Giả sử rằng chúng ta đã biết khái niệm đường tròn đơn vị và một vài tính chất của góc lượng giác với cạnh trong đường tròn 1-1 vị, việc này đề nghị thêm triết lý của số lượng giới hạn kẹp nữa.Bạn đã xem: biết rằng lim x tiến tới 0 của sinx / x =1

Đầu tiên, bọn họ nên biết một chút ít về giới hạn kẹp.

Bạn đang xem: Lim sinx khi x tiến tới 0

Giả sử ta có một vài $b$ bị kẹp giữa hai số $a$ cùng $c$ như sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ cùng $c$ thuộc bằng một số $ extL$ nào đó, cũng chính vì $b$ bị kẹp thân $a$ và $c$ yêu cầu ta hoàn toàn có thể suy ra được $b$ cũng bằng $ extL$, vấn đề đó là hoàn toàn hợp tình phù hợp lý.

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta tất yêu tính trực tiếp $b$ khi $x o 0$ được, ta bắt buộc tìm ra hai số lượng giới hạn $a$ và $c$ để kẹp giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi tiếp nối đi tính $a$ cùng $c$, kia là ý tưởng của việc này, làm cầm cố nào để tìm $a$ với $c$, ta vẫn phải nhờ vào tính chất của các góc lượng giác và cạnh trong con đường tròn 1-1 vị.


*

Đầu tiên bản thân sẽ đi kiếm mối tình dục giữa chúng trước, nhìn bằng mắt thường xuyên vào hình ở trên, ta nhận ra rằng đâu đó diện tích s tam giác $ extOAC$ có vẻ như nhỏ dại hơn diện tích đường cung $stackrelfrown extOAC$, và ăn diện tích mặt đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại nhỏ tuổi hơn diện tích tam giác ngoại trừ $ extOBC$, nghĩ thầm ta hoàn toàn có thể áp dụng được định lý kẹp tại phần này, việc còn sót lại là nỗ lực đưa nó về cách làm góc lượng giác thử xem.

Gọi $ heta$ (thay thế cho $x$) là góc được tạo bởi bán kính đường tròn $ extOA$ với $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà trong mặt đường tròn đơn vị, độ dài cung cấp kính luôn luôn bằng $1$, tức là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

Khi nói $ heta$ tiến tới $0$, có nghĩa là $ heta$ hoàn toàn có thể tiến từ bỏ số dương (vùng I) về $0$, cũng có thể tiến từ số âm (vùng IV) về $0$, vậy để bảo đảm an toàn độ nhiều năm $ extAD$ luôn đúng, ta buộc phải thêm dấu quý hiếm tuyệt đối,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ lâu năm đoạn $ extAD$, ta rất có thể tính diện tích tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = fracsin heta2$$

Tiếp theo, ta buộc phải tính diện tích cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung bao gồm đường màu vàng), ta hiểu được cả một hình tròn trụ đơn vị sẽ có hệ số góc là $2 pi$ radian và có diện tích là $1 pi$ radian, vậy 1 phần nhỏ của hình tròn trụ (tức là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ tiến hành tính bằng phương pháp lấy thông số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ chia cho tất cả hệ số góc của hình tròn trụ sau đó nhân với diện tích của nó đúng không nhỉ nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương từ bỏ với lí vì như trên, ta rất cần được thêm giá bán trị hoàn hảo vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac2$$

Tiếp theo, tính diện tích của tam giác $ extOBC$, ta đề nghị tính độ lâu năm cạnh $BC$ với,

$$ an heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = an heta cdot extOC = an heta cdot 1 = an heta$$

Suy ra diện tích s tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot an heta = frac an heta2$$

Tương tự với lí bởi như trên, ta rất cần phải thêm giá chỉ trị hoàn hảo nhất vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac2$$

Dựa vào hình trên, ta có thể đưa ra một bất đẳng thức xác minh rằng diện tích tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ hơn diện tích s đường cung $stackrelfrown extOAC$ cùng luôn nhỏ hơn diện tích tam giác $ extOBC$, hay,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế các công dụng tính diện tích vào, ta có,

$$frac2 leq frac heta2 leq frac2$$

Bây giờ đồng hồ làm cụ nào nhằm biểu thức nghỉ ngơi giữa trở thành $fracsin heta heta$ để áp dụng định lý kẹp thì quá xuất xắc vời, sẽ là điều bọn họ mong muốn. Đầu tiên, nhân từng biểu thức trong bất đẳng thức cho $2$ với mục tiêu để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Khai triển $| an heta|$, ta có,

$$|sin heta| leq | heta| leq fracsin heta$$

Tiếp tục phân tách mỗi biểu thức vào bất đẳng thức mang đến $|sin heta|$, ta được,

$$frac leq frac leq fracleft( frac ight)$$

Rút gọn gàng một xíu,

$$1 leq fracsin heta leq frac1cos heta$$

Thực hiện hòn đảo ngược tử số và mẫu số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, khi hòn đảo ngược, vết của bất đẳng thức sẽ cụ đổi,

$$1 geq fracsin heta geq |cos heta|$$

Bây tiếng xét lốt của cực hiếm tuyệt đối,

Đối với biểu thức $frac heta$, khi $ heta$ tiến từ bỏ vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc hẳn rằng sẽ dương, khi $ heta$ tiến tự vùng âm (vùng IV) về $0$, tác dụng sẽ bởi $frac-sin heta- heta$ chắc hẳn rằng cũng vẫn dương.

Đối cùng với biểu thức $|cos heta|$, lúc $ heta$ tiến về $0$ là các giá trị nằm trong trục $Ox$, có nghĩa là đoạn thẳng $ extOC$, cho nên công dụng $cos heta$ luôn luôn luôn dương.

Xem thêm: Top 10 Để Làm Khô Khí Co2 Cần Dẫn Khí Này Qua Chất Nào? Để Làm Khô Khí Co2 Cần Dẫn Khí Này Qua Chất Nào

Vậy, ta rất có thể bỏ lốt giá trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức trên chỉ đúng trong miền quý giá từ $fracpi2$ mang đến $frac-pi2$, có nghĩa là trong vùng I cùng vùng IV của con đường tròn đối kháng vị, bởi vì $ heta$ tiến tới $0$ cho nên vì thế nó chỉ nằm trong 2 khoảng này, họ không cần xét thêm nhì vùng sót lại kia.

Bây giờ, đã tới khi thêm số lượng giới hạn vào các biểu thức nhỏ trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta o 0 1 geq lim_ heta o 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta có,

$lim_ heta o 0 1 = 1$$lim_ heta o 0 cos heta = cos 0 = 1$

Đã cho lúc áp dụng định lý số lượng giới hạn kẹp, cũng chính vì $lim_ heta o 0 fracsin heta heta$ bị kẹp giữa hai giới hạn $lim_ heta o 0 1$ và $lim_ heta o 0 cos heta$, mà chúng ta đã tính được hiệu quả ở 2 giới hạn kẹp cùng đều bởi $1$, cho nên giới hạn sinh sống giữa chắc chắn là cũng sẽ bởi $1$,