TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 1

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1 Tích phân suy rộng các loại 1 (tích phân cùng với cận vô hạn)

1 những định nghĩa:

Định nghĩa 1 Cho hàm f(x) xác định trên và khả tích trên phần đa đoạn hữu hạn , với b > a_. Ta gọi_

giới hạn

I= lim b→+∞

∫b

a

f(x)dx

là tích phân suy rộng các loại 1 của f(x) trên và kí hiệu là

+∞

a

f(x)dx:= lim b→+∞

b

a

f(x)dx=I.

Bạn đang xem: Tích phân suy rộng loại 2

Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng

∫+∞

a

f(x)dx hội tụ, còn trong trường hợp ngược lại (hoặc ko tồn tại

limb→+∞

∫b

a

f(x)dx hoặc lim b→+∞

∫b

a

f(x)dx=∞ ) thì ta nói tích phân suy rộng

∫+∞

a

f(x)dx là phân kỳ.

Nhận xét 1 Giả sử hàm số f(x) xác định bên trên khoảng và khả tích trên hầu hết đoạn với b > a_. Lúc đó_

với phần nhiều số thực a

′ > a , ta có ∫ b

a

f(x)dx=

a ′

a

f(x)dx+

b

a′

f(x)dx.

Do đó lim b→+∞

b

a

f(x)dx tồn trên (hữu hạn hoặc vô cùng) khi còn chỉ khi lim b→+∞

b

a′

f(x)dx tồn tại cùng ta có

∫+∞

a

f(x)dx hội tụ khi và chỉ khi

∫+∞

a′

f(x)dx hội tụ.

Nếu một trong những hai tích phân suy rộng nói trên mãi mãi thì

+∞

a

f(x)dx=

a ′

a

f(x)dx+

+∞

a′

f(x)dx.

Ý nghĩa: Khi nghiên cứu sự hội tụ của

∫+∞

a

f(x)dx ta có thể cắt bỏ đi một đoạn tùy ý của mà chỉ

cần xét

+∞

a′

f(x)dx là đủ.

Ta dễ dàng chứng tỏ được các tính chất sau.

Định lý 1 a) Nếu những tích phân suy rộng

+∞

a

f(x)dx

+∞

a

g(x)dx hội tụ thì tích phân suy rộng

+∞

a

g(x)>dx ∫ +∞

a

dx=

+∞

a

f(x)dx+

+∞

a

g(x)dx.

b) ví như tích phân

+∞

a

f(x)dx k là một hằng số thực thì tích phân

+∞

a

kf(x)dx hội tụ và

+∞

a

kf(x)dx=

k

∫+∞

a

f(x)dx_._

2 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

c) nếu như trong đa số đoạn ta vận dụng được phương pháp Newton-Leibnitz

∫b

a

f(x)dx=F(x)

∣∣

b

a

=F(b)−F(a)

và tồn tại lim b→+∞

F(b) =F(+∞) thì

+∞

a

f(x)dx=F(+∞)−F(a).

(d) (Công thức tích phân từng phần) Nếu u(x) , v(x) là gần như hàm khả vi liên tục trên và giới hạn

limx→+∞

u(x)v(x) tồn trên hữu hạn thì

+∞

a

udv=uv

∣∣

+∞

a

−∫

+∞

a

vdu

trong đó

uv

∣∣

+∞

a

= lim x→+∞

.

Tương tự, ta khái niệm tích phân trên các khoảng (−∞, b> (−∞,+∞).

Định nghĩa 1 Cho hàm f: (−∞, b>→R là hàm khả tích trên hầu như đoạn , với a ∫

b

−∞

f(x)dx hội tụ. Tích phân không quy tụ gọi là phân kỳ.

Định nghĩa 1 Cho hàm f: (−∞,+∞)→R là hàm khả tích trên phần lớn đoạn hữu hạn. Nếu với một số thực a nào

đó, hai tích phân suy rộng

a

−∞

f(x)dx

+∞

a

f(x)dx tồn tại và tổng

a

−∞

f(x)dx+

+∞

a

f(x)dx

có nghĩa (tức là không tồn tại dạng ∞−∞ ) thì ta call tổng này là tích phân của f trên (−∞,+∞) và cam kết hiệu là∫ +∞

−∞

f(x)dx_. Như vậy_

∫+∞

−∞

f(x)dx

dn

∫a

−∞

f(x)dx+

∫+∞

a

f(x)dx.

