Lớp 1

Lớp 2

Lớp 2 - kết nối tri thức

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Lớp 2 - Cánh diều

Tài liệu tham khảo

Lớp 3

Sách giáo khoa

Tài liệu tham khảo

Sách VNEN

Lớp 4

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Lớp 5

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Lớp 6

Lớp 6 - liên kết tri thức

Lớp 6 - Chân trời sáng tạo

Lớp 6 - Cánh diều

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 7

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 8

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 9

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

Lớp 10

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

Lớp 11

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề và Trắc nghiệm

Lớp 12

Sách giáo khoa

Sách/Vở bài xích tập

Đề thi

Chuyên đề & Trắc nghiệm

IT

Ngữ pháp giờ Anh

Lập trình Java

Phát triển web

Lập trình C, C++, Python

Cơ sở dữ liệu


*

Tổng hợp triết lý Chương 3: Vectơ trong ko gian. Tình dục vuông góc trong không khí hay, cụ thể nhất

Tổng hợp kim chỉ nan Chương 3: Vectơ trong ko gian. Quan hệ giới tính vuông góc trong ko gian

Để học giỏi Toán lớp 11, phần bên dưới là siêng đề tổng hợp định hướng và bài bác tập trắc nghiệm (có đáp án) Toán lớp 11 Tổng hợp định hướng Chương 3: Vectơ trong không gian. Tình dục vuông góc trong ko gian. Bạn vào tên dạng hoặc Xem chi tiết để xem các chuyên đề Toán 11 tương ứng.

Bạn đang xem: Lý thuyết toán hình 11 chương 3

Bài giảng: Bài 1 : Vectơ trong không gian - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên romanhords.com)

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ trong KHÔNG GIAN

Cho đoạn trực tiếp AB trong ko gian. Nếu như ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một quãng thẳng tất cả hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ bao gồm điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→, b→, x→, y→, …

Các quan niệm có tương quan đến vectơ như giá bán của vectơ, độ lâu năm của vectơ, sự cùng phương, cùng vị trí hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa giống như như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA ba VECTƠ

1. Khái niệm về sự việc đồng phẳng của bố vectơ trong ko gian

Trong không khí cho tía vectơ a→, b→, c→ phần lớn khác vectơ – không. Nếu từ 1 điểm O bất kỳ ta vẽ OA→ = a→, OB→ = b→, OC→ = c→ thì rất có thể xả ra nhị trường hợp:

+ trường hợp các đường trực tiếp OA, OB, OC không cùng phía trong một phương diện phẳng, khi ấy ta nói rằng vectơ a→, b→, c→ ko đồng phẳng.

+ trường hợp những đường trực tiếp OA, OB, OC cùng phía bên trong một mặt phẳng thi ta nói cha vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng.

Trong trường vừa lòng này giá của những vectơ a→, b→, c→ luôn luôn song song với một khía cạnh phẳng.

*

a) ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng

*

b) tía vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng

Chú ý: Việc khẳng định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói bên trên không dựa vào vào bài toán chọn điểm O.

Từ kia ta tất cả định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không khí ba vectơ được call là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng tuy nhiên song với một mặt phẳng.

3. Điều khiếu nại để ba vectơ đồng phẳng

Từ định nghĩa cha vectơ đồng phẳng cùng từ định lí về sự phân tích (hay biểu thị) một vectơ theo hai vectơ nhị vectơ không cùng phương vào hình học tập phẳng bạn cũng có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không khí cho hai vectơ a→, b→ không cùng phương với vectơ c→. Lúc ấy ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi còn chỉ khi có cặp số m, n làm sao cho c→ = ma→ + nb→. Trong khi cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

Trong không khí cho tía vectơ ko đồng phẳng a→, b→, c→. Lúc đó với đa số vectơ x→ ta đều tìm được một bộ cha số m, n, p làm thế nào để cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Nước ngoài ra bộ ba số m, n, phường là duy nhất.

Lý thuyết hai tuyến phố thẳng vuông góc

Bài giảng: Bài 2 : hai đường thẳng vuông góc - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên romanhords.com)

I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA nhì VECTƠ trong KHÔNG GIAN

1. Góc giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, mang lại u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. đem một điểm A bất kì, hotline B với C là hai điểm làm thế nào cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta call góc BAC ( 0° ≤ ∠BAC ≤ 180°) là góc thân hai vectơ u→ cùng v→ trong không gian, kí hiệu là (u→, v→).

*

2. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ trong ko gian

Định nghĩa

Trong ko gian, mang lại hai vectơ u→ với v→ đa số khác 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là 1 trong những số, kí hiệu là u→.v→, được xác minh bởi công thức:

u→.v→ = |u→|.|v→|.cos(u→, v→)

Trong trường thích hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy mong u→.v→ = 0.

