Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) cùng giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức cất dấu căn, biểu thức đựng dấu quý hiếm tuyệt đối,...) là một trong những dạng toán lớp 9 có không ít bài kha khá khó và đòi hỏi kiến thức áp dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn lớp 9


Bài viết này sẽ share với các em một số trong những cách tìm giá chỉ trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số đựng dấu căn, cất dấu cực hiếm tuyệt đối,...) qua một số trong những bài tập minh họa rứa thể.

° Cách tìm giá trị bự nhất, giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến số)

- mong muốn tìm giá chỉ trị lớn số 1 hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta tất cả thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy một ví dụ 1: mang đến biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- bởi (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* lấy ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tra cứu GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- vị (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bởi xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

* lấy một ví dụ 3: Cho biểu thức: 

*

- tìm x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá chỉ trị bé dại nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 đề xuất (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá chỉ trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến đổi số)

- cũng giống như như phương pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

 

*
 hoặc 
*

- lốt "=" xẩy ra khi A = 0.

* lấy ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy ví dụ như 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* ví dụ như 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy ví dụ như 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá chỉ trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá trị bé dại nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 lúc x = 1/4.

° Cách tìm giá chỉ trị to nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đựng dấu quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 thay đổi số)

- bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính ko âm của trị tốt đối.

* ví dụ 1: tìm kiếm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị giỏi đối,...) với hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều việc phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) đến hai số a, b ko âm: 

*
 (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức đựng dấu quý giá tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi a.b≤ 0).

Xem thêm: Tìm Hiểu Về Chế Độ Urf (Ultra Rapid Fire) Trong Lol, The Perfect Urf Katarina Game

* ví dụ như 1: Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- bởi vì a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn call là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).