Tích phân

∫+∞

−∞

f(x)dx được hotline là quy tụ nếu tổng sinh sống vế yêu cầu hữu hạn.

Nhận xét 1 (i) thường thấy rằng sự phân kỳ hay hội tụ của

+∫∞

−∞

f(x)dx và giá trị của chính nó không phụ thuộc vào a_._

(ii) với cách xác minh như trên ta bao gồm ngay

+∫∞

−∞

f(x)dx= lim b→+∞ a→−∞

b

a

f(x)dx.

Ví dụ 1 Tính

∫+∞

0

e

−x dx_._

4 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân

∫+∞

a

dx

x α

, a > 0_._

Nếu α= 1 thì

+∞

a

dx

x

= lim b→+∞

b

a

dx

x

= lim b→+∞

lnx|

ba= lim b→+∞

(lnb−lna) = +∞.

Vậy trong trường đúng theo này tích phân phân kỳ.

Nếu α 6 = 1 thì

+∞

a

dx

x α

= lim b→+∞

b

a

x

−α dx

= lim b→+∞

x 1 −α

1 −α

∣∣∣∣

b

a

=1

1 −α

limb→+∞

(b

1 −α −a

1 −α )

=

+∞ nếu α 1.

Các kết quả được phát biểu trong định lý sau:

Định lý 1 Tích phân suy rộng ∫+∞

a

dx

x α

, a > 0

hội tụ nếu α > 1 , phân kỳ nếu α 61_._

1 Tích phân suy rộng của những hàm số ko âm

Khi kể tới tích phân suy rộng, thứ 1 ta thân thiết xem nó có hội tụ hay không? Vì đôi lúc hàm bên dưới dấu

tích phân không có nguyên hàm màn trình diễn qua các hàm sơ cấp hoặc ta không phải tính cực hiếm của tích phân suy

rộng. Vậy ta chỉ việc quan trung khu tích phân suy rộng vẫn cho quy tụ hay phân kỳ. Ta gửi ra một số tiêu chuẩn chỉnh sau

đây:

Định lý 1 Giả sử f(x) là hàm số xác định trên , khả tích trên đa số đoạn với b > a_. Nếu_ f(x)≥ 0

với mọi x∈thì tích phân

+∞

a

f(x)dx luôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞ ).

Định lý 1 (Tiêu chuẩn so sánh) mang đến hai hàm f(x), g(x) xác định trên khoảng , khả tích trên đầy đủ đoạn

hữu hạn với b > a_. Nếu_

06 f(x) 6 g(x),∀x∈

Khi đó

+ Nếu

+∞

a

g(x)dx hội tụ thì

+∞

a

f(x)dx cũng hội tụ,

+ Nếu

∫+∞

a

f(x)dx phân kỳ thì

∫+∞

a

g(x)dx cũng phân kỳ.

Ta thường dùng tiêu chuẩn chỉnh so sánh dưới dạng sau:

TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 5

Hệ quả 1 Cho f(x), g(x) là rất nhiều hàm khả tích trên phần đa đoạn , với b > a và là số đông hàm ko âm trên

. Trả sử sống thọ giới hạn

limx→+∞

f(x)

g(x)

=k.

Khi đó

(a) Nếu 0 ∫

+∞

a

f(x)dx

+∞

a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc thuộc phân kỳ,

(b) k= 0 : Nếu

∫+∞

a

g(x)dx hội tụ thì

∫+∞

a

f(x)dx cũng hội tụ,

(c) k= +∞ : Nếu

∫+∞

a

g(x)dx phân kỳ thì

∫+∞

a

f(x)dx cũng phân kỳ.

Nhận xét 1 (i) từ bỏ hệ quả trên ta thấy ngay rằng nếu f(x) g(x) là hai VCB tương tự khi x→+∞ , tức

là nếu

f(x)∼g(x) khi x→+∞

thì các tích phân

∫+∞

a

f(x)dx

∫+∞

a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chắc hẳn rằng vì vậy mà một số tài

liệu hotline hệ quả trên là tiêu chuẩn chỉnh tương đương.

(ii) Hàm so sánh đơn giản dễ dàng thường được lựa chọn là hàm dạng g(x) =

1

x α

, α > 0 và phối hợp sử dụng công dụng của Định

lý 1.

(iii) Nếu f(x) 60 thì chỉ việc điều tra tích phân

−∫+∞

a

f(x)dx=

∫+∞

a

−f(x)dx.

Nếu f(x) đổi dấu một vài lần trong

′ > và trong

′ ,+∞) giữ nguyên một dấu thì để điều tra sự hội tụ hay

phân kỳ của tích phân

∫+∞

a

f(x)dx , ta chỉ câu hỏi cắt loại bỏ đi đoạn và khảo sát điều tra tích phân trong khoảng còn

lại

+∞

a′

f(x)dx_._

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân

1)∫

+∞

0

e

−x 2 dx 2)

+∞

1

ln(1 +x)

x

dx.

1) Ta có 0 ∫

+∞

0

e

−x dx hội tụ. Do đó theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra

tích phân

∫+∞

0

e

−x 2 dx hội tụ.

2) Ta có

ln(1 +x)

x

>1

x

với mọi x≥ 2.

Ta biết rằng

+∞

1

dx

x

phân kỳ ( α= 1 ). Cho nên vì vậy theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã đến phân kỳ.

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của những tích phân suy rộng các loại 1 sau:

1)∫+∞

1

x 3 + 2

2 x 2 +x− 1

dx 2)

∫+∞

1

(

1 −cos

2

x

)

dx

3)∫+∞

1

2 x√x5+x+ 1

dx 4)

∫+∞

12

cos

1

x

x

dx

TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 7

1 Tích phân suy rộng của hàm tất cả dấu bất kỳ

Định nghĩa 1 Ta bảo rằng tích phân

∫+∞

a

f(x)dx hội tụ tuyệt vời nếu tích phân

∫+∞

a

|f(x)|dx hội tụ.

Định lý 1 Tích phân hội tụ hoàn hảo nhất thì hội tụ.

Proof.

+∞

a

|f(x)|dxhội tụ phải theo tiêu chuẩn Côsi, với mọiǫ > 0 tuỳ ý, tồn tạiB=B(ǫ)≥asao mang đến với

mọib, b ′ ≥B(ǫ)ta tất cả ∫ b′

b

|f(x)|dx ∫

b′

b

f(x)dx

∣∣∣∣6∫

b′

b

|f(x)|dx ∫+∞

a

|f(x)|dxhội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy sống trên. 

Ví dụ 1 Xét sự quy tụ của tích phân

∫+∞

0

coskx

a 2 +x 2

dx , a , k∈R , a 6 = 0_._

Giải: cùng với mọia 6 = 0, hàm số dưới dấu tích phân khẳng định và thường xuyên trên<0,+∞). Cùng với mọix≥ 1 , ta có

∣∣∣∣

coskx

a 2 +x 2

∣∣∣∣61

x 2

.

Vì tích phân

∫+∞

1

dx

x 2

dxhội tụ (α= 2> 1 ) cần tích phân

∫+∞

0

∣∣∣∣

coskx

a 2 +x 2

∣∣∣∣

dxhội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh),

tức là tích phân được xét hội tụ tuyệt đối hoàn hảo (do đó hội tụ).

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của tích phân

∫+∞

0

e

−x cosαxdx , α∈R_._

Giải: Vì|e

−x cosαx| 6 e

−x với mọix∈Rvà

∫+∞

0

e

−x dxhội tụ yêu cầu tích phân đang cho hội tụ tuyệt đối.

Nhận xét 1 Chiều trái lại của Định lý 1 không đúng. Ví dụ như sau đây minh chứng điều đó.

Ví dụ 1 Chứng minh rằng tích phân I=

∫+∞

1

sinx

x

dx hội tụ nhưng mà không quy tụ tuyệt đối.

Chứng minh: thứ nhất ta đã cho thấy tích phân đã mang đến hội tụ. Thật vậy, tích phân từng phần ta có

I=−

cosx

x

∣∣∣∣

+∞

1

−∫+∞

1

cosx

x 2

dx

= cos 1−

∫+∞

1

cosx

x 2 dx (vì|cosb| 61 yêu cầu lim b→+∞

cosb

b

= 0)

Mặt khác vì

∣∣∣∣

cosx

x 2

∣∣∣∣61

x 2

với mọix≥ 1 và

∫+∞

1

1

x 2

dxhội tụ nên tích phân

∫+∞

1

cosx

x 2

dxhội tụ tốt đối. Do

đó tích phân đã cho hội tụ.

Hơn nữa, nếu

∫+∞

1

∣∣∣∣

sinx

x

∣∣∣∣

dxhội tụ thì vì

sin

2 x

x

6∣∣∣∣

sinx

x

∣∣∣∣

với mọix≥ 1

8 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

nên ∫+∞

1

sin

2 x

x

dx=

∫+∞

1

1 −cos 2x

2 x

dx

hội tụ. Bằng cách tương trường đoản cú nhưI=

+∞

1

sinx

x

dxta cũng chỉ ra rằng được tích phân

+∞

1

cos 2x

2 x

dxhội tụ. Do vậy

∫+∞

1

<

1 −cos 2x

2 x

dx+

cos 2x

2 x

>

dx=

∫+∞

1

dx

2 x

hội tụ. Đây là vấn đề mâu thuẫn. Vậy tích phân đã cho không hội tụ tuyệt đối.

Định nghĩa 1 Một tích phân suy rộng quy tụ nhưng ko hội tụ tuyệt vời và hoàn hảo nhất ta hotline nó là bán hội tụ (hay còn gọi

là quy tụ tương đối).

Khi xét sự hội tụ của các tích phân ko hội tụ tuyệt đối ta thường bắt buộc tới hai tiêu chuẩn hội tụ: Tiêu chuẩn

Dirichlet với tiêu chuẩn Abel.

Định lý 1 (Tiêu chuẩn Dirichlet)

Cho f, g: là những hàm khả tích trên phần nhiều đoạn hữu hạn , b≥a_. Nếu những điều kiện dưới đây được_

thỏa mãn:

a) Hàm g(x) đơn điệu dần đến 0 khi x→+∞ và tất cả đạo hàm g

′ (x) liên tục trên ;

b) Hàm f(x) có nguyên hàm F(x) bị ngăn trên , tức là ∃C > 0 sao cho |F(x)| 6 C,∀x≥a ;

thì tích phân

∫+∞

a

g(x)f(x)dx hội tụ.

Định lý 1 (Tiêu chuẩn chỉnh Abel)

Cho f, g: là các hàm khả tích trên phần lớn đoạn hữu hạn , b≥a_. Nếu những điều kiện tiếp sau đây được_

thỏa mãn:

a) Tích phân

+∞

a

f(x)dx hội tụ;

b) Hàm g(x) đơn điệu với bị ngăn trong khoảng ;

thì tích phân

∫+∞

a

g(x)f(x)dx hội tụ.

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của những tích phân (với a > 0 )

+∞

a

sinαx

x p

dx,

∫ +∞

a

cosβx

x p

dx,

trong đó α, β, phường là những hằng số, α, β 6 = 0_._

Ta chỉ xét tích phân

∫+∞

a

sinαx

x phường dx, tích phân còn lại làm tương tự.

Dễ dàng thấy rằng nếup > 1 thì tích phân đang cho hội tụ tuyệt đối.10 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

Nhận xét 1 Trong nhì tích phân Fresnel nói trên, hàm số dưới dấu tích phân không dần về 0 khi x→+∞_._

2 Tích phân suy rộng nhiều loại 2 (tích phân suy rộng của hàm không trở nên chặn)

Bây tiếng ta xét vấn đề suy rộng tích phân

∫b

a

f(x)dxtrong đó hàmfkhông bị ngăn trên. Tích phân suy rộng

loại này call là tích phân suy rộng một số loại 2.

2 các định nghĩa

Định nghĩa 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên , vào đó

limx→b− 0

f(x) =∞ (điểm b gọi là điểm bất thường xuyên của f(x) ).

Giả sử f(x) khả tích trên đa số đoạn , với ǫ > 0 bé tuỳ ý. Ta call giới hạn

limǫ→0+

∫b−ǫ

a

f(x)dx

là tích phân suy rộng một số loại 2 của f(x) trên và ký hiệu là

b

a

f(x)dx_. Như vậy_

∫b

a

f(x)dx= lim ǫ→0+

∫b−ǫ

a

f(x)dx.

Nếu giới hạn ở vế đề nghị tồn tại hữu hạn thì ta nói thì ta nói tích phân suy rộng

∫b

a

f(x)dx hội tụ, còn trong trường

hợp trái lại (không tồn tại số lượng giới hạn hoặc giới hạn bằng) thì ta nói tích phân suy rộng

∫b

a

f(x)dx phân kỳ.

Chẳng hạn các tích phân ∫ 1

0

dx

x− 1

,∫ 1

0

dx

, α > 0

là tích phân suy rộng loại 2 vì

limx→ 1 − 0

1

x− 1

=−∞, lim x→0+

1

x α

= +∞.

Tương tự, lúc điểm bất thường củaflàx=ahoặc điểm trongccủa đoạnhoặc cả hai đầu múta,b, ta

định nghĩa như sau

Định nghĩa 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a, b> , trong đó lim x→a+

f(x) =∞_. đưa sử_ f(x) khả tích trên

mọi đoạn , với ǫ > 0 bé tuỳ ý, ta định nghĩa

b

a

f(x)dx

dn = lim ǫ→0+

b

a+ǫ

f(x)dx.

Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói rằng

∫b

a

f(x)dx hội tụ. Tích phân không hội tụ gọi là phân kỳ.

Định nghĩa 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a, b) , c∈(a, b) , trong đó lim x→a+

f(x) =∞ , lim x→b− 0

f(x) =∞_._

Nếu cả hai tích phân suy rộng

∫c

a

f(x)dx

∫b

c

f(x)dx đều tồn tại cùng tổng

c

a

f(x)dx+

b

c

f(x)dx

TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 11

có nghĩa thì tổng này được hotline là tích phân suy rộng của hàm số f trên đoạn (a, b) và được ký hiệu là

b

a

f(x)dx_._

Như vậy ∫b

a

f(x)dx

dn

∫c

a

f(x)dx+

∫b

c

f(x)dx.

Tích phân suy rộng

b

a

f(x)dx được call là quy tụ nếu tổng làm việc vế nên là hữu hạn.

Nhận xét 2Dễ dàng thấy rằng sự quy tụ và quý giá của tích phân suy rộng

b

a

f(x)dx không nhờ vào vào

việc chọn điểm c_._

Hiển nhiên ∫b

a

f(x)dx= lim ǫ→ 0ǫ′→ 0

b+ǫ

a+ǫ′

f(x)dx.

trong đó ǫ→ 0 , ǫ ′ → 0 một cách tự do với nhau.

Định nghĩa 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên c , c∈(a, b) , trong đó lim x→c

f(x) =∞_. Nếu như cả hai tích_

phân suy rộng

∫c

a

f(x)dx

∫b

c

f(x)dx đều tồn tại cùng tổng

c

a

f(x)dx+

b

c

f(x)dx

có nghĩa thì tổng này được hotline là tích phân suy rộng lớn của hàm số f trên đoạn và được ký hiệu là

∫b

a

f(x)dx_._

Như vậy ∫b

a

f(x)dx

dn

∫c

a

f(x)dx+

∫b

c

f(x)dx.

Tích phân suy rộng

∫b

a

f(x)dx được call là quy tụ nếu tổng ngơi nghỉ vế bắt buộc là hữu hạn.

Nhận xét 2Dễ dàng thấy rằng sự quy tụ và quý hiếm của tích phân suy rộng

∫b

a

f(x)dx không phụ thuộc vào vào

việc chọn điểm c_._

Với cách khẳng định như bên trên ta tất cả ngay

∫b

a

f(x)dx= lim ǫ→ 0ǫ′→ 0

<∫

c−ǫ

a

f(x)dx+

∫b

c+ǫ′

f(x)dx

>.

trong đó ǫ→ 0 , ǫ

′ → 0 một cách hòa bình với nhau.

