PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Định nghĩa hàm số bậc nhất: 

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) .

Bạn đang xem: Hàm số bậc nhất có dạng

2. Sự biến thiên của hàm số bậc nhất:

+ Tập xác định: \(D = R\) 

+ Hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) đồng biến khi \(a > 0\) và nghịch biến khi \(a

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - 2x + 4\).

d) Đường thẳng d  đi qua \(N\left( {2; - 1} \right)\) nên \( - 1 = 2a + b\).

Và \(d \bot d" \Rightarrow 4.a = - 1 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}\). Do đó: \(b = - \frac{1}{2}\).

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}\).

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng \(d:\,\,y = x + 2m\) và \(d":\,\,y = 3x + 2\) (m là tham số).

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và \(d"":\,\,y = - mx + 2\) phân biệt đồng quy.

Giải

a) Ta có \({a_d} = - 1 \Rightarrow {a_{d"}} = 3\) suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = x + 2m\\y = 3x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 1\\y = 3m - 1\end{array} \right.\)

Suy ra d d’ cắt nhau tại điểm \(M\left( {m - 1;3m - 1} \right)\).

b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên \(M \in d""\), do đó:

\(3m - 1 = - m\left( {m - 1} \right) + 2 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)


+ Với \(m = 1\) ta có ba đường thẳng là \(d:\,\,y = x + 2;\,\,d":\,\,y = 3x + 2;\,\,d"":\,\,y = - x + 2\) phân biệt và đồng quy tại \(M\left( {0;2} \right)\). + Với \(m = - 3\) ta có \(d" \equiv d""\) suy ra \(m = - 3\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng \(d:\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + m\) và \(d":\,\,\left( {{m^2} - 1} \right)x + 6\).

a) Tìm m để hai đường thẳng d, d’ song song với nhau.

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại Ad’ cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại O.

Giải

a)

+ Với \(m = 1\), ta có \(d:\,\,y = 1;\,\,d":\,\,y = 6\) do đó hai đường thẳng này song song với nhau.

+ Với \(m = - 1\) ta có \(d:\,\,y = - 2x - 1;\,\,d":\,\,y = 6\) suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại \(M\left( { - \frac{7}{2};6} \right)\)

+ Với \(m \ne \pm 1\) khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = {m^2} - 1\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left< \begin{array}{l}m = 1\\m = 0\end{array} \right.\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}m = 1\\m = 0\end{array} \right.\)


Đối chiếu với điều kiện \(m \ne \pm 1\) suy ra \(m = 0.\)

Vậy \(m = 0\)và \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {m - 1} \right)x + m\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = m\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;m} \right)\)

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 6\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{m^2} - 1} \right)x + 6 = 0\\y = 0\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\)

Rõ ràng \(m = \pm 1\) hệ phương trình (*) vô nghiệm.

Với \(m \ne \pm 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{1 - {m^2}}}\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{6}{{1 - {m^2}}};0} \right)\)

Do đó tam giác OAB cân tại O \( \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {\frac{6}{{1 - {m^2}}}} \right| \Leftrightarrow \left| {m - {m^3}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left< \begin{array}{l}m - {m^3} = 6\\m - {m^3} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 2\,\,\left( {tm} \right)\)


Vậy \(m = \pm 2\) là giá trị cần tìm.

Dạng toán 2. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất.

Ví dụ 4. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = 3x + 6\) b) \(y = - \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\)

Giải

a) Tập xác định \(D = R\).

Vì \(a = 3 > 0\) suy ra hàm số đồng biến trên R .

Bảng biến thiên:

 

*

Đồ thị hàm số \(y = 3x + 6\) đi qua \(A\left( { - 2;0} \right);\,\,B\left( { - 1;3} \right)\).

 

*

b) Tập xác định \(D = R\)

Vì \(a = - \frac{1}{2}

Đường thẳng \(y = - 2\) song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2.

 

*

b) Đường thẳng \(y = 2x - 3;\,\,y = - x - 3\) cắt nhau tại \(A\left( {0; - 3} \right).\)

Đường thẳng \(y = - x - 3;\,\,y = - 2\) cắt nhau tại \(A"\left( { - 1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(y = 2x - 3;\,\,y = - 2\) cắt nhau tại \(A""\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\).

Ví dụ 6. Cho đồ thị hàm số có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ.

 

*

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left< { - 3;3} \right>\).

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên \(\left< { - 4;2} \right>\).

Giải

a) Bảng biến thiên của hàm số trên \(\left< { - 3;3} \right>\)

 

*

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left< { - 4;2} \right>} y = 3 \Leftrightarrow x = - 4;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left< { - 4;2} \right>} y = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Dạng toán 3. Đồ thị của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối \(y = \left| {ax + b} \right|\).

Phương pháp giải toán: Vẽ đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \left| {ax + b} \right|\) ta làm như sau:



+ Lấy đối xứng đồ thị \(\left( C \right)\) ở dưới trục hoành qua trục hoành.

Ví dụ 7. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x Vẽ đường thẳng \(y = - x - 2\) đi qua hai điểm \(A\left( {0; - 2} \right);\,\,C\left( { - 2;0} \right)\) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.


