Công thức nguyên hàm từng phần

cách thức nguyên hàm từng phần thường được áp dụng để kiếm tìm tích phân bất định của các hàm số phức tạp như vừa chứa đựng hàm vô tỉ và hàm lượng giác, hoặc chứa hàm logarit với hàm vô tỉ, giỏi hàm mũ,…

cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm bên trên tập K. Khi đó ta bao gồm công thức tính nguyên hàm từng phần như sau:

*

Nguyên hàm từng phần là gì?


Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tiếp tục trên K ta tất cả công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Bạn đang xem: Nguyên hàm u

Chú ý: Ta hay sử dụng cách thức nguyên hàm từng phần ví như nguyên hàm gồm dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 vào 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số nhiều thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:

– bước 1. Đặt 

*

 (trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x))

– bước 2. Khi đó theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm con số giác, hàm số mũ ta để theo nguyên tắc đặt u.

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì nhiều (hàm nhiều thức)

Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ nón (hàm mũ)

Tức là hàm số như thế nào đứng trước trong lời nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Bài tập:

Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong những 3 hàm còn lại, ta vẫn đặt
*
Tương từ bỏ nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm nhiều thức, ta vẫn đặt 
*

Một số dạng nguyên hàng từng phần hay gặp

Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là đa thức.

Theo luật lệ ta đặt 

*

Dạng 2: 

*

trong đó P(x) là nhiều thức.

Theo nguyên tắc ta đặt 

*

Dạng 3: I = ∫P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là đa thức

Theo nguyên tắc ta đặt 

*

Dạng 4: 

*

Theo quy tắc ta đặt 

*

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số bao gồm dạng sau f(x) = lnx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta có tác dụng như sau

Bước 1: Đầu tiên ta phải đặt

*

Khi đó:

*

 Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

*

với f(x) là 1 trong hàm của đa thức.

Phương pháp giải

– Bước 1: Ta triển khai đặt

*

– Bước 2: dựa vào việc đặt tại trên, ta suy ra

*

Để bạn làm rõ hơn về dạng này, họ cùng nhau làm cho 1 ví dụ dưới đây nhé:

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải

Dựa vào phương thức giải ngơi nghỉ trên chúng ta dễ thấy

*

Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

*

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ A=∫f(x)eax+b dx với f(x) là 1 hàm đa thức.

Xem thêm: Đại Học Nông Lâm Tphcm Học Phí, Học Phí Đại Học Nông Lâm Tphcm (Nlu) Mới Nhất

Phương pháp:

– Bước 1: Ta triển khai đặt

*

– Bước 2: nhờ vào việc đặt tại bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng cả nhà xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx

Lời giải

Dựa theo phương pháp trên, ta triển khai đặt

*

Theo bí quyết tính nguyên hàm từng phần, ta có:

*

Dạng 3: Hàm số lượng giác với hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm con số giác

*

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

– Bước 2: phụ thuộc vào việc đặt ở bước 1, ta thay đổi thành

*

Để phát âm hơn lấy ví dụ như này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây.

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm vị giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải

Đây là 1 nguyên hàm phối hợp giữa nguyên hàm vị giác, bạn hãy làm như sau:

Dựa theo phương thức trên, ta để như sau

*

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

*

Dạng 4: Hàm con số giác với hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm phối kết hợp giữa hàm con số giác và hàm số mũ

*

Các bước giải như sau:

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

*

– Bước 2: khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo bí quyết tổng quát uv–∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức hợp nên phải lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ko kể ra, ở cách 1 ta có thể đặt không giống chút bằng phương pháp đặt

*

Để khiến cho bạn hiểu rộng dạng toán này, mời chúng ta theo dõi một ví dụ như đưới dây nha:

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của nhì hàm là hàm lượng giác cùng hàm e nón sau đây I=∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một trong nguyên hàm kết hợp giữa nguyên hàm vị giác, nguyên hàm của e nón u. Các bạn hãy làm như sau: