Hướng dẫn, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số trong những ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, rất hạn, loại trừ, phân chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một hay nhiều phương thức để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên.




Bạn đang xem: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I. Phương pháp 1 : sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tra cứu x, y thành phần thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nhân tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta tất cả x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Cách thức 2 : cách thức phân tích

Thực chất là đổi khác phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III.

Xem thêm: Top 26 Bài Văn Tả Một Cây Hoa Mà Em Yêu Thích Hay Chọn Lọc, Bài Văn Tả Cây Hoa Mà Em Thích Lớp 4 Hay Nhất

Phương thức 3 : phương thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số vấn đề vai trò của những ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta mang sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình bao gồm nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: search nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta bao gồm x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là thông số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. đưa sử phương trình bậc 2 bao gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 mà lại 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta kiếm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta gồm x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0