II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Vectơ a→ không giống 0→ được call là vectơ chỉ phương của con đường thẳng d nếu như giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.

*

2. Nhấn xét

a) trường hợp a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka→ với k ≠ 0 cũng chính là vectơ chỉ phương của d.

b) Một con đường thẳng trong không gian trọn vẹn xác định trường hợp biết một điểm A trực thuộc d với một vectơ chỉ phương a→ của nó.

c) hai đường thẳng tuy nhiên song cùng nhau khi còn chỉ khi chúng là hai đường thẳng tách biệt và tất cả hai vectơ chỉ phương cùng phương.

III. GÓC GIỮA hai ĐƯỜNG THẲNG vào KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a cùng b trong không khí là góc giữa hai tuyến phố thẳng a’ với b’ thuộc đi qua 1 điểm và lần lượt tuy vậy song cùng với a với b.

*

2. Nhận xét

a) Để xác định góc giữa hai tuyến đường thẳng a với b ta có thể lấy điểm O thuộc 1 trong hai mặt đường thẳng kia rồi vẽ một con đường thẳng qua O và tuy nhiên song với con đường thẳng còn lại.

b) trường hợp u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a với v→ là vectơ chỉ phương của mặt đường thẳng b với (u→, v→) = α thì góc giữa hai tuyến phố thẳng a cùng b bởi α giả dụ 0° ≤ α ≤ 90° và bởi 180° – α trường hợp 90° u→ và v→ theo thứ tự là những vectơ chỉ phương của hai tuyến phố thẳng a với b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0.

b) Cho hai tuyến đường thẳng song song. Giả dụ một đường thẳng vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với con đường thẳng kia.

c) hai tuyến phố thẳng vuông góc cùng với nhau hoàn toàn có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Lý thuyết Đường trực tiếp vuông góc với phương diện phẳng

Bài giảng: Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên romanhords.com)

1. Định nghĩa

*

Đường thẳng d được call là vuông góc với khía cạnh phẳng (α) giả dụ d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Kí hiệu d ⊥ (α).

2. Điều khiếu nại để con đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lí

nếu như một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng giảm nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả

giả dụ một mặt đường thẳng vuông góc với nhì cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ bố của tam giác đó.

3. Tính chất

Tính hóa học 1

có duy tốt nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm đến trước và vuông góc với một mặt đường thẳng mang lại trước.

*

Mặt phẳng trung trực của một quãng thẳng

bạn ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn trực tiếp AB và vuông góc cùng với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn trực tiếp AB.

Tính chất 2

có duy độc nhất vô nhị một con đường thẳng đi qua 1 điểm đến trước cùng vuông góc cùng với một khía cạnh phẳng mang lại trước.

*

4. Tương tác giữa quan lại hệ song song với quan hệ vuông góc của con đường thẳng cùng mặt phẳng.

Tính chất 1

Cho hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song. Khía cạnh phẳng như thế nào vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với mặt đường thẳng kia.

hai đường thẳng rành mạch cùng vuông góc cùng với một mặt phẳng thì tuy nhiên song cùng với nhau.

*

Tính hóa học 2

đến hai khía cạnh phẳng song song. Đường thẳng như thế nào vuông góc với phương diện phẳng này thì cũng vuông góc với phương diện phẳng kia.

hai mặt phẳng minh bạch cùng vuông góc với một đường thẳng thì tuy vậy song cùng với nhau.

*

Tính hóa học 3

mang đến đường thẳng a cùng mặt phẳng (α) tuy nhiên song với nhau. Đường thẳng như thế nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc cùng với a.

nếu một con đường thẳng và một phương diện phẳng (không chứa đường trực tiếp đó) thuộc vuông góc cùng với một đường thẳng không giống thì chúng song song với nhau.

*

5. Định lí cha đường vuông góc

Định nghĩa

Phép chiếu tuy vậy song lên phương diện phẳng (P) theo phương vuông góc tới phương diện phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên phương diện phẳng (P).

Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

*

mang đến đường trực tiếp a ko vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b phía trong mặt phẳng (P). Lúc đó điều kiện cần cùng đủ để b vuông góc cùng với a là b vuông góc cùng với hình chiếu a’ của a trên (P).

6. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Định nghĩa

*

Nếu con đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa mặt đường thẳng a và mặt phẳng (P) bởi 90°.

Nếu đường thẳng a ko vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a với hình chiếu a’ của chính nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a cùng mặt phẳng (P).

Xem thêm: Những Câu Chuyện Kinh Dị - Tổng Hợp 10 Truyện Ma Ngắn Rùng Rợn

Chú ý: nếu như φ là góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) thì ta luôn luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.