Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHBài 1: các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến đường tính1. Định nghĩa:

Hệ phương trình dạng

Trong đó

*
là các ẩn và
*
là các hằng số, được hotline là hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn.

Ma trận

*
được call là ma trận các hệ số của hệ (1).

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình tuyến tính chứa tham số

Ma trận

*
là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). 2. Dấn xét: Một hệ phương trình trọn vẹn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở rộng của nó.

Cột

*
được call là cột tự do thoải mái của hệ (1).

Hệ (1) rất có thể được viết lại bên dưới dạng

*
cùng với A là ma trận những hệ số của hệ (1).

Khi ta thực hiện các phép đổi khác sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương tự với hệ sẽ cho.

Ta nói

*
là một nghiệm của hệ (1) nếu lúc thay
*
thì toàn bộ các phương trình trong hệ (1) hồ hết thỏa mãn.

Nếu

*
*
thì hệ phương trình hoàn toàn có thể viết được bên dưới dạng: AX = B.

3. Ví dụ:

Hệ phương trình là 1 trong hệ phương trình tuyến đường tính 3 ẩn bên trên

*
.

Hệ phương trình này còn hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng

*
hoặc
*

Trong kia

*
là một nghiệm của hệ phương trình trên.

4. Một vài hệ phương trình đặc biệt:
4.1 Hệ Cramer:

Hệ phương trình con đường tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu như m = n (tức là số phương trình thông qua số ẩn) cùng ma trận các hệ số A không suy biến hóa (hay

*
.

Ví dụ:

Hệ phương trình

*
là hệ Cramer.

4.2 Hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất:

Nếu cột thoải mái của hệ bởi 0 (tức là

*
) thì hệ phương trình con đường tính (1) được call là hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất.

Hệ này được call là hệ links với hệ phương trình (1).4.3 dìm xét: Hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm là

*
cùng nghiệm này được call là nghiệm bình bình của hệ. 5. Định lý: Đối với cùng 1 hệ phương trình con đường tính thì chỉ có một trong các ba trường vừa lòng nghiệm xảy ra là: có một nghiệm duy nhất;Vô nghiệm;Có rất nhiều nghiệm. 6. Hệ quả: Hệ phương trình đường tính thuần độc nhất vô nhị hoặc chỉ gồm nghiệm bình thường hoặc có vô số nghiệm. 7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình bao gồm cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau trường hợp chúng gồm cùng tập vừa lòng nghiệm. 8. Định lý: nếu hai hệ phương trình gồm hai ma trận hệ số không ngừng mở rộng tương ứng tương tự dòng với nhau thì chúng tương tự nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau: Cho hai hệ gồm m phương trình đường tính n ẩn trên K tất cả dạng ma trận hóa theo lần lượt là
*
với
*
. Lúc ấy nếu
*
thì nhì hệ phương trình tương đương nhau. 9. Nhận xét:

Ta có thể sử dụng những phép chuyển đổi sơ cung cấp trên cái một phương pháp tùy ý so với ma trận hóa của một hệ phương trình đường tính để đưa nó về dạng một hệ phương trình tuyến đường tính dễ dàng và đơn giản hơn.

10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình ta triển khai ma trận hóa với sử dụng các phép biến hóa sơ cung cấp trên dòng để lấy ma trận hóa về dạng đơn giản.
*

Vậy hệ sẽ cho tương tự với

*

7. Định lý:
giả sử là 1 trong những nghiệm đến trước của hệ phương trình (1). Lúc đó
*
là một nghiệm của hệ (1) khi và chỉ còn khi
*
, cùng với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất link với hệ (1).Nói phương pháp khác giả dụ
*
là các nghiệm của hệ phương trình con đường tính thuần nhất liên kết thì ta rất có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến đường tính (1) là
*
trong số ấy
*
8. Định nghĩa:
Một nghiệm cố định của hệ phương trình tuyến đường tính (1) được hotline là nghiệm riêng, còn nghiệm
*
được điện thoại tư vấn là nghiệm tổng quát của hệ.

Ví dụ:

Xét hệ phương trình sau:
*
(1)

Nhận xét hệ 1 có một nghiệm là

*

Xét hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ (1).

*

Hệ thuần nhất này còn có các nghiệm là

*
.

