Chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là nội dung quan trọng trong chương trình đại số toán lớp 9, thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải các dạng bài tập về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì các em cần nắm vững phần nội dung lý thuyết cùng các dạng bài tập về hàm số bậc nhất. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống lại lý thuyết bằng sơ đồ tư duy Toán 9 chương 3 Đại số và các dạng toán về hai phương trình bậc nhất hai ẩn thường gặp để các em có thể nắm vững nội dung này.Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 10 chương 3 đại số

I. SƠ ĐỒ TƯ DUY TOÁN 9 CHƯƠNG 3 ĐẠI SỐ


*

*

1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn

- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c

+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số : 

*

+ Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung

+ Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

*

, trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm

(d) cắt (d’) thì hệ có nghiệm duy nhất

(d) ≡ (d’) thì hệ có vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

II. CÁC DẠNG TOÁN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN


*

1. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số

a) Quy tắc cộng đại số

- Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm hai bước:

- Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 10 chương 3 đại số

- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

- Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải các hệ PT bậc nhất 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:


2. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:

- Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

- Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế


3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)

- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau


4. Xác định tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm chính là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình đường thẳng đã cho.

Xem thêm: Hướng Dẫn Về Thời Kỳ Đồ Đá Cũ Và Đồ Đá Mới, Thời Đại Đồ Đá Cũ

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 và d2: x + y = 3

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

 - Giải hệ bằng 1 trong 2 phương pháp cộng đại số hoặc thế:

5. Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ Từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi thay vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện các bước biện luận như sau:

- Nếu a ≠ 0, thì x = b/a; thay vào biểu thức để tìm y; hệ có nghiệm duy nhất.

- Nếu a = 0, ta có, 0.x = b:

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 


* Lời giải


* Nếu m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

Kết luận:

 - Nếu m = -1, hệ vô nghiệm

 - Nếu m = 1, hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)

 - Nếu m ≠ ±1, hệ có nghiệp duy nhất: 

6. Xác định tham số m để hệ PT thoả mãn điều kiện về nghiệm số

* Phương pháp:

- Giải hệ phương trình tìm x, y theo m

- Với điều kiện về nghiệm số của đề bài tìm m

 Ví dụ: Cho hệ phương trình: 

tìm giá trị a ∈ Z, để hệ có nghiệm (x;y) với x,y ∈ Z

* Lời giải: