I. Những khái niệm cơ phiên bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm tất cả tập xác định thuộc Z hotline là hàm số bao gồm đối số nguyên. Ký kết hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: không đúng phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên hai giá bán trị sau đó nhau. Cam kết hiệu: ΔUn = Un +1 - Un sai phân cấp m của hàm số Un là không đúng phân của sai...




Bạn đang xem: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH sai PHÂNI. Những khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập xác định thuộc Z gọi là hàm số có đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). F(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa không đúng phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số tại hai giá bán trị tiếp đến nhau. Ký kết hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cung cấp m của hàm số Un là không đúng phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không đúng phân cấp 2 được xem :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương từ ta hoàn toàn có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số phải tìm là một trong hàm đối số rời rạc f (n) = Un bao gồm mặtdưới dạng không đúng phân những cấp.PT không đúng phân cấp m có dạng bao quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không nên phân là hàm số đối số rời rốc Un =f(n) mà khi nuốm Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức bên trên tập hợp những số nguyên n0.Nghiệm bao quát của một PT không nên phân cung cấp n tất cả dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đóC1, C2,...,Cn là các hằng số bất kì, lúc gán cho mỗi kí từ C1, C2,...,Cn một số trong những xác địnhta được một nghiệm riêng biệt của PT.PT không nên phân Ôtônôm là PT bao gồm dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không đúng phân tuyến tính1. Phương trình không đúng phân tuyến đường tính cấp 1Định nghĩa: Là phương trình tất cả dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong kia an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un với Un+1 là hai quý hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguyên bắt buộc tìm.Nếu an cùng bn là các hằng số thì ta gồm phương trình sai phân hệ số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) call là phương trình thuần nhất tương ứng của (1).Ví dụ:Một quý khách hàng có số chi phí là A đồng, rước gửi máu kiệm, lãi xuất hàng tháng là 1%.Lập mô hình về thực trạng tiền vốn của khách hàng. 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình sai phân cung cấp caoa. Phương trình sai phân cung cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và công nhân là những hằng số thì ta gồm phương trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta bao gồm phương trình thuần nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một nghiệm của PT không nên phân tuyến đường tính không thuần nhất cùng U1n, U2n là 2nghiệm hòa bình tuyến tính của PT thuần nhất links thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một vấn đề như sau: “Hômnay, bạn ta tặng ngay tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bước đầu đẻ và sau đó mỗitháng đẻ một lứa, từng lứa là 1 trong những cặp thỏ. Không còn năm, tôi tất cả bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: điện thoại tư vấn Fn là số cặp thỏ đạt được ở tháng lắp thêm n.Tháng trước có Fn-1 cặp, trong đó chỉ tất cả số thỏ mon trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình không nên phân cung cấp kLà phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không đúng phân con đường tính cấp cho 1 hệ số hằng1. Phương trình sai phân con đường tính thuần duy nhất Nghiệm bao quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số tp hà nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng số lượng dân sinh là 1% một năm. Hỏidân số thành phố hà nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: gọi un là dân số hà thành năm lắp thêm n + 1990 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần nhất links Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là một trong nghiệm của PT không nên phân đường tính ko thuần nhất (1) cùng U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa search nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu phường -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu phường = -1 nghiệm riêng biệt là = qn.IV. Phƣơng trình không nên phân tuyến đường tính cung cấp 2 thông số hằng1. Phương trình sai phân con đường tính thuần độc nhất vô nhị :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: nếu như xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn cùng yn chủ quyền tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: giả dụ xn, yn là nghiệm riêng hòa bình tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là 1 trong những nghiệm bất kỳ của (3). Ta minh chứng rằng trường thọ Au với Bu làm sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là những hằng số dựa vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm tuyệt nhất Au cùng Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bởi quy nạp, ta tất cả Un = Au.xn + Bu.yn phần nhiều nghiệm của (3) đều trình diễn qua xn với yn đ.p.c.mTa kiếm tìm nghiệm riêng bên dưới dạng xn = λn (λ 0). Chũm vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) call là phương trình đặc thù của (3).Trường hợp 1: giả dụ (4) có hai nghiệm thực khác nhau λ1 và λ2 (3) có hai nghiệmriêng hòa bình tuyến tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường thích hợp 2: giả dụ (4) bao gồm nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng chủ quyền tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng thể Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hợp 3: nếu (4) bao gồm hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B phường ) cùng với r = A2 + B2 cùng α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) tất cả hai nghiệm riêng tự do tuyến tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4Ví dụ 1: tra cứu nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 với λ2 = 2Vậy nghiệm tổng thể un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 và B = -1. NVậy nghiệm riêng nhất trí là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 cùng λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng yêu cầu tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: tra cứu nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm bao quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm bao quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng buộc phải tìm là un = 1 + nVí dụ 5: search nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm bao quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: tra cứu nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình quánh trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 cùng B = 0. N.Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình sai phân đường tính không thuần duy nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tìm nghiệm riêng U*n của (5) : ? r+) ví như p+q -1 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = 1pq+) ví như p+q = -1 rn Khi p. -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi phường = -2 thì nghiệm riêng biệt là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất link ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường vừa lòng Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét ở dạng bao quát cho PT sai phân tuyếntính hệ số hằng cấp cho k.V. Phƣơng trình không nên phân đường tính cấp k hệ số hằng.1. Phương trình không nên phân tuyến đường tính thuần nhất cấp cho k hệ số hằng:Là phương trình gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực. 6Ta tìm kiếm nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, vắt vào (6) ta có phương trình sệt trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường hợp 1: giả dụ (7) tất cả k nghiệm thực khác nhau λ1, λ2, … λk ta tất cả k nghiệmriêng tự do tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm bao quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường hợp 2:Nếu (7) bao gồm nghiệm bội, chẳng hạn λ1 bao gồm bội s cùng k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta sửa chữa s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hợp 3: ví như phương trình (7) gồm nghiệm phức, ví dụ điển hình λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu được nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) cùng k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó tương ứng ta thay thế sửa chữa x1n = rn.cosnα và x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm bao quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: kiếm tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 cùng λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình đặc trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm bao quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 với C = -5.Vậy nghiệm riêng bằng lòng là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: tìm kiếm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình sai phân con đường tính không thuần nhất cấp cho k hệ số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong kia a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của phương trình (8) bởi nghiệm bao quát của phươngtrình (6) cùng với nghiệm riêng bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử cả nước là nghiệm tổng quát của (6) cùng xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = cả nước + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8) cũng là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Cách search nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường vừa lòng 1:Nếu λ = một là nghiệm cấp s của phương trình đặc trưng ( s có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng tất cả dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) với tìm ci bởi phươngpháp hệ số bất định. Nếu như λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 cùng tìm Ci bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường phù hợp 2: giả dụ λ = β là nghiệm cấp s của phương trình đặc thù (s hoàn toàn có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, cầm vào phương trình tìm Qm(n) bởi phươngpháp thông số bất định. Nếu λ = β ko là nghiệm của phương trình đặc thù thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Qm(n).βn, vậy vào phương trình tìm Qm(n) bằng cách thức hệ số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hòa hợp 3: Ta kiếm tìm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong kia x1n là nghiệm riêng ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường đúng theo 1) và x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường phù hợp 2). 5Ví dụ 1: kiếm tìm một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tra cứu nghiệm riêng dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n - 10Đồng nhất thông số a = -2, b =2 và c = -10Ví dụ 2: tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 với λ2 = -1 λ = 1 là nghiệm đối kháng ta tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: kiếm tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 với λ2 = 2 ta kiếm tìm nghiệm riêng biệt dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3.

Xem thêm: Bộ Đề Kiểm Tra Cuối Học Kì 2 Lớp 2 Lớp 2 Môn Toán, ✅ Đề Thi Học Kỳ 2 Lớp 2 Môn Toán

2nVí dụ 4: tìm kiếm một nghiệm riêng rẽ của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc thù λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 và λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đơn ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: tìm kiếm một nghiệm riêng của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ như 1 với ví dụ 3 nghiệm riêng biệt xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không đúng phân 9