Nội dung bài bác giảng sẽ giới thiệu đến những em các vị trí tương đối của nhị mặt phẳng và phần đông dạng bài tập tương quan đến Hai mặt phẳng tuy vậy song. Bên cạnh đó là phần nhiều ví dụ minh họa có hướng dẫn giải cụ thể sẽ giúp những em thuận tiện nắm được nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Hai mặt phẳng song song


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Vị trí kha khá của nhì mặt phẳng phân biệt

1.2. Điều kiện để hai khía cạnh phẳng song song

1.3. Tính chất

1.4. Hình lăng trụ với hình hộp

1.5. Hình chóp cụt

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 4 chương 2 hình học tập 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai khía cạnh phẳng tuy nhiên song

3.2 bài tập SGK và nâng cấp vềHai phương diện phẳng tuy nhiên song

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 2 hình học tập 11


mang đến 2 mặt phẳng (left( p. ight)) với (left( Q ight).) địa thế căn cứ vào số con đường thẳng thông thường của 2 khía cạnh phẳng ta có tía trường đúng theo sau:

a. Nhì mặt phẳng (left( p. ight)) và (left( Q ight)) không tồn tại đường trực tiếp chung, tức là:

(left( p. ight) cap left( Q ight) = emptyset Leftrightarrow left( phường ight)parallel left( Q ight).)

b. Nhị mặt phẳng (left( phường ight)) và (left( Q ight)) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

(left( phường ight) cap left( Q ight) = a Leftrightarrow left( p ight)) cắt (left( Q ight),.)

c. Hai mặt phẳng (left( p ight)) cùng (left( Q ight)) có 2 mặt đường thẳng bình thường phân biệt, tức là:

(left( p ight) cap left( Q ight) = left a,,,b ight Leftrightarrow left( p. ight) equiv left( Q ight).)

*


1.2. Điều kiện nhằm hai phương diện phẳng song song


Định lí 1: giả dụ mặt phẳng (left( p ight)) chứa hai tuyến phố thẳng (a,,,b) giảm nhau và cùng tuy nhiên song vớimặt phẳng (left( Q ight)) thì (left( p. ight)) song song (left( Q ight).)

Tức là: (left{ eginarrayla,,,b in left( p. ight)\a cap b = left I ight\aparallel left( p ight),,,bparallel left( Q ight)endarray ight. Rightarrow ,,left( p. ight)parallel left( Q ight).)

*


1.3. Tính chất


Tính chất 1: qua một điểm nằm bên cạnh một phương diện phẳng, tất cả một và có một mặt phẳng tuy nhiên song với phương diện phẳng đó.

Tức là: (O otin left( p ight) Rightarrow ,,exists !,,left( Q ight):left{ eginarraylO in left( Q ight)\left( p ight)parallel left( Q ight)endarray ight.,.)

Cách dựng: - trong (left( phường ight)) dựng (a,,,b) cắt nhau.

Qua (O) dựng (a_1parallel a,;b_1parallel b.)Mặt phẳng (left( a_1,,,b_1 ight)) là mặt phẳng qua (O) và tuy nhiên song với (left( p ight).)

Hệ trái 1: Nếu mặt đường thẳng (a) tuy vậy song với phương diện phẳng (left( Q ight)) thì qua (a) tất cả một và chỉ một mặt phẳng (left( p ight)) tuy vậy song cùng với (left( Q ight).)

Hệ quả 2: hai mặt phẳng khác nhau cùng song song cùng với một khía cạnh phẳng thứ cha thì tuy nhiên song cùng với nhau.

Tính chất 2: nếu hai phương diện phẳng (left( phường ight)) cùng (left( Q ight)) tuy nhiên song thì mặt phẳng (left( R ight)) đã cắt (left( phường ight)) thì phải cắt (left( Q ight)) và những giao con đường của chúng song song.

Tức là: (left{ eginarraylleft( p ight)parallel left( Q ight)\a = left( phường ight) cap left( R ight)\b = left( Q ight) cap left( R ight)endarray ight. Rightarrow ,,aparallel b.)

*

Định lí Ta – lét trong ko gian: Ba phương diện phẳng đôi một tuy nhiên song chắn bên trên hai cat tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: (left{ eginarraylleft( p ight)parallel left( Q ight)parallel left( R ight)\a cap left( phường ight) = A_1;,,a cap left( Q ight) = B_1;,,a cap left( R ight) = C_1\b cap left( phường ight) = A_2;,,b cap left( Q ight) = B_2;,,b cap left( phường ight) = C_2endarray ight.)

( Rightarrow ,,fracA_1B_1B_1C_1 = fracA_2B_2B_2C_2,.)

*


1.4. Hình lăng trụ cùng hình hộp


Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là 1 trong hình nhiều diện gồm hai mặt phía trong hai mặt phẳng tuy vậy song gọi là hai đáy và toàn bộ các cạnh không thuộc hai cạnh lòng đều tuy vậy song với nhau.

Trong đó:

Các còn mặt khác với nhị đáy điện thoại tư vấn là những mặt mặt của hình lăng trụ.Cạnh phổ biến của nhị mặt mặt gọi là ở kề bên của hình lăng trụ.Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ khái niệm của hình lăng trụ, ta thứu tự suy ra các tính chất sau:

a. Các ở bên cạnh song tuy vậy và bằng nhau.

b. Các mặt mặt và những mặt chéo cánh là đông đảo hình bình hành.

c. Hai lòng là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

*

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ gồm đáy là hình bình hành điện thoại tư vấn là hình hộp.

a. Hình vỏ hộp có tất cả các mặt mặt và các dưới mặt đáy đều là hình chữ nhật hotline là hình vỏ hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt mặt và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

*
*

Chú ý: các đường chéo của hình hộp giảm nhau tại trung điểm mỗi đường.


1.5. Hình chóp cụt


Định nghĩa: cho hình chóp (S.A_1A_2...A_n.) Một khía cạnh phẳng (left( p. ight)) song song với phương diện phẳng chứa đa giác lòng cắt các cạnh (SA_1,,,SA_2,,,...,,,SA_n) theo máy tự trên (A"_1,,,A"_2,,,...,,,A"_n,.) Hình tạo vì thiết diện (A"_1A"_2...A"_n) với đáy (A_1A_2...A_n) của hình chóp cùng với những mặt bên (A_1A_2A"_2A"_1,,,A_2A_3A"_3A"_2,,,...,,,A_nA_1A"_1A" _n) gọi là một trong hình chóp cụt.

*

Trong đó:

Đáy của hình chóp gọi là đáy phệ của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy bé dại của hình chóp cụt.

Các mặt sót lại gọi là các mặt mặt của hình chóp cụt.Cạnh phổ biến của hai mặt mặt kề nhau như (A_1A"_1,,,A_2A"_2,,,...,,,A_nA"_n) call là ở bên cạnh của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất: cùng với hình chóp cụt, ta gồm các đặc điểm sau:

1. Hai lòng của hình chóp cụt là hai nhiều giác đồng dạng.

2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

3. Các kề bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.


Bài toán 1: CHỨNG MINH nhị MẶT PHẲNG song SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng tuy nhiên song ta có thể thực hiện nay theo một trong hai hướng sau:

Chứng minh trong phương diện phẳng này còn có hai mặt đường thẳng cắt nhau cùng tuy vậy song với khía cạnh phẳng kia.

(left{ eginarrayla subset left( alpha ight),b subset left( alpha ight)\a cap b = I\aparallel left( eta ight)\bparallel left( eta ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight)parallel left( eta ight)).

*

Chứng minh nhị mặt phẳng kia cùng song song cùng với măt mặt phẳng thứ ba.

(left{ eginarraylleft( alpha ight)parallel left( gamma ight)\left( eta ight)parallel left( gamma ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight)parallel left( eta ight)).

*

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) tất cả đáy (ABCD) là hình bình hành chổ chính giữa (O), hotline (M,N) theo lần lượt là trung điểm của (SA,SD). Chứng tỏ (left( OMN ight)//left( SBC ight)).

Hướng dẫn:

*

Ta bao gồm (M,O) theo lần lượt là trung điểm của (SA,AC) phải (OM) là đường trung bình của tam giác (SAC) ứng cùng với cạnh (SC)do đó (OMparallel SC).

Vậy (left{ eginarraylOMparallel SC\SC subset left( SBC ight)endarray ight. Rightarrow OMparallel left( SBC ight) m left( 1 ight)).

Tương tự, Ta tất cả (N,O) lần lượt là trung điểm của (SD,BD) bắt buộc (ON) là mặt đường trung bình của tam giác (SBD) ứng cùng với cạnh (SB)do kia (OM//SB).

Vậy (left{ eginarraylONparallel SB\SB subset left( SBC ight)endarray ight. Rightarrow OMparallel left( SBC ight) m left( 2 ight)). Tự (left( 1 ight)) với (left( 2 ight)) ta có (left{ eginarraylOMparallel left( SBC ight)\ONparallel left( SBC ight)\OM cap ON = Oendarray ight. Rightarrow left( OMN ight)parallel left( SBC ight)).

Bài toán 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA (left( alpha ight)) VỚI HÌNH CHÓP lúc BIẾT (left( alpha ight)) tuy nhiên SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG (left( eta ight))CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Để khẳng định thiết diện vào trường phù hợp này ta thực hiện các đặc điểm sau.Khi (left( alpha ight)parallel left( eta ight))thì (left( alpha ight)) sẽ tuy vậy song với tất cả các đường thẳng trong (left( eta ight))và ta gửi về dạng thiết diện song song với mặt đường thẳng (§3)

Sử dụng (left{ eginarraylleft( alpha ight)parallel left( eta ight)\left( eta ight)parallel left( gamma ight)\left( eta ight) cap left( gamma ight) = d\M in left( alpha ight) cap left( gamma ight)endarray ight. Rightarrow left( alpha ight) cap left( gamma ight) = d"parallel d,M in d").

Tìm mặt đường thẳng (d) mằn trong (left( eta ight)) cùng xét những mặt phẳng gồm trong hình chóp mà đựng (d), lúc ấy (left( alpha ight)parallel d) đề nghị sẽ cắt các mặt phẳng đựng (d)( nếu như có) theo các giao tuyến song song với (d).Ví dụ 2:

Cho hình chóp (S.ABCD) gồm đáy (ABCD) là hình bình hành cùng (M,N) thứu tự là trung điểm của (AB,CD). Xác minh thiết diện của hình chóp cắt vị (left( alpha ight)) trải qua (MN) và tuy nhiên song với mặt phẳng (left( SAD ight)). Tiết diện là hình gì?

Hướng dẫn:

*

Ta tất cả (left{ eginarraylM in left( SAB ight) cap left( alpha ight)\left( SAB ight) cap left( SAD ight) = SAendarray ight.)( Rightarrow left( SAB ight) cap left( alpha ight) = MKparallel SA,K in SB).

Tương tự (left{ eginarraylN in left( SCD ight) cap left( alpha ight)\left( alpha ight)parallel left( SAD ight)\left( SCD ight) cap left( SAD ight) = SDendarray ight.) ( Rightarrow left( SCD ight) cap left( alpha ight) = NHparallel SD,H in SC).

Dễ thấy (HK = left( alpha ight) cap left( SBC ight)). Thiết diện là tứ giác (MNHK)

Ba mặt phẳng (left( ABCD ight),left( SBC ight)) và (left( alpha ight)) đôi một giảm nhau theo các giao đường là (MN,HK,BC), mà (MNparallel BC Rightarrow MNparallel HK).

Vậy thiết diện là một hình thang.

Bài toán 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES

Phương pháp:

Định lí Thales thừng được áp dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay những bài toán chứng tỏ đường thẳng tuy nhiên song với một phương diện phẳng nuốm định.

Ví dụ 3:

Cho tứ diện (ABCD) với (M,N) là các điểm vắt trên những cạnh (AB,CD) làm thế nào cho (fracAMMB = fracCNND).

a) chứng tỏ (MN) luôn luôn luôn tuy vậy song cùng với một khía cạnh phẳng ráng định.

b) mang đến (fracAMMB = fracCNND > 0) và (P) là 1 điểm trên cạnh (AC). Tra cứu thiết diện của hình chóp cắt do (left( MNP ight)?)

c) Tính theo (k) tỉ số diện tích s tam giác (MNP) và mặc tích thiết diện.

Hướng dẫn:

*

a) do (fracAMMB = fracCNND) nên theo định lí Thales thì những đường thẳng (MN,AC,BD) cùng tuy vậy song cùng với một phương diện phẳng (left( eta ight)).Gọi (left( alpha ight)) là khía cạnh phẳng đi qua (AC) và tuy nhiên song cùng với (BD)thì (left( alpha ight)) thắt chặt và cố định và (left( alpha ight)parallel left( eta ight))suy ra (MN) luôn luôn song tuy vậy với (left( alpha ight)) cố gắng định.

b) Xét trường đúng theo (fracAPPC = k), lúc này (MPparallel BC) đề xuất (BCparallel left( MNP ight)).

Ta có:

(left{ eginarraylN in left( MNP ight) cap left( BCD ight)\BCparallel left( MNP ight)\BC subset left( BCD ight)endarray ight. Rightarrow left( BCD ight) cap left( MNP ight) = NQparallel BC,Q in BD).

Thiết diện là tứ giác (MPNQ.)c) Xét trường hợp (fracAPPC e k)

Trong (left( ABC ight))gọi (R = BC cap MP)

Trong (left( BCD ight)) điện thoại tư vấn (Q = NR cap BD) thì tiết diện là tứ giác (MPNQ).

Gọi (K = MN cap PQ)

Ta bao gồm (fracS_MNPS_MPNQ = fracPKPQ).

Do (fracAMNB = fracCNND) phải theo định lí Thales đảo thì (AC,NM,BD) theo lần lượt thuộc cha mặt phẳng song song với nhau và mặt đường thẳng (PQ) cắt tía mặt phẳng này tương xứng tại (P,K,Q) nên vận dụng định lí Thales ta được: (fracPKKQ = fracAMMB = fracCNND = k)( Rightarrow fracPKPQ = fracPKPK + KQ = fracfracPKKQfracPKKQ + 1 = frackk + 1).


A.Nếu nhì mặt phẳng (left( alpha ight)) cùng (left( eta ight)) song song cùng nhau thì phần nhiều đường thẳng phía bên trong (left( alpha ight)) đều song song với (left( eta ight).)B.Nếu nhị mặt phẳng (left( alpha ight)) với (left( eta ight)) tuy vậy song cùng nhau thì bất kỳ đường trực tiếp nào phía bên trong (left( alpha ight)) cũng song song với bất cứ đường thẳng nào phía bên trong (left( eta ight).)C.Nếu hai tuyến phố thẳng phân biệt (a) với (b) tuy vậy song lần lượt nằm trong hai phương diện phẳng (left( alpha ight)) với (left( eta ight)) sáng tỏ thì (left( a ight)parallel left( eta ight).)D.Nếu con đường thẳng (d) tuy nhiên song cùng với (mpleft( alpha ight)) thì nó song song với đa số đường thẳng nằm trong (mpleft( alpha ight).)

Câu 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) bao gồm đáy (ABCD) là hình bình hành trung ương (O.) call (M,,,N,,,I) theo vật dụng tự là trung điểm của (SA,,,SD) với (AB.) xác minh nào tiếp sau đây đúng?


A.(left( NOM ight)) giảm (left( OPM ight).)B.(left( MON ight))//(left( SBC ight).) C.(left( PON ight) cap left( MNP ight) = NP.) D.(left( NMP ight))//(left( SBD ight).)

Câu 4-10:Mời các em singin xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kỹ năng và kiến thức và nắm rõ hơn về bài học kinh nghiệm này nhé!


3.2 bài tập SGK và cải thiện vềHai phương diện phẳng tuy vậy song


Bên cạnh đó các em rất có thể xem phần chỉ dẫn Giải bài xích tập Hình học tập 11 Chương 2 bài 4sẽ giúp những em chũm được các phương pháp giải bài tập từ bỏ SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: Trả Lời Câu Hỏi Bài 52 Thực Hành Lựa Chọn Cơ Hội Kinh Doanh, Giải Bài Tập Công Nghệ 10

bài tập 1 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài bác tập 2 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài tập 3 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài tập 4 trang 71 SGK Hình học tập 11

bài xích tập 2.22 trang 76 SBT Hình học 11

bài xích tập 2.23 trang 76 SBT Hình học 11

bài bác tập 2.24 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 2.25 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 2.26 trang 77 SBT Hình học 11

bài bác tập 2.27 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài bác tập 2.28 trang 77 SBT Hình học 11

bài tập 2.29 trang 77 SBT Hình học tập 11

bài tập 2.30 trang 78 SBT Hình học tập 11

bài xích tập 2.31 trang 78 SBT Hình học 11

bài bác tập 29 trang 67 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 30 trang 67 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 31 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài tập 32 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 33 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 34 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 35 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài bác tập 36 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC

bài xích tập 38 trang 68 SGK Hình học tập 11 NC

bài bác tập 39 trang 68 SGK Hình học 11 NC


4. Hỏi đáp về bài xích 4 chương 2 hình học tập 11


Nếu có vướng mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 đang sớm trả lời cho các em.