Ví dụ 2 Xét sự quy tụ của tích phân

∫ 1

0

dx√1 −x2

.

Vì lim x→ 1 −

dx√1 −x 2

= +∞nên đó là tích phân suy rộng một số loại hai (của hàmf(x) =

dx√1 −x 2

với điểm bất thường

làx= 1). Ta có

∫ 1

0

dx√1 −x2

= lim ǫ→ 0 +

∫ 1 −ǫ

0

dx√1 −x2

= lim ǫ→ 0 +

arcsinx

∣∣∣∣

1 −ǫ

0

= lim ǫ→ 0 +

arcsin(1−ǫ) =

π

2.TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 13NếuF(x)là nguyên hàm củaf(x)vàF(x)liên tục trên đoạnthì ta hoàn toàn có thể dùng bí quyết Newton-

Leibnitz ∫b

a

f(x)dx=F(x)

∣∣

b

a

=F(b)−F(a).

Thật vậy, bởi vì với mọiǫ > 0 , ∫b−ǫ

a

f(x)dx=F(b−ǫ)−F(a)

do kia ∫b

a

f(x)dx= lim ǫ→ 0 +

=F(b)−F(a).

Đặtt=1

b−x

=⇒x=b−

1

t

,

f(x) =f

(

b−

1

t

)

, dx=

dt

t 2

.

Khix→b− 0 thìt→+∞và

b

a

f(x)dx= lim ǫ→ 0 +

b−ǫ

a

f(x)dx

= lim ǫ→ 0 +

∫ 1

ǫ

1b−a

f

(

b−

1

t

)dt

t 2

Như vậy ∫ b

a

f(x)dx= lim ǫ→ 0 +

∫ 1

ǫ

1b−a

φ(t)dt=

+∞

1b−a

φ(t)dt.

Do kia tích phân suy rộng các loại 2 dạng

b

a

f(x)dxvới điểm bất thườngbđược gửi về tích phân suy rộng

loại 1 dạng

∫+∞

1b−a

φ(t)dt. Vì vậy việc chứng minh các tính chất của tích phân suy rộng nhiều loại 2 trở bắt buộc đơn

giản bằng cách chuyển về tích phân suy rộng nhiều loại 1 rồi áp dụng các tác dụng đã biết.

2 Tích phân của các hàm số ko âm

Sau trên đây ta vẫn phát biểu các kết quả cho trường hòa hợp tích phân suy rộng

b

a

f(x)dxvới điểm bất thườngx=b.

Định lý 2 Cho hàm số y=f(x) xác định trên , khả tích trên đông đảo đoạn , với ǫ∈(0, b−a). Nếu

f(x)≥ 0 với mọi x∈thì đk cần với đủ nhằm tích phân suy rộng

∫b

a

f(x)dx hội tụ là tồn tại K > 0 sao

cho

∣∣∣

b−ǫ

a

f(x)dx

∣∣∣∣

6 K, ∀ǫ∈(0, b−a).

Định lý 2 (Tiêu chuẩn so sánh)

Cho nhì hàm số f(x), g(x) xác định trên , khả tích trên rất nhiều đoạn , với ǫ > 0 đủ nhỏ. đưa sử

06 f(x) 6 g(x) với mọi x∈

Khi đó

14 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

1) Nếu

b

a

g(x)dx hội tụ thì

b

a

f(x)dx hội tụ và

b

a

f(x)dx 6

b

a

g(x)dx.

2) Nếu

b

a

f(x)dx phân kỳ thì

b

a

g(x)dx cũng phân kỳ.

Hệ quả 2 Cho nhì hàm số f(x), g(x) xác định trên , khả tích trên hồ hết đoạn , với ǫ > 0 đủ nhỏ. Giả

sử

limx→b− 0

f(x)

g(x)

=K (0 6 K 6 +∞).

Khi đó

1) Nếu 0 1

(x−a) α

(hoặc g(x) =

1

(b−x) α

, α > 0 và kết

hợp sử dụng tác dụng của Định lý 2 với Hệ trái 2.

(iii) Nếu f(x) 60 thì chỉ việc điều tra khảo sát tích phân

∫b

a

f(x)dx=

∫b

a

−f(x)dx.

