Mệnh đề là 1 trong câu xác minh đúng hoặc một câu khẳng định sai....Mệnh đề chứa biến là một câu xác minh chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào này mà với mỗi cực hiếm của phát triển thành thuộc X ta được một mệnh đề.
Bạn đang xem: Mệnh đề toán học
Mệnh đề là một câu xác minh đúng hoặc một câu xác định sai....Mệnh đề chứa biến là 1 trong những câu khẳng định chứa thay đổi nhận cực hiếm trong một tập X nào này mà với mỗi giá trị của biến đổi thuộc X ta được một mệnh đề.
MỆNH ĐỀ - SUY LUẬN TOÁN HỌC
I. LÝ THUYẾT
1. Mệnh đề
· Mệnh đề là một trong những câu khẳng định đúng hoặc một câu xác định sai.
· Một mệnh đề thiết yếu vừa đúng, vừa sai.
♦ Chú ý:
+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh chưa phải là mệnh đề.
+ Mệnh đề hay được kí hiệu bằng các chữ mẫu in hoa.
+ Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn là nó chỉ đúng hoặc sai, bắt buộc vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.
2. Mệnh đề che định
Cho mệnh đề P.
· Mệnh đề "Không đề nghị P" đgl mệnh đề phủ định của p. Và kí hiệu là $overlineP$.
· Nếu p. đúng thì $overlineP$ sai, nếu p. Sai thì $overlineP$ đúng.
♦ Chú ý: Mệnh đề lấp định của phường có thể miêu tả theo nhiều cách khác nhau.
3. Mệnh đề kéo theo
Cho nhị mệnh đề p. Và Q.
· Mệnh đề "Nếu p thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là p ⇒ Q.
· Mệnh đề phường ⇒ Q chỉ không nên khi p đúng với Q sai.
P | Q | P ⇒ Q |
Đúng | Đúng | Đúng |
Đúng | Sai | Sai |
Sai | Đúng | Đúng |
Sai | Sai | Đúng |
Chú ý: những định lí toán học thường có dạng p ⇒ Q. Khi đó:
– p là giả thiết, Q là kết luận;
– p. Là điều khiếu nại đủ để có Q;
– Q là điều khiếu nại cần để có P.
4. Mệnh đề đảo
đến mệnh đề kéo theo p. ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P đgl mệnh đề hòn đảo của mệnh đề p. ⇒ Q.
5. Mệnh đề tương đương
đến hai mệnh đề phường và Q.
· Mệnh đề "P nếu còn chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương cùng kí hiệu là phường ⇔ Q.
· Mệnh đề phường ⇔ Q đúng vào khi và chỉ khi cả nhị mệnh để p. ⇒ Q và Q ⇒ P gần như đúng.
Chú ý: nếu như mệnh đề phường ⇔ Q là 1 trong định lí thì ta nói phường là điều kiện phải và đủ để sở hữu Q.
6. Mệnh đề đựng biến
Mệnh đề cất biến là 1 trong câu xác định chứa biến chuyển nhận quý hiếm trong một tập X nào đó mà với mỗi quý giá của biến đổi thuộc X ta được một mệnh đề.
7. Kí hiệu " cùng $
· $"forall xin X,P(x)"$ · $"exists xin X,P(x)"$
· Mệnh đề phủ định của mệnh đề $"forall xin X,P(x)"$ là "$exists xin X$, $overline extP(x)$".
· Mệnh đề đậy định của mệnh đề "$exists xin X, P(x)$" là "$forall xin X, overline extP(x)$".
8. Phép chứng tỏ phản chứng
trả sử ta cần chứng tỏ định lí: A ⇒ B.
Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Sử dụng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
Cách 2: (Chứng minh bội nghịch chứng) Ta giả thiết B sai, từ bỏ đó minh chứng A sai. Vị A thiết yếu vừa đúng vừa sai nên tác dụng là B nên đúng.
9. Xẻ sung
Cho hai mệnh đề p. Và Q.
· Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề p. Và Q cùng kí hiệu là phường $wedge$ Q.
· Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề phường và Q và kí hiệu là p. $vee$ Q.
· phủ định của giao, vừa lòng hai mệnh đề: $overlinePwedge Q=overlinePvee overlineQ$, $overlinePvee Q=overlinePwedge overlineQ$.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Câu nào dưới đấy là mệnh đề đúng, câu nào là mệnh đề sai? a) Đây là đâu? b) PT $x^2+x-1=0$ vô nghiệm c) x + 3 = 5 d) 16 không là số nguyên tố |
Lời giải :
Câu hỏi, không hẳn mệnh đề.Mệnh đề sai, vì chưng phương trình này có 2 nghiệm phân biệt là $x=frac-1pm sqrt52$.Mệnh đề đựng biến.d. Mệnh đề đúng, bởi vì 16 có các ước thoải mái và tự nhiên 1, 2, 4, 8, 16; mà lại số nguyên tố là số trường đoản cú nhiên to hơn 1, chia hết cho một và chính nó.
Ví dụ 2. xác định tính đúng sai của mệnh đề A, B với tìm đậy định của nó A: “$forall xin mathbbR,x^3>x^2$” B: “$exists xin mathbbN,xvdots (x+1)$” |
Lời giải :
+ Xét mệnh đề A ta bao gồm : $x^3>x^2Leftrightarrow x^2left( x-1 ight)>0Leftrightarrow x-1>0Leftrightarrow x>1$.
Vậy mệnh đề A là sai. $overlineA:""exists xin mathbbR,x^3le x^2""$
+ Xét mệnh đề B :
Chọn $x=0Rightarrow 0vdots 1$ (đúng).
Vậy mệnh đề B là đúng. $overlineB:""forall xin mathbbN,x otvdots left( x+1 ight)""$
Giả sử $n otvdots 2Rightarrow n=2k+1,kin mathbbNRightarrow n^2=4k^2+4k+1 otvdots 2$ (mâu thuẫn với giả thiết)Vậy $nvdots 2$.
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
§1. MỆNH ĐỀ
BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Trong những câu bên dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu làm sao là mệnh đề chứa biến:
a) Số 11 là số chẵn. B) chúng ta có chăm học không ?
c) Huế là một trong những thành phố của Việt Nam. D) 2x + 3 là một số nguyên dương.
e) $2-sqrt5
g) Hãy trả lời câu hỏi này!. H) Paris là hà nội nước Ý.
i) Phương trình $x^2-x+1=0$ gồm nghiệm. K) 13 là một vài nguyên tố
2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? lý giải ?
a) ví như a phân chia hết đến 9 thì a phân tách hết mang lại 3. B) ví như (age b) thì $a^2ge b^2$.
c) nếu a phân chia hết cho 3 thì a phân tách hết đến 6. D) Số $pi $ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
e) 2 với 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. F) 81 là một vài chính phương.
g) 5 > 3 hoặc 5
3. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào là đúng ? lý giải ?
a) nhị tam giác đều nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) hai tam giác cân nhau khi và chỉ còn khi bọn chúng đồng dạng và gồm một cạnh bởi nhau.
c) Một tam giác là tam giác phần đông khi và chỉ còn khi bọn chúng có hai tuyến phố trung tuyến đều nhau và có một góc bằng $60^0$.
d) Một tam giác là tam giác vuông khi còn chỉ khi nó bao gồm một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
e) Đường tròn tất cả một trung khu đối xứng và một trục đối xứng.
f) Hình chữ nhật gồm hai trục đối xứng.
g) Một tứ giác là hình thoi khi còn chỉ khi nó gồm hai đường chéo cánh vuông góc với nhau.
h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi còn chỉ khi nó gồm hai góc vuông.
4. Các mệnh đề sau đúng tốt sai. Nêu mệnh đề bao phủ định của chúng
a.“Phương trình x 2 – x – 4 = 0 vô nghiệm”
b.“6 là số nguyên tố” b.“$forall nin N:n^2-1$” là số lẻ
5. Nêu mệnh đề che định của các mệnh đề sau:
a) Số tự nhiên và thoải mái n chia hết mang đến 2 và đến 3.
b) Số tự nhiên và thoải mái n gồm chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
c) Tứ giác T gồm hai cạnh đối vừa tuy nhiên song vừa bằng nhau.
d) Số tự nhiên và thoải mái n có ước số bởi 1 và bằng n.
6. Nêu mệnh đề bao phủ định của những mệnh đề sau:
a) $forall xin R:x^2>0$ . B) $exists xin R:x>x^2$.
c) $exists xin Q:4x^2-1=0$. D) $forall xin R:x^2-x+7>0$.
e) $forall xin R:x^2-x-2
g) $forall nin N,n^2+1$ không phân chia hết mang đến 3. H) $forall nin N,n^2+2n+5$ là số nguyên tố.
i) $forall nin N,n^2+n$ phân chia hết đến 2. K) $forall nin N,n^2-1$ là số lẻ.
7. Điền vào khu vực trống từ bỏ nối "và" tốt "hoặc" và để được mệnh đề đúng:
a) $pi 5$. B) $ab=0,,khi,,a=0,....,b=0$.
c) $ab e 0,,khi,,a e 0,....,b e 0$ d) $ab>0,,khi,,a>0,....,b>0,....,a
e) một vài chia hết đến 6 khi và chỉ khi nó chia hết đến 2 …. đến 3.
f) một trong những chia hết đến 5 khi còn chỉ khi chữ số tận thuộc của nó bằng 0 …. Bởi 5.
8. Cho mệnh đề chứa vươn lên là P(x), cùng với x(in ) R. Tra cứu x để P(x) là mệnh đề đúng:
a) $P(x):""x^2-5 extx+4=0""$ b) $P(x):""x^2-5 extx+6=0""$ c) $P(x):""x^2-3x>0""$
d) $P(x):""sqrtxge x""$ e) $P(x):""2x+3le 7""$ f) $P(x):""x^2+x+1>0""$
9. Phát biểu mệnh đề P Þ Q, xét tính đúng sai với phát biểu mệnh đề hòn đảo của nó
a.P: “ABCD là hình chữ nhật” cùng Q: “AC và BD cắt nhau trên trung điểm từng đường”
b.P: “3 > 5” và Q: “7 > 10”
c.P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” với Q: “Góc B = 450”
10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng quan niệm "điều khiếu nại cần", "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, nếu hai tuyến phố thẳng tách biệt cùng vuông góc cùng với một đường thẳng thứ cha thì hai đường thẳng ấy song song cùng với nhau.
b) nếu như hai tam giác đều nhau thì bọn chúng có diện tích s bằng nhau.
c) nếu như tứ giác T là 1 trong hình thoi thì nó có hai đường chéo cánh vuông góc cùng với nhau.
d) nếu tứ giác H là 1 hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
e) giả dụ tam giác K hồ hết thì nó có hai góc bằng nhau.
11. Phát biểu những mệnh đề sau, bằng phương pháp sử dụng tư tưởng "điều kiện phải và đủ":
a) Một tam giác là vuông khi còn chỉ khi nó có một góc bởi tổng hai góc còn lại.
b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có tía góc vuông.
c) Một tứ giác là nội tiếp được trong mặt đường tròn khi và chỉ còn khi nó có hai góc đối bù nhau.
d) một số trong những chia hết đến 6 khi còn chỉ khi nó chia hết mang đến 2 và đến 3.
e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ còn khi $n^2$ là số lẻ.
12. Hãy xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây và phát biểu mệnh đề hòn đảo của chúng
P: “Hình thoi ABCD tất cả 2 đường chéo AC cùng BD vuông góc nhau”
Q: “Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều”
R: “13 chia hết cho 2 nên 13 phân chia hết đến 10”
13. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào tất cả mệnh đề đảo đúng
A: “Một số thoải mái và tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó phân tách hết mang lại 2”
B: “Tam giác cân có một góc = 600 là tam giác đều”
C: “Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương”
D: “Hình thoi có 1 góc vuông chính vậy hình vuông”
BÀI TẬP NÂNG CAO
1. Hãy phát biểu và chứng minh các định lý sau đây
a. (forall nin mathbbN,n^2vdots 3Rightarrow nvdots 3)
b. (forall nin mathbbN,n^2vdots 6Rightarrow nvdots 6)
2. Xét tính đúng sai của những mệnh đề sau, nêu rõ lý do và lập mệnh đề tủ định cho những mệnh đề dưới đâY
a. $exists rin Q,4r^2-1=0$ b. $exists nin N,(n^2+1)vdots 8$
c.(forall xin R,x^2+x+1>0) d.(forall nin mathbbN^*,(1+2+3+...+n)) không chia hết mang lại 11
3. Cho P(n): “n là số chẵn” với Q(n): “7n + 4 là số chẵn”
a.Phát biểu và chứng minh định lý “(forall nin mathbbN,P(n)Rightarrow Q(n))”
b.Phát biểu và chứng tỏ định lý hòn đảo của định lý trên
c.Phát biểu gộp 2 định lý trên bằng 2 cách.
4. CMR,
5. P,Q là 2 mệnh đề. CMR : các mệnh đề sau là sai :
a, $Pwedge overlineP$ b, $(Pwedge Q)wedge overlineP$
6. Xác định tính đúng – sai của mệnh đề : $(PRightarrow Q)Rightarrow (arPvee Q)$
HD : Xét từng trường đúng theo qua bảng.
§2 SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Phát biểu định lý sau bên dưới dạng "điều kiện đủ"
a/ nếu như hai tam giác đều bằng nhau thì chúng đồng dạng.
b/ hai đường thẳng phân minh cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
c/ trường hợp a + b > 2 thì a > 1 xuất xắc b > 1
d/ Nếu một trong những tự nhiên có chữ số tận cùng là số 0 thì nó phân tách hết đến 5.
e/ giả dụ a + b
2. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"
a/ Hình chữ nhật bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau.
b/ nếu hai tam giác cân nhau thì nó có các góc tương ứng bằng nhau.
c/ Nếu một vài tự nhiên phân tách hết cho 6 thì nó phân tách hết cho 3.
d/ giả dụ a = b thì a3 = b3.
e/ nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
3. Dùng cách thức phản chứng, CMR :
a/ nếu như n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
b/ trường hợp n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
c/ nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d/ giả dụ x = 1 xuất xắc y = $frac12$ thì x + 2y - 2xy - 1 = 0
e/ ví như x.y phân tách hết mang đến 2 thì x giỏi y phân tách hết mang lại 2.
Xem thêm: Trị Mụn Nước Ở Tay - Tay Bị Ngứa Nổi Mụn Nước: Nguyên Nhân Do Đâu
f) nếu như d1// d2 với d1// d3 thì d2 // d3.
4. Chứng minh vơi số đông số nguyên dương n, ta có:
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2
b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1)
c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = $fracn(n+1)2$
a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = $fracn(n+1)(n+2)3$
b) $frac11.2+frac12.3+frac13.4+.........+frac1n.(n+1)=fracnn+1$
c) $frac11.3+frac13.5+frac15.7+.........+frac1(2n-1).(2n+1)=fracn2n+1$