Định lí: trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bởi tổng các bình phương của nhị cạnh sót lại trừ đi nhị lần tích của nhị cạnh đó nhân cùng với (cosin) của góc xen giữa chúng.

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Ta có các hệ thức sau:

$$eqalign và a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.cos A , , (1) cr và b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.cos B , , (2) cr & c^2 = a^2 + b^2 - 2ab.cos C , , (3) cr $$

Hệ trái của định lí cosin:

(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc)

(cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)

(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)

Áp dụng: Tính độ dài mặt đường trung tuyến đường của tam giác:

Cho tam giác (ABC) có các cạnh (BC = a, CA = b) với (AB = c). Hotline (m_a,m_b) và (m_c) là độ dài những đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh (A, B, C) của tam giác. Ta có

(m_a^2) = (dfrac2.(b^2+c^2)-a^24)

(m_b^2) = (dfrac2.(a^2+c^2)-b^24)

(m_c^2) = (dfrac2.(a^2+b^2)-c^24)

2. Định lí sin

Định lí: trong tam giác (ABC) bất kỳ, tỉ số thân một cạnh cùng sin của góc đối diện với cạnh kia bằng 2 lần bán kính của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

(dfracasin A= dfracbsin B = dfraccsin C = 2R)

với (R) là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích (S) của tam giác (ABC) được tính theo một trong số công thức sau


(S = dfrac12 ab sin C= dfrac12 bc sin A ) (= dfrac12ca sin B , ,(1))

(S = dfracabc4R, ,(2))

(S = pr, ,(3))

(S = sqrtp(p - a)(p - b)(p - c)) (công thức Hê - rông) ((4))

Trong đó:(BC = a, CA = b) và (AB = c); (R, r) là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp, bk con đường tròn nội tiếp với (S) là diện tích tam giác đó.

3. Giải tam giác và áp dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm các nguyên tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta yêu cầu tìm mối tương tác giữa các góc, cạnh đã mang đến với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và những công thức tính diện tích s tam giác.

Các câu hỏi về giải tam giác: tất cả 3 câu hỏi cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và hai góc.

=> sử dụng định lí sin nhằm tính cạnh còn lại.

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

=> dùng định lí cosin để tính cạnh đồ vật ba. 

Sau đó cần sử dụng hệ quả của định lí cosin nhằm tính góc.

Xem thêm: Em Hãy Nêu Những Đặc Điểm Chính Của Nền Kinh Tế Lãnh Địa, Thế Nào Là Lãnh Địa Phong Kiến

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với việc này ta thực hiện hệ trái của định lí cosin để tính góc: 

(cos A = dfracb^2+c^2-a^22bc)

(cos B = dfraca^2+c^2-b^22ac)

(cos C = dfraca^2+b^2-c^22ab)

Chú ý: 

1. Cần xem xét là một tam giác giải được lúc ta biết 3 nguyên tố của nó, trong những số ấy phải có tối thiểu một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc ko được thừa 2)

2. Vấn đề giải tam giác được áp dụng vào những bài toán thực tế, độc nhất là những bài toán đo đạc.