Hướng dẫn giải, đáp án bài 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường xuyên gặp) – Chương 1: Hàm con số giác và phương trình lượng giác.
Bạn đang xem: Toán 11 trang 36
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ <-1 ; 1> ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; 1/2.
Nghiệm của phương trình đã đến là những nghiệm của nhị phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π với cosx = 1/2⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), cho nên vì thế phương trình sẽ cho tương đương với
2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔
⇔
Bài 3. Giải những phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔
Phương trình đang cho tương tự với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ <-1 ; 1> thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ 1/2;-1/4.
Các nghiệm của phương trình đã chỉ ra rằng nghiệm của nhị phương trình sau :
và
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình phát triển thành 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ -1 ; -1/2.
Vậy
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
Quảng cáo
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -2.
Vậy
Bài 4: Giải những phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Giải: a) dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho nên vì vậy chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ 1 ; -3/2.
Vậy
b) cụ 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã mang lại trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) thay sin2x = 2sinxcosx ;
Quảng cáo
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã đến và rút gọn gàng ta được phương trình tương đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0
⇔
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3⇔ cos(x +π/3) = √2/2
⇔
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta bao gồm sinx + cosx = √2cos(x – π/4) cần phương trình tương tự với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2
⇔
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1
⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).
Bài 6. a. Chảy (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. Tan x + chảy (x + π/4) = 1
Ôn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với 1 hàm số lượng giác
Chỉ đề nghị thực hiên nhì phép thay đổi tương đương: dịch số hạng không đựng x lịch sự vế yêu cầu và đổi dấu; phân chia hai vế phương trình cho một vài khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết phương pháp giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm con số giác đựng ẩn phụ ta gửi được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc nhị này. Ví như phương trình bậc hai bao gồm nghiệm thì cố gắng giá trị của nghiệm kiếm được trở lại phép để ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bạn dạng đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ yêu cầu xét trường hòa hợp cả hai hệ số a, b đa số khác 0 (trường hợp một trong hai thông số đó bởi 0 thì phương trình yêu cầu giải là hpuwong trình hàng đầu đối với cùng một hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã biết cách giải.
Cách 1: chia hai vế phương trình mang lại
Phương trình này đã biết phương pháp giải.
Chú ý : Để phương trình
Đó cũng là điều kiện cần và đủ nhằm phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.
Xem thêm: Giải Mẫu Báo Cáo Vật Lý 9 Bài 46 Trang 125, Giải Bài Thực Hành Trang 125 Sgk Vật Lý Lớp 9
Phương pháp giải những phương trình chuyển được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai so với một hàm con số giác
Hệ thống những công thức lượng giác rất nhiều mẫu mã nên những phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. Sử dụng thành thạo những phép đổi khác lượng giác những em rất có thể đưa những phương trình buộc phải giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm con số giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai so với cosx cùng sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể đưa về dạng phương trình bậc hai so với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Bởi vì sự nhiều mẫu mã và nhiều mẫu mã ấy nên công ty chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa cách thức giải thông qua một số ví dụ điển hình và những em có thể nắm vững phương pháp giải thông qua nhiều bài tập.