Cách 2: Đường thẳng \(d:\,\,y = x - 2\) đi qua \(A\left( {0; - 2} \right);\,\,B\left( {2;0} \right)\). Khi đó đồ thị của hàm số \(y = \left| x \right| - 2\) là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.

 

*

b) Đồ thị \(y = \left| {\left| x \right| - 2} \right|\) là gồm phần:

+ Giữ nguyên đồ thị hàm số \(y = \left| x \right| - 2\) ở phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số \(y = \left| x \right| - 2\) ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

 

*

Ví dụ 9. Cho đồ thị \(\left( C \right):\,\,y = 3\left| {x - 2} \right| - \left| {2x - 6} \right|\)

a) Vẽ đồ thị \(\left( C \right)\).

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với \(x \in \left< { - 3;4} \right>\).

Giải

a) Ta có \(y = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 3\\5x - 12\,\,khi\,\,2 Vẽ đường thẳng \(y = 5x - 12\) đi qua hai điểm \(B\left( {3;3} \right);\,\,C\left( {2; - 2} \right)\) và lấy phần đường thẳng nằm giữa của hai đường thẳng \(x = 2;\,\,x = 3\).


Vẽ đường thẳng \(y = - x\) đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right);\,\,D\left( { - 1; - 1} \right)\) và lấy phần đường thẳng bên trái của đường thẳng \(x = 2\).

 

*

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left< { - 3;4} \right>} y = 4 \Leftrightarrow x = 4;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left< { - 3;4} \right>} y = - 2 \Leftrightarrow x = 2\)

Dạng toán 4. Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp giải toán: 

Cho hàm số \(f\left( x \right) = ax + b\) và đoạn \(\left< {\alpha ;\beta } \right> \subset R\). Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left< {\alpha ;\beta } \right>\) là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:

\(\begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left< {\alpha ;\beta } \right>} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right)} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left< {\alpha ;\beta } \right>} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right)} \right\}\\\mathop {\max }\limits_{\left< {\alpha ;\beta } \right>} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( a \right)} \right|;\left| {f\left( b \right)} \right|} \right\}\end{array}\)


Ví dụ 10. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {2x - m} \right|\). Tìm m để giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left< {1;2} \right>\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

Dựa vào các nhận xét trên ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left< {1;2} \right>} f\left( x \right)\) chỉ có thể đạt được tại \(x = 1\) x=1 hoặc \(x = 2\).

Như vậy nếu đặt \(M = \mathop {\max }\limits_{\left< {1;2} \right>} f\left( x \right)\) thì \(M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 - m} \right|\) và \(M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 - m} \right|\).

Ta có: \(M \ge \frac{{f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right| + \left| {4 - m} \right|}}{2} \ge \frac{{\left| {2 - m + m - 4} \right|}}{2} = 1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {2 - m} \right| = \left| {4 - m} \right|\\\left( {2 - m} \right)\left( {m - 4} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi \(m = 3\).

Ví dụ 11. Cho hàm số \(y = \left| {\sqrt {2x - {x^2}} - 3m + 4} \right|\). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.


Giải

Gọi \(A = \max y\). Ta đặt \(t = \sqrt {2x - {x^2}} \Rightarrow t = \sqrt {1 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \), do đó \(0 \le t \le 1\).

Khi đó hàm số được viết lại là \(y = \left| {t - 3m + 4} \right|\) với \(t \in \left< {0;1} \right>\), suy ra:

\(A = \mathop {\max }\limits_{\left< {0;1} \right>} \left| {t - 3m + 4} \right| = \max \left\{ {\left| { - 3m + 4} \right|;\left| {5 - 3m} \right|} \right\} \ge \frac{{\left| { - 3m + 4} \right| + \left| {5 - 3m} \right|}}{2}\) Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: \(\left| { - 3m + 4} \right| + \left| {5 - 3m} \right| = \left| {3m - 4} \right| + \left| {5 - 3m} \right| \ge 1\)

Do đó\(A \ge \frac{1}{2}\), đẳng thức xảy ra khi \(m = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị cần tìm là \(m = \frac{3}{2}\).

Ví dụ 12. Cho a, b, c thuộc \(\left< {0;2} \right>\). Chứng minh rằng: \(2\left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) \le 4\)

Giải

Viết bất đẳng thức lại thành \(\left( {2 - b - c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 \le 0\)


Xét hàm số bậc nhất: \(f\left( a \right) = \left( {2 - b - c} \right)a + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4\) với ẩn \(a \in \left< {0;2} \right>\).

Xem thêm: Sinh Năm 2010 Mệnh Gì, Con Gì, Hợp Hướng Nào, Hợp Màu Gì? 1950 Mệnh Gì Và Phong Thủy Hợp Mệnh Đầy Đủ Nhất

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 = - \left( {2 - b} \right)\left( {2 - c} \right) \le 0\)

\(f\left( 2 \right) = \left( {2 - b - c} \right)2 + 2\left( {b + c} \right) - bc - 4 = - bc \le 0\)

Suy ra \(f\left( a \right) \le \max \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( 2 \right)} \right\} \le 0\).

Tải về

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay