1. Nguyên hàm là gì?
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F"(x) = f(x) với mọi x ∈ K.Bạn đang xem: Nguyên hàm của xe^x
2. Tính chất nguyên hàm
Nguyên hàm có 3 tính chất quan trọng cần nhớ:
Bạn đang xem: Nguyên hàm của xe x
3. Các phương pháp tính nguyên hàm
Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản
Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm
a) Đổi biến tổng quát
Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: Biểu thị f(x)dx = gφ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: Khi đó $I = \int {f\left( x \right)dx} $ $ = \int {g\left( t \right)dt} $ $ = G\left( t \right) + C$Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số $I = \int {\frac{1}{{x\sqrt {\ln x + 1} }}dx} $
Hướng dẫn giải
Bước 1: Chọn $t = \sqrt {\ln x + 1} \Rightarrow {t^2} = \ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: Biểu thị $\int {f\left( x \right)dx} = – \frac{1}{3}\int {\frac{1}{t}.dt} $Bước 4: Khi đó $I = – \frac{1}{3}\ln \left| t \right| + C$ $ = – \frac{1}{3}\ln \left| {1 + 3\cos x} \right| + C$b) Đổi biến dạng 1
c) Đổi biến dạng 2
Xem thêm: Hình Ảnh Mặt Trăng Đẹp Lung Linh, Huyền Ảo Của Bầu Trời Đêm, Attention Required!
Dạng 3. Nguyên hàm từng phần
Nguyên tắc chung để đặt u và dv: Tìm được v dễ dàng và ∫v.du tính được
Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ).
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x
Hướng dẫn giải
Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {2x} \right)\\ dv = x.dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{x}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.$
Bước 2: Ta thấy $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} dx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x} \right) – \int {\frac{1}{x}.\frac{{{x^2}}}{2}} dx$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {2x} \right) – \frac{{{x^2}}}{4} + C$ $ = \frac{{{x^2}}}{2}.\left( {\ln \left( {2x} \right) – \frac{1}{2}} \right) + C$
Dạng 4. cách tính nguyên hàm bằng máy tính
Cho nguyên hàm $\int {f\left( x \right)dx} $ = F(x) + C. Hãy tìm f(x) hoặc F(x)
Hướng dẫn
Để giải, mình sẽ hướng dẫn cách bấm máy tính nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:
Bước 1: Nhấn shift $\frac{d}{{dx}}\left( {F\left( x \right)} \right){|_{x = X}} – f\left( X \right)$
Bước 2: Nhấn phím Calc nhập X = 2.5
Bước 3: Đánh giá nghiệm
Nếu kết quả bằng 0 (gần bằng 0 ) thì đó là đáp án cần chọnVí dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $\frac{1}{{2x + 3}}$ là
A. $\frac{1}{2}.ln\left| {2x + 3} \right| + C$
B. $\frac{1}{2}.ln\left( {2x + 3} \right) + C$
C. ln|2x + 3| + C
D. $\frac{1}{{\ln 2}}.$ln|2x + 3| + C
Hướng dẫn bấm máy tính
Bước 1: Nhập vào máy tính casio $\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}.\ln \left( {\left| {2x + 3} \right|} \right)} \right){|_{x = X}} – \frac{1}{{2x + 3}}$
Bước 2: CALC X = -2
Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X = 2 thì đều cho kết quả là 0. Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm.
Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số
Tìm nguyên hàm dạng $\leftcosx}}$$ – \sin x$ $(2).$
Đồng nhất thức ta được: $\left\{ \begin{array}{l} {a_2} = 0\\ 3{a_1} + {b_2} = 0\\ 2{b_1} + {c_2} = 0\\ {c_1} + {d_2} = 0 \end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l} – {a_1} = 1\\ 3{a_2} – {b_1} = – 1\\ 2{b_2} – {c_1} = 2\\ – {c_2} + {d_1} = – 3 \end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = – 1;{a_2} = 0\\ {b_1} = 1;{b_2} = 3\\ {c_1} = 4;{c_2} = – 2\\ {d_1} = 1;{d_2} = – 4 \end{array} \right.$
Khi đó: $I = \left( { – {x^3} + {x^2} + 4x + 1} \right)c{\rm{osx}}$ ${\rm{ + }}\left( {{\rm{3}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} – 2x + 4} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + C}}.$