+) Cho khoảng chừng (K) đựng điểm (x_0) cùng hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc bên trên (Kackslash x_0 m .)

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0), ta có (lim f(x_n) =L). 

+) đến hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng chừng ((x_0; b)).

Bạn đang xem: Giới hạn đặc biệt của lim

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ khi hàng số ((xn) bất kì, (x_0 ,ta tất cả (lim f(x_n) = L).

+) đến hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((a; x_0)).

(undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (a (lim f(x_n) = L).

+) mang lại hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((a; +∞)).

(undersetx ightarrow+infty lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

+) mang đến hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng chừng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n2. Giới hạn vô cực

Sau đó là hai trong những nhiều loại số lượng giới hạn vô rất khác nhau:

+) cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta gồm (lim f(x_n) = -∞)

+) Cho khoảng tầm (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc bên trên (Kackslash x_0 m .)(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có: (lim f(x_n) = +∞).


Nhận xét: (f(x)) có số lượng giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có số lượng giới hạn (-∞).

3. Những giới hạn đặc biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), giả dụ (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu (k) là số chẵn.

4. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) và (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);


(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) trường hợp (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng lúc (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

Xem thêm: Trường Thpt Thực Hành Sư Phạm, Trường Phổ Thông Thực Hành Sư Phạm

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

5. Nguyên tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

+ nếu như (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = pm infty ) và (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x ight) = L e 0) thì (mathop lim limits_x o x_0 left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight>) được mang đến trong bảng sau:

*

b) luật lệ tìm số lượng giới hạn của thương (dfracf(x)g(x))

+ nếu (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L e 0) với (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x ight) = 0) cùng (gleft( x ight) > 0) hoặc (gleft( x ight)