Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Lớp 9

Ví dụ:

Phân tích nhiều thức nhằm thành nhân tử: (x^2-4 + fracx+23 )

Cách giải:

Ta gồm :

( x^2-4 + fracx+23 = (x-2)(x+2)+fracx+23 )

(= (x+2)(x-2+frac13))

(=(x+2)(x-frac53))

Phương pháp thực hiện hằng đẳng thức

Để sử dụng phương thức này bọn họ cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ bên dưới đây:

Ngoài ra chúng ta nên ghi lưu giữ thêm một số đẳng thức hay gặp:

Ví dụ:

Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử : (x^2+4x+4-(2x+1)^3-(x-1)^2)

Cách giải:

Ta có:

( x^2+4x+4-(2x+1)^3-(x-1)^2= (x+2)^2-(x-1)^2-(2x+1)^3)

(= 3(2x+1)-(2x+1)^3)

(= (2x+1)(3-4x^2-4x-1) = -(4x^2+4x-2)(2x+1))

(=-(2x+1-sqrt3)(2x+1+sqrt3)(2x+1))

Phương pháp đội hạng tử 

Đây là ngôi trường hợp quan trọng đặc biệt của tam thức bậc 2 tất cả nghiệm.

Phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử nâng cao

Phương pháp tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung

Cơ sở của phương pháp này là họ sử dụng định lý sau:

Nếu ( x=a ) là 1 trong những nghiệm của phương trình ( f(x) =0 ) thì ta luôn có thể viết ( f(x) ) bên dưới dạng ( f(x) =(x-a).g(x) )

Như vậy ở các bài toán phân tích đa thức để thành nhân tử thì họ cần nhẩm được nghiệm nguyên ( a ) của đa thức đã mang lại rồi từ đó tách, ghép để gia công xuất hiện nay nhân tử ( (x-a) )

Bài toán: (A(x)+B(x)+C(x))

Cách làm như sau: chúng ta bóc (C(x)=C_1(x)+C_2(x)) phù hợp sao mang lại () cùng () có nhân tử chung.

Xem thêm: Thân Em Vừa Trắng Lại Vừa Tròn Bảy Nổi Ba Chìm Với Nước Non La Gi Ữ Tấm Lòng Son

Ví dụ:

Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử (5x^3-7x+2)

Cách giải:

Xét phương trình (5x^3-7x+2=0)

Nhẩm nghiệm thấy ( x=1 ) là nghiệm của phương trình đề xuất ta cần tách để làm mở ra nhân tử ( (x-1) )

Ta có:

( 5x^3-7x+2 = 5x^3-5x-2x+2 )

 (= 5x(x^2-1)-2(x-1))

(= 5x(x+1)(x-1)-2(x-1))

(=(5x^2+5x-2)(x-1))

(=(sqrt5x+fracsqrt5+sqrt132)(sqrt5x+fracsqrt5-sqrt132)(x-1))

Bài toán: Phân tích nhiều thức ( A(x)+B(x) ) thành nhân tử

Cách làm như sau : bọn họ thêm vào ( A(x) ) một đại lượng ( C(x) ) rồi tiết kiệm hơn ở ( B(x) ) đại lượng ( C(x) ) làm thế nào cho ( A(x)+C(x) ) với ( B(x) -C(x) ) nhân ái tử chung

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x^3-x^2-4 )

Cách giải:

Xét phương trình ( x^3-x^2-4 =0 )

Nhẩm nghiệm thấy ( x=2 ) là nghiệm của phương trình bắt buộc ta thêm bớt để triển khai xuất hiện tại nhân tử ( (x-2) )

Ta có:

( x^3-x^2-4 = x^3-2x^2+x^2-2x+2x-4)

(= x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2))

(= (x-2)(x^2+x+2))

Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp này thường xuyên được áp dụng để phân tích những đa thức bậc ( 4 ) thành nhân tử mà những đa thức kia ta ko nhẩm được nghiệm nguyên. Nguyên lý của phương thức này như sau:

Nếu hàm số bậc ( 4 ) so sánh được thành nhân tử thì nó vẫn phân tích được dưới dạng ((k_1x^2+ax+b)(k_2x^2+cx+d))

Thường trong những bài toán thì (k_1=k_2=1). Khi đó khai triển ta được

((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd)

Như vậy với nhiều thức bậc ( 4 ) đến trước thì ta có thể đồng nhất những hệ số của từng hạng tử đựng ( x ) rồi giải hệ để tìm ra ( a,b,c,d ) rồi từ đó phân tích được thành nhân tử

***Chú ý: ví như (k_1.k_2 eq 1) thì họ khai triển có cả ( k_1;k_2 ) rồi giải hệ search ( k_1;k_2 )

Trong các bài toán thường thì các hệ số ( a;b;c;d ) là các số nguyên

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x^4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3)

Cách giải:

Giả sử ta so sánh được đa thức dưới dạng

((x^2+ax+b)(x^2+cx+d) )

Khi kia ta có:

(x4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd)

Đồng nhất hệ số ta được:

(left{eginmatrix a+c=-6\ ac+b+d=12 \ ad+bc=-14 \ bd=3 endmatrix ight.)

Vì ( bd =3 ) phải ta chọn ( b=1;d=3 )

Khi đó:

(left{eginmatrix a+c=-6\ ac=8 \ 3a+c=-14 endmatrix ight.)

(left{eginmatrix a=-4\ c=-2 endmatrix ight.)

Vậy (left{eginmatrix a=-4\ b=1 \ c=-2 \ d=1 endmatrix ight.)

Như vậy ta có:

( x^4 – 6x^3 + 12x^2 – 14x + 3 = (x^2-4x+1)(x^2-2x+3))

(=(x-2-sqrt3)(x-2+sqrt3)(x^2-2x+3))

Phương pháp đặt biến đổi phụ thường xuyên gặp 

Phương pháp phối kết hợp nhiều phương pháp

Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử 

Giải phương trình, bất phương trình

Để giải phương trình ( f(x) =0 ) thì ta phân tích hàm số ( f(x) ) thành nhân tử rồi tiến hành tìm nghiệm của từng nhân tử đó

Ví dụ:

Giải phương trình ( x^3+3x^2+4x+2 =0 )

 Cách giải:

Phương trình đã cho tương đương với :

(x^3+x^2+2x^2+2x+2x+2=0)

(Leftrightarrow x^2(x+1)+2x(x+1)+2(x+1)=0)

(Leftrightarrow (x+1)(x^2+2x+2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x+1=0\x^2+2x+2=0 endarray ight.)

(Rightarrow x=-1)

Rút gọn với tính quý hiếm biểu thức

Để giải những bài toán rút gọn với tính cực hiếm biểu thức dạng phân thức, ta tiến hành phân tích tử và mẫu mã của biểu thức thành nhân tử rồi phân tách cả tử cùng mẫu cho những nhân tử chung của chúng

Ví dụ:

Rút gọn với tính quý giá biểu thức ( p ) cùng với ( x=3 )

(P=frac2(x+1)sqrtx+1+(x-1)sqrtx-1.fracfrac2xsqrtx-1-sqrtx+1frac1sqrtx-1-frac1sqrtx+1)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( x>1 )

Đặt (a=sqrtx+1;b=sqrtx-1). ĐK : ( a>b>0 )

Khi kia : ( 2x = a^2+b^2 )

Thay vào ta được:

(P=frac2a^3+b^3.fracfraca^2+b^2b-afrac1b-frac1a=frac2(a+b)(a^2-ab+b^2).fracfraca^2+b^2-abbfraca-bab)

(=frac2a+b.fracaa-b=frac2aa^2-b^2)

Thay vào ta được :

(P=frac2sqrtx+12=sqrtx+1)

Với ( x= 3 ) , nuốm vào ta được ( P=2 )

Sử dụng để minh chứng chia hết

Để chứng tỏ biểu thức ( A(x) ) chia hết đến biểu thức ( B(x) ) ta phân tích nhân tử ( A(x) = B(x). C(x) )

Ngoài ra ta có thể sử dụng định lý sau:

Trong dãy ( k ) số tự nhiên thường xuyên luôn tồn tại tuyệt nhất một với chỉ một số chia hết đến ( k ) với (k in mathbbZ^+)

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ( n ) thì biểu thức

(P=fracn3+fracn^22+fracn^36) luôn là một số nguyên dương

Cách giải:

Ta có:

(P=fracn3+fracn^22+fracn^36=fracn^3+3n^2+2n6=fracn(n+1)(n+2)6)

Vì ( n;n+1;n+2 ) là cha số trường đoản cú nhiên tiếp tục nên

(Rightarrow) Trong cha số ( n;n+1;n+2 ) luôn luôn tồn tại một số chia hết mang lại ( 3 ) và một trong những chia hết đến ( 2 )

(Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 3) cùng (Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 2)

Vì ước chung nhỏ dại nhất của ( 2;3 ) là ( 1 ) nên

(Rightarrow n(n+1)(n+2)vdots 6)

Vậy (Rightarrow P) là số nguyên dương

Bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử

Sau đấy là một số bài tập phân tích nhiều thức nhằm thành nhân tử để chúng ta luyện tập

( x^2-2x-8 )

( x^3-7x+6 )

( x^4-8x^3+24x^2-35x+20 )

(2x^2-(x-1)sqrtx+1-2 )

(xsqrtx-sqrtxsqrtx+1+sqrtx-xsqrtx+1+x+2-2sqrtx+1)

( a^3+b^3+c^3-3abc )

( (a^2b +b^2c+c^2a) – (ab^2+bc^2+ca^2) ) 

Bài viết trên đây của romanhords.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề phân tích đa thức để thành nhân tử. Mong muốn những kỹ năng trong bài viết sẽ góp ích cho mình trong quy trình học tập và nghiên cứu và phân tích kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc bạn luôn học tốt!.