Khi kia nghiệm tổng thể của hệ phương trình ban đầu là

*
Bài 2: Các phương thức giải hệ phương trình tuyến đường tính
_______________________________________________________1. Phương pháp Cramer:

Nội dung của cách thức này cũng đó là định lý sau:

1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
*
trong những số đó
*
là ma trận các hệ số. Khi đó, trường hợp
*
thì hệ phương trình gồm nghiệm duy nhất xác định bởi phương pháp sau:
*
, trong các số đó
*
chính là ma trận nhận được ma trận A bằng cách thay cột i vì chưng cột thông số tự vì
*
ví như detA = 0 và tồn tại
*
sao cho
*
thì hệ phương trình vô nghiệmNếu detA = 0 với
*
thì hệ phương trình không tồn tại nghiệm tuyệt nhất (nghĩa là vô nghiệm hoặc vô vàn nghiệm). Nếu xẩy ra trường vừa lòng này thì ta đã dùng phương thức Gauss (được nêu trong phần tiếp theo) nhằm giải hệ phương trình này. 1.2 Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến đường tính thuần duy nhất n phương trình n ẩn tất cả nghiệm không đều đều khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn. 1.3 những ví dụ:Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
*
cùng với a, b, c là các số không giống 0.Giải:

Ta có

*
nên đấy là hệ Cramer. Không chỉ có vậy

*
*
*

Do đó, hệ có nghiệm duy nhất

*
;
*
;
*
■Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
*
Giải:

Ta bao gồm |A|=0 cùng

*
nên hệ phương trình vô nghiệm. ■

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình sau:

*

Ta có

*

Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ bao gồm vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.

Đối cùng với trường thích hợp này thì đề nghị dùng phương pháp Gauss nhằm giải lại hệ phương trình trên. 2. Cách thức Gauss: 2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến đường tính tổng quátA cùng lần lượt là những ma trận thông số và ma trận thông số mở rộng. Lúc đó:i) trường hợp

*
thì hệ (1) vô nghiệm;ii) trường hợp
*
thì hệ (1) có nghiệm. Rộng nữa: giả dụ r = n thì hệ (1) bao gồm nghiệm duy nhất.Nếu r 2.2 Thuật toán sau nhằm giải hệ phương trình tuyến tính (gọi là thuật toán Gauss):

Lập ma trận các hệ số mở rộng . Bằng những phép biến hóa sơ cấp trên mẫu đưa ma trận A về dạng bậc thang. Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:

*

Hệ phương trình tương xứng với ma trận C tương tự với hệ ban đầu. Bởi đó:

ví như tồn tại tối thiểu
*
cùng với
*
không giống 0 thì hệ vô nghiệm.Nếu
*
thì hệ bao gồm nghiệm. Lúc đó các cột
*
(là những cột được đánh dấu * ) được duy trì lại phía bên trái và những
*
là những ẩn, còn các cột sót lại thì được chuyển sang bên phải, các ẩn tương ứng với những cột này sẽ vươn lên là tham số. Vậy ta sẽ sở hữu n – r tham số cùng hệ sẽ cho tương ứng với hệ
*

Trong đó

*
là những hàm tuyến tính của cùng với
*
. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình dạng tam giác ta rất có thể dễ dàng giải được bằng phương pháp thế dần từ bên dưới lên, có nghĩa là tính lần lượt
*
.

Chú ý:
nếu trong quá trình đổi khác xuất hiện nay 1 loại mà mặt trái bằng 0 còn bên yêu cầu là số khác 0 thì ta hoàn toàn có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm cùng không cần làm cái gi tiếp.Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss bao gồm dạng A’|B’ thì A’ được hotline là ma trận rút gọn theo chiếc từng bậc hay dễ dàng và đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu .

Khi đó hạng của ma trận A bởi hạng của .

2.3 các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

*
nên ta cấp thiết dùng cách thức Cramer để giải hệ phương trình này.

Ta đã áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.

Ta viết hệ bên dưới dạng ma trận hóa như sau:

*

Vậy hệ phương trình (*) gồm vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

*
.

*
■Chú ý:

- khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì mặc dù giải bằng phương thức nào ta cũng có thể có nhều cách chọn thay đổi tự do.

- khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có khá nhiều cách lựa chọn hệ nghiệm cơ bản.

b) Giải hệ phương trình

*

Giải:

Ta thực hiện giải bằng thuật toán Gauss như sau:

*

Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:

*

Do đó nghiệm của hệ là .

Sinh viên rất có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong những tài liệu viết về đại số đường tính.

Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến hóa trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận gồm các đặc thù sau:

- những dòng không giống 0 thì nằm trên những dòng 0;

- hệ số khác 0 thứ nhất ở những dòng không giống 0 đều bởi 1.

- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn chỉnh (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0. Ví dụ: Ta có thể dùng thuật toán Gauss Jordan nhằm giải lại hệ phương trình trên:

*

Vậy nghiệm của hệ là .■

Ví dụ: Giải hệ phương trình cùng với ma trận hệ số không ngừng mở rộng là
*
Giải

Thực hiện các phép biến đổi sơ cung cấp trên mẫu đưa ma trận về dạng bậc thang.

*

Các bộ phận trên đường chéo cánh 1; 1; -1; 1 được điện thoại tư vấn là phần tử đánh dấu. Ta đã khử các bộ phận còn lại của các thành phần ở các cột chứa bộ phận đánh vệt ngược từ dòng 4 lên cái 1 để được ma trận bên vế trái là ma trận 1-1 vị.

*

Khi kia nghiệm của hệ phương trình là

*

3. Giải với biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ phương trình trên là

*

Nếu

*
thì hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu m = 5 thì hệ phương trình trở thành

*

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

*
với
*

*
. Từ kia suy ra,
*
■b) Giải hệ phương trình
*
Giải:

Ta viết hệ xấp xỉ dạng ma trận hóa như sau:

*

*
nên:

Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên bao gồm dạng

*

Khi đó hệ có vô số nghiệm dựa vào 3 thông số

*
. Tức là
*

Đặt

*
thì
*

Khi m =-3 thì hệ đổi mới

*
. Hệ phương trình vô nghiệm.

Khi thì hệ pt gồm nghiệm duy nhất

*
Kết luận:

- ví như m = 1 thì hệ phương trình bao gồm vô số nghiệm.

- nếu như m = -3 thì hệ vô nghiệm.

- ví như

*
thì hệ bao gồm một nghiệm tốt nhất
*
.■

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau bằng cách thức thích hợp:

*

Cộng theo vế 4 phương trình ta được:

*
(*)

Lấy (*) trừ mang đến phương trình sản phẩm (1) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ cho phương trình sản phẩm (2) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ mang lại phương trình thứ (3) của hệ được:

*

Thực hiện tương tự như lấy (*) trừ mang đến phương trình lắp thêm (4) của hệ được:

*
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

*

Giải

Cách 1: SV từ giải bằng cách thức Gauss (hoặc Gauss Jordan).

Cách 2: Cộng toàn bộ các phương trình ta được:

*
(*)

Nhận xét:

Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm

Khi m = 1 hệ bao gồm vô số nghiệm.

*
với
*

Khi thì phân tách biểu thức (*) mang lại m + 3 ta có

*

Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được:

*

Thực hiện giống như ta được

*

Tóm tắt chương

Ở chương này, thông qua việc vận dụng những kiến thức về định thức và ma trận ta phân tích thêm các phương thức để giải một hệ phương trình đường tính tổng quát.

Sau lúc học hoàn thành chương này, sv cần trả lời được các thắc mắc sau:

1. Hệ phương trình con đường tính gồm có yếu tố gì cần phải biết để giải? Nghiệm của hệ được xác minh ra sao? bao giờ thì nhì hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? cố nào là hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất?

2. Phương thức Gauss nhằm giải hệ phương trình đường tính kiểu như với nội dung nào đang học nghỉ ngơi chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên hoàn toàn có thể nghiên cứu giúp thêm cách thức Gauss Jordan? Sự kiểu như nhau và không giống nhau của cách thức Gauss và phương thức Gauss Jordan?

3. Điều kiện quan trọng để rất có thể giải được hệ phương trình bằng phương thức Cramer? Trình bày phương pháp Cramer?

BÀI TẬP

1) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp áp dụng thuật toán Cramer và cách thức Gauss:

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*
với a, b, c, d là các số thực không giống 0.

m)

*
với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.

Xem thêm: 125 Đề Tuyển Sinh Lớp 9 Lên 10 Môn Toán Lớp 9 Tuyển Sinh, Các Chuyên Đề Toán 9 Ôn Thi Vào Lớp 10

n)

*

2. Giải các hệ phương trình đường tính thuần nhất tương ứng với những hệ đã đến ở bài tập 1 (tức là cầm cố cột hệ số tự do bằng cột chứa những số 0) rồi giải lại những hệ phương trình đó.

3. Giải với biện luận các hệ phương trình sau:

a)

*
b)
*
c)
*

d)

*
e)
*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*

m)

*
n)
*

o)

*
p)
*
q)
*

4. Cho

*
là những số nguyên. Giải hệ phương trình sau:

*

5. Giải hệ phương trình

*

6. Chứng tỏ rằng hệ phương trình sau

*
trong số ấy
*
với n lẻ, bao gồm nghiệm khác 0.

7. Giải những hệ phương trình sau bằng cách thức thích hợp: