f(x)}>b \Leftrightarrow \left< \begin{array}{c}\begin{cases} 01 \\ f(x)> log_ab \end{cases}\end{array} \right.\\&a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left< \begin{array}{c}\begin{cases} 01 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases}\end{array} \right.\end{aligned}
Ví dụ: Giải bất phương trình 2x-1 > 3

2x-1 > 3 ⇔ log22x-1 > log23 ⇔ x – 1 >log23 ⇔ x > log23 + 1 ⇔ x > log26

Vậy S = (log26; +∞).

Cách giải bất phương trình lôgarit

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left< \begin{array}{c}\begin{cases} 01 \\ f(x)> g(x) \end{cases}\end{array} \right.\\
Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log8(4 – 2x) ≥ 2.




\begin{aligned}&log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5\frac53\\ x
Dạng 2: Phương pháp mũ hóaVới 0 af(x) = g(x) ⇔ f(x) = ag(x)

Ví dụ: Giải phương trình log5(5x – 4 ) = 1 – x


\begin{aligned}&log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\&\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1\end{aligned}

Giải bài tập sách giáo khoa

Bài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12


\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3

Bài 1 trang 89 SGK Toán Giải Tích 12

a.


\begin{aligned}& 2^{-x^2+3x}0\\&x2\end{aligned}
b.


\begin{aligned}&\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\&\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\&\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\&\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\&\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1\end{aligned}
c.


\begin{aligned}&4^x-3.2^x+2>0\\&\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\&\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\&\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x1\space hoặc\space x>0\\&\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin)\end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại romanhords.com Education

romanhords.com Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, romanhords.com Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

Xem thêm: Đề Thi Hsg Hóa 9 Cấp Huyện 2017-2018, Đề Thi Hsg Hóa Học 9 Huyện Quỳ Hợp 2017

Tại romanhords.com, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.