a)Tìm tọa độ điểm đối xứng của . Bài 76 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng


Bạn đang xem: Tìm điểm đối xứng qua đường thẳng lớp 12

a) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; – 1;1)\) qua đường thẳng :

\(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = – 1 – t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.\)

b) Tìm tọa độ điểm đối xứng của \({M_0}( – 3;1; – 1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x – 3y – 13 = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):y – 2z + 5 = 0.\)

c) Tìm độ điểm đối xứng của \({M_0}(2; – 1;1)\) qua đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):y + z – 4 = 0\) và \(\left( {\alpha ‘} \right):2x – y – z + 2 = 0.\)

*

a) Phương trình mặt phẳng qua điểm \({M_O}(2; – 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng d đã cho là

\(2(x – 2) + \left( { – 1} \right)\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 2x – y + 2z – 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trên, ta có: \(H = \left( {{{17} \over 9}; – {{13} \over 9};{8 \over 9}} \right).\)

Gọi \({M_0}’\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \({M_o}\) qua đường thẳng d thì H là trung điểm của đoạn thẳng\({M_o}{M_o}’\) . Do đó

\(\left\{ \matrix{ {{x + 2} \over 2} = {{17} \over 9} \hfill \cr {{y – 1} \over 2} = – {{13} \over 9} \hfill \cr {{z + 1} \over 2} = {8 \over 9}.

Xem thêm: Phương Pháp Tính Góc Tạo Bởi Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Hay Nhất

\hfill \cr} \right.\)

Vậy \({M_o}’ = \left( {{{16} \over 9}; – {{17} \over 9};{7 \over 9}} \right).\)

b) Ta xác định được vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4;2} \right).\)Quảng cáo

Khi đó phương trình mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d là :

\(\left( \alpha \right):3x + 4y + 2z + 7 = 0.\)

Gọi \(H(x;y;z)\) là giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\), ta có \({H}= \left( {1; – 3;1} \right).\)

Gọi \(M_o’\left( {x;y;z} \right)\) là điểm đối xứng của \({M_o}\) qua d, ta có \(M_o’ = (5; – 7;3).\)

c) Ta xác định vectơ chỉ phương của d:

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {\left| {\matrix{ 1 & 1 \cr { – 1} & { – 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 0 \cr { – 1} & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & 1 \cr 2 & { – 1} \cr } } \right|} \right)\)

\(= \left( {0;2; – 2} \right).\)

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \({M_o}\) và vuông góc với d, khi đó \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(y – z + 2 = 0.\)

Gọi H là giao điểm của d với mp\(\left( \alpha \right)\), toa độ của \(H(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \matrix{ y + z – 4 = 0 \hfill \cr 2x – y – z + 2 = 0 \hfill \cr y – z + 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H = \left( {1;1;3} \right).\)

Từ đó, điểm \(M_o’\) đối xứng với \({M_o}\) qua d là \(M_o’ = \left( {0;3;5} \right).\)