Toán 10 bài công thức lượng giác

* phương pháp nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a

( an 2a = frac2 an a1 - an ^2a)

Cách ghi nhớ:

Sin gấp hai = 2 sin cosCos gấp hai = bình cos trừ bình sin= trừ 1 cộng hai lần bình cos= cộng 1 trừ nhì lần bình sinTang gấp đôiTang đôi ta mang đôi tang (2 tang)Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

Xem thêm: Nhân Trung Là Gì ? Nhân Trung Sâu Tốt Hay Xấu ??? Nhân Trung Là Gì

* bí quyết hạ bậc

(eginarraylc mo ms^2a = frac1 + c mos2a2\ msi mn^2a = frac1 - c mos2a2\ an ^2a = frac1 - c mos2a1 + c mos2aendarray)

1.3. Công thức đổi khác tích thành tổng, tổng thành tích

(eginarraylcos a.cos b = frac12 m\sin a.sin b = frac12 m\sin a.cos b = frac12 mendarray)

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừSin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộngSin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

(eginarraylcos u + cos v = 2cos fracu + v2cos fracu - v2\cos u + cos v = 2cos fracu + v2cos fracu - v2\sin u + sin v = 2sin fracu + v2cos fracu - v2\sin u - sin v = 2cos fracu + v2sin fracu - v2endarray)

Cách ghi nhớ:

Cos cùng cos bởi hai cos coscos trừ cos bởi trừ hai sin sinSin cùng sin bởi hai sin cossin trừ sin bởi hai cos sin.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Tính(sin frac5pi 12;c mosfrac7pi 12)

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp cộng đối với sin với cos

* Ta có(sin frac5pi 12 = sin frac2pi + 3pi 12 = sin (fracpi 6 + fracpi 4))

(eginarrayl= sin fracpi 6.c mosfracpi 4 + c mosfracpi 6.sin fracpi 4\= frac12.fracsqrt 2 2 + fracsqrt 3 2.fracsqrt 2 2 = fracsqrt 2 + sqrt 6 4endarray)

* Ta có(c mosfrac7pi 12 = c mosfrac3pi + 4pi 12 = cos (fracpi 4 + fracpi 3))

(eginarrayl= c mosfracpi 4.c mosfracpi 3 - sin fracpi 4.sin fracpi 3 = fracsqrt 2 2.frac12 - fracsqrt 2 2.fracsqrt 3 2\= fracsqrt 2 - sqrt 6 4endarray)

Ví dụ 2: chứng minh rằng

(eginarrayla) m an (fracpi 4 - a) = frac1 - mathop m t olimits mana1 + mathop m t olimits mana\b) m an (fracpi 4 + a) = frac1 + mathop m t olimits mana1 - mathop m t olimits manaendarray)

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp cộng so với tan

(eginarrayla) an (fracpi 4 - a) = frac an fracpi 4 - mathop m t olimits mana an fracpi 4 + mathop m t olimits mana = frac1 - mathop m t olimits mana1 + mathop m t olimits mana\b) an (fracpi 4 + a) = frac an fracpi 4 + mathop m t olimits mana an fracpi 4 - mathop m t olimits mana = frac1 + mathop m t olimits mana1 - mathop m t olimits manaendarray)

Ví dụ 3:Tính sin2a, cos2a, tan2a biết(sin a = - frac35 m, pi { m{ Hướng dẫn:

+ Tính cos a bởi công thức lượng giác cơ phiên bản thích hợp

+ Áp dụng bí quyết nhân đôi

(eginarraylsin ^2a + c mo ms^2a = 1 Leftrightarrow c mo ms^2a = 1 - sin ^2a\Leftrightarrow c mo ms^2a = 1 - ( - frac35)^2 = frac1625 Leftrightarrow cos a = pm frac45endarray)

Vì(pi { m{ cos 2a = 2cos ^2a - 1 = 2( - frac45)^2 - 1 = frac3225 - 1 = frac725\ an 2a = fracsin 2ac mos2a = frac2425.frac257 = frac247endarray)

Ví dụ 4: Tính( msinfracpi 8; an fracpi 8)

Hướng dẫn:

Sử dụng cách làm hạ bậc

Ta tất cả (sin ^2fracpi 8 = frac1 - c mosfracpi 42 = frac1 - fracsqrt 2 22 = frac2 - sqrt 2 4)

Vì (sin fracpi 8 > 0)nên suy ra(sin fracpi 8 = fracsqrt 2 - sqrt 2 2)

( an ^2fracpi 8 = frac1 - c mosfracpi 41 + c mosfracpi 4 = frac1 - fracsqrt 2 21 + fracsqrt 2 2 = frac2 - sqrt 2 2 + sqrt 2 )

Vì ( an fracpi 8 > 0)nên suy ra( an fracpi 8 = sqrt frac2 - sqrt 2 2 + sqrt 2 = sqrt frac(2 - sqrt 2 )^22 = sqrt 3 - 2sqrt 2 = sqrt 2 - 1)

Ví dụ 5: Tính giá bán trị của những biểu thức

(A = sin frac15pi 12cos frac5pi 12;B = cos 75^ circ .cos 15^ circ )

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến hóa tích thành tổng

(eginarraylA = sin frac15pi 12cos frac5pi 12 = frac12left< sin left( frac15pi 12 - frac5pi 12 ight) + sin left( frac15pi 12 + frac5pi 12 ight) ight>\= frac12left< sin frac10pi 12 + sin frac20pi 12 ight> = frac12left< sin frac5pi 6 + sin frac5pi 3 ight>\= frac12left< sin fracpi 6 + sin left( - frac2pi 3 ight) ight> = frac12(frac12 - fracsqrt 3 2) = frac14left( 1 - sqrt 3 ight)endarray)

(eginarraylB = cos 75^ circ .cos 15^ circ \= frac12left< cos left( 75^0 - 15^0 ight) + cos left( 75^0 + 15^0 ight) ight>\= frac12left< cos 60^0 + cos 90^0 ight> = frac12left< frac12 + 0 ight> = frac14endarray)

Ví dụ 6: chứng tỏ đẳng thức

(mathop m s olimits minx + cos x = sqrt 2 .sin (x + fracpi 4))

Hướng dẫn:

Áp dụngcông thức đổi khác tổng kết quả để chuyển đổi vế trái thành vế yêu cầu của đẳng thức (có thểáp dụng công thức cộng, biến hóa VP thành VT của đẳng thức)

(eginarraylVT m = sinx + cos x = sin x + sin (fracpi 2 - x)\= 2sin fracpi 4.cos (x - fracpi 4) = 2.fracsqrt 2 2.cos (fracpi 4 - x)\= sqrt 2 .sin = sqrt 2 .sin (x + fracpi 4) = VPendarray)