Nếu f(x) đổi dấu một vài lần trong

′ > và trong

′ , b) giữ nguyên một dấu thì để điều tra sự hội tụ hay

phân kỳ của tích phân

b

a

f(x)dx , ta chỉ câu hỏi cắt loại bỏ đoạn

′ > và khảo sát điều tra tích phân trong khoảng còn

lại

∫b

a′

f(x)dx_._

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của những tích phân suy rộng loại 2 sau đây

1)∫

π/ 2

0

dx

cosx

2)∫

2

0

dx√| 1 −x2|

3)∫ 3

1

dx√4 x−x2− 3

4)∫ 1

0

dx

1 −x 3

16 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

Giải. Vìlnx 60 với mọix∈(0,1>nên để vận dụng được Hệ trái 2, ta xét tích phân−

∫ 1

0

lnx √ x

dx. Ta có

limx→+

lnx √ x

1

x 3 / 4

= lim x→+

(−x

1 / 4 lnx) = 0.

1

0

1

x 3 / 4

hội tụ nên

1

0

lnx √ x

dxhội tụ (thực ra, bài này hoàn toàn có thể giải dễ dàng hơn bằng phương pháp dùng định nghĩa

và phương pháp tích phân từng phần để tính trực tiếp).

Nhận xét 2 Để vận dụng cho những ví dụ khác, giải mã trên thường xuyên được trình diễn dưới dạng tinh hơn hoàn toàn như là sau:

Với mọi α > 0 , ta có lim x→+

(x α lnx) = 0 (sử dụng quy tắc L’Hospital). Vày vậy

|lnx| 0 đủ bé dại và α > 0_._

Từ đó:

|lnx| √ x

1

x

α+ 1 2

với mọi x > 0 đủ bé dại và α > 0.

Chọn α=

14

ta tất cả ngay

|lnx| √ x

1

x 3 / 4

với x > 0 đủ nhỏ.

Từ kia suy ra tích phân quy tụ tuyệt đối.

Nhận xét 2 Nếu f(x) là một hàm khẳng định trên (a,+∞) x=a là điểm bất thường (có thể có một vài hữu hạn

điểm không bình thường trên khoảng chừng này), những điều kiện khả tích thỏa mãn. Lúc ấy ta quan niệm tích phân trên (a,+∞)

như sau: ∫ +∞

a

f(x)dx

dn =

b

a

f(x)dx+

+∞

b

f(x)dx

trong đó a 1)∫

1

0

x n dx√1 −x4

dx, n∈N 2)

1

0

xdx

e sinx − 1

3)∫ 1

0

sin 2xdx√ 1 −x 2

4)∫+∞

0

dx√x3+x

Giải: 1) Vì lim x→ 1 − 0

x

n

√ 1 −x 4

= +∞ nên tích phân đã cho là tích phân suy rộng một số loại 2 cùng với điểm bất thường x= 1_. Ta_

f(x) =

x n

√ 1 −x 4

=

x n

√ (1−x)(1 +x)(1 +x 2 )

∼1

2(1−x) 1 / 2

khi x→ 1 − 0.

1

0

dx

(1−x) 1 / 2

hội tụ ( α= 1/ 2 √

x

e sinx − 1

= lim x→0+

x

x

= +∞

nên đây là tích phân suy rộng một số loại 2 với điểm bất thường x= 0_. Khi_ x→0 + 0 ta có

√ x

e sinx − 1

∼√

x

sinx

∼√

x

x

=1√

x

TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 17

nhưng

∫ 1

0

dx√x

=∫ 1

0

dx

(x−0) 1 / 2

hội tụ ( α= 1/ 2 = +∞

nên đó là tích phân suy rộng nhiều loại 2 cùng với điểm bất thường x= 1_. Khi_ x→ 1 − 0 ta có

sin 2x√1 −x2

=

sin 2x

(1−x) 1 / 2 (1 +x) 1 / 2

sin 2√ 2

(1−x) 1 / 2

∫ 1

0

sin 2 √ 2

(1−x) 1 / 2

dx=

sin 2 √ 2

1

0

dx

(1−x) 1 / 2

hội tụ ( α= 1/ 2 =∫

1

0

dx√x3+x︸ ︷︷ ︸

I 1

+∫

+∞

1

dx√x3+x︸ ︷︷ ︸

I 2

Dễ thấy I 1 là tích phân suy rộng một số loại 2 cùng với điểm phi lý tại x= 0_. Khi_ x→0 + 0 ta có

1√

x(x 2 + 1)

=1√

x.

1 +x 2

√ 1 2

x 1 / 2

∫ 1

0

1√2

x 1 / 2

dx=

1√2∫

1

0

dx

(x−0) 1 / 2

hội tụ vì α= 1/ 2 1√

x 3 +x

∼1

x 3 / 2

x→+∞

+∞

1

dx

x 3 / 2

hội tụ vì α= 3/ 2 0 bất kỳ, tồn tại δ > 0 sao mang đến với mọi

δ, δ

′ ∈(b−δ, b) thì ∣ ∣ ∣ ∣

∫δ′

δ

f(x)dx

∣∣∣∣

b

a

f(x)dx với điểm bất thường x=b được hotline là hội tụ tuyệt vời nếu tích

phân suy rộng

b

a

|f(x)|dx hội tụ.

TÍCH PHÂN SUY RỘNG: KIẾN THỨC CƠ BẢN,CÔNG THỨC,VÍ DỤ MẪU 19

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng

1)I=∫+∞

0

sinx

x

dx 2)J=

∫+∞

0

1√

x

arctan

x

x+ 2

dx.

Giải. 1) I=

1

0

sinx

x

dx+

+∞

1

sinx

x

dx=I 1 +I 2_._

lim x→ 0 +

sinx

x

= 1 nên I 1 là tích phân khẳng định thông thường xuyên (xem để ý sau Định lý 2 với Ví dụ 2). Do

vậy nó là số hữu hạn.

I 2 hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet.

Do kia tích phân đã đến hội tụ.

2) J=∫

1

0

1√

x

arctan

x

x+ 2

dx+

+∞

1

1√

x

arctan

x

x+ 2

dx=J 1 +J 2.

lim x→ 0 +1√

x

arctan

x

x+ 2

= 0 nên J 1 là tích phân xác định thông thường xuyên (xem chú ý sau Định lý 2 với Ví dụ

2). Do thế nó là số hữu hạn.

1√

x

arctan

x

x+ 2

π

41√

x

( khi x→+∞)

∫+∞

1

dx√x

phân kỳ nên J 2 phân kỳ theo tiêu chuẩn chỉnh so sánh.

Do đó tích phân đã đến phân kỳ.

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của những tích phân suy rộng

1)I=∫+∞

0

ln(1 +x

2 )√2 x6+x5

dx 2)J=

∫+∞

0

arctanx

x 3 / 2

dx.

Giải. 1) I=

∫ 1

0

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

dx+

∫+∞

1

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

dx=I 1 +I 2_._

• I 1 =∫ 1

0

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

dx_. Ta có_

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

x 2

√ x 5

=1√

x

( khi x→ 0

).

Tích phân

∫ 1

0

dx√x

hội tụ nên I 1 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.

• I 2 =∫

+∞

1

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

dx_. Dìm xét rằng_

limx→+∞

ln(1 +x

2 )

x α

= 0, ∀α > 0.

Do kia tồn tại A > 0 sao cho ln(1 +x

2 ) A , α > 0_. Tự đó_

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

x α

2√

x 6

với mọi x > A , α > 0.

ln(1 +x

2 )√2 x6+x5

1

2 x 3 −α

với mọi x > A , α > 0.

Chọn α= 1 ta được

ln(1 +x 2 )√2 x6+x5

1

2 x 2

với mọi x > A.

Xem thêm: Đăng Bộ Là Gì ? Thủ Tục Đăng Bộ Nhà Đất Mới Nhất Đăng Bộ Là Gì

Tích phân

+∞

1

dx

x 2

hội tụ nên I 2 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Kết luận tích phân đã cho hội tụ.

20 TIÊU ĐỒNGVĨNH HỌC

Lưu ý rằng việc xét sự quy tụ của I 2 có thể sử dụng đánh giá đơn giản hơn hoàn toàn như là sau: