Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tíchGiới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.

Bạn đang xem: Giải toán 11 giới hạn của dãy số


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.2. Một số định lí về giới hạn

1.3. Tổng của CSN lùi vô hạn

1.4. Giới hạn vô cực

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 1 chương 4 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm vềgiới hạn của dãy số

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao vềgiới hạn của dãy số

4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 4 giải tích 11


a) Định nghĩa

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| {n_0}\).

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| {n_0}\).

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

b) Một số giới hạn đặc biệt

\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| n) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| a) Định nghĩa

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .

\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).

Xem thêm: Chỉ Số Roa Là Viết Tắt Của Từ Gì ? Cách Tính Roa (Hiểu Toàn Diện)

b) Một số kết quả đặc biệt

\( \bullet \)\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k > 0\)

\( \bullet \) \(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q > 1\).

c) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:

\(\lim {u_n}\)

\(\lim {v_n}\)

\(\lim ({u_n}{v_n})\)

\( + \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)

\( - \infty \)

\( - \infty \)

\( + \infty \)




Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = l\) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau: