Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.
Bạn đang xem: Hàm số đồng biến nghịch biến lớp 10
1. Xét sự biến thiên của hàm số
1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{K}$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).
Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}f({{x}_{2}})$.Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.
Đồ thị của hàm số đồng biến
Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:
Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$ trên $\mathbb{K}$.
1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ ${{x}_{1}}1-2{{x}_{2}}\geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{1-2{{x}_{1}}}>\sqrt{1-2{{x}_{2}}}$$ hay hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right>$.
Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ và ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.
Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{K}$;Nếu $TVí dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.
Hướng dẫn.
Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 1 > 0, \forall x\in \mathbb{R} \end{align}Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$
Hướng dẫn.
Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}T &= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\&= \frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) – (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} – {x_2}}}\\&= \frac{{(x_1^3 – x_2^3) + (2{x_1} – 2{x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\&= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\\&= \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 + \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, \forall x\in \mathbb{R}.\end{align}Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.
Xét tỉ số biến thiên \begin{align} T&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ &=\frac{\frac{3{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}-2}-\frac{3{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}-2}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\ &=\frac{\left( 3+\frac{7}{{{x}_{1}}-2} \right)-\left( 3+\frac{7}{{{x}_{2}}-2} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\& =-\frac{7}{\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)}\end{align}
Suy ra với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;\,2 \right)$ hoặc ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2;+\infty \right)$ thì $T Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$.Với $ x_1, x_2 \in \mathcal{D} $ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}T&=\frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\&=\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} – \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} – {x_2}}}\\&=\frac{{(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} – {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}\\&=\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}.\end{align}Khi đó:Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +\infty)$.Nếu $ x_1, x_2
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $\mathcal{D}=\left< -\frac{3}{2};+\infty \right)$.
Các hàm số $y={{x}^{3}}$ và $y=\sqrt{2x+3}$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$ nên hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ là hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$.
Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
$f(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x-3}$;$g(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x+3}$.2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10
Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +\infty)$
$y = \frac{3}{x-1}$$y = x + \frac{1}{x}$Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:
$y = \sqrt{3x-1}+\sqrt{x}$$y = x^3 +\sqrt{x}$Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
$f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;$f(x)=\frac{x}{x-7}$ trên khoảng $(-\infty,7)$ và trên khoảng $(7,+\infty)$;$y=-3x+2$ trên $\mathbb{R}$;$y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+\infty)$;$y=-\frac{1}{x+1}$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:
$y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$;$y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$;$y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$;$y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$;$y={{x}^{3}}-3x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$;$y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\frac{x}{x-2} $ trên tập xác định của nó.
Bài 6.
Xem thêm: Đề Thi Học Kì 2 Lớp 8 Môn Văn Có Đáp Án Pgd&Đt Thị Xã Ninh Hòa
Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\big| x+|2x-1|\big|$ trên tập xác định của nó.