Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một số ví dụ:

1. Xác minh cận lấy tích phân theo 2 phương Ox với Oy của:

*

Giải:

Ta tất cả miền D số lượng giới hạn bởi các đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
cùng
*
là A(2;-2) với C (8;4) với miền D được xác minh như hình bên.

Bạn đang xem: Tích phân 2 lớp

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D bao gồm cùng 1 con đường vào là

*
và thuộc 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 mặt đường vào là y = x – 4 cùng

*
và có chung 1 con đường ra là
*
. Do đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB ném lên mỗi miền tất cả chung 1 đường vào cùng 1 mặt đường ra.

Xem thêm: Có Bao Nhiêu Phân Số Có Tổng Của Tử Số Và Mẫu Số Bằng 2015? Câu Hỏi Của Huyn_Jae

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tựa như như trên, ta tất cả kết quả.

Nhận xét:

1. Từ bỏ tích phân trên miền D1, ta nhận biết cận của tích phân theo biến hóa y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta tất cả miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, giả dụ hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn trường hợp f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân vẫn bằng gấp đôi tích phân bên trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu như miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng cùng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, trường hợp miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng cùng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Giả dụ miền D là miền đối xứng qua Ox cùng Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

(Các kết quả trên coi như bài tập, những em tự chứng minh)

4. đưa sử

*
và
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ các kết quả của 2 tích phân đơn. Các em tự bệnh minh)