Trong công tác lớp 9, phương trình số 1 2 ẩn có 2 cách thức để giải, kia là cách thức cộng đại số và phương pháp thế, tất cả sự khác hoàn toàn nào về ưu nhược điểm của 2 phương pháp này.

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình sau


Trong nội dung bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu 2 bí quyết giải trên đối với phương trình hàng đầu 2 ẩn. Giải những bài tập về hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn với từng cách thức cộng đại số và cách thức thế, đồng thời tìm hiểu các dạng toán về phương trình hàng đầu 2 ẩn, từ đó nhằm thấy ưu điểm của mỗi phương pháp và áp dụng linh hoạt trong những bài toán rứa thể.

I. Nắm tắt triết lý về phương trình số 1 2 ẩn

1. Phương trình hàng đầu 2 ẩn

- Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

- Tập nghiệm của phương trình số 1 hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn tất cả vô số nghiệm. Tập nghiệm của chính nó được biểu diễn bởi con đường thẳng (d): ax + by = c

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì con đường thẳng (d) là đồ gia dụng thị hàm số :
*
Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình thay đổi ax = c tuyệt x = c/a và mặt đường thẳng (d) song song hoặc trùng cùng với trục tungNếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở nên by = c giỏi y = c/b và con đường thẳng (d) song song hoặc trùng cùng với trục hoành

2. Hệ nhị phương trình hàng đầu hai ẩn

+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: 

*
 , trong kia a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

+ Minh họa tập nghiệm của hệ nhị phương trình hàng đầu hai ẩn

- call (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, lúc ấy ta có:

(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm(d) cắt (d’) thì hệ bao gồm nghiệm duy nhất(d) ≡ (d’) thì hệ bao gồm vô số nghiệm

+ Hệ phương trình tương đương: Hệ nhì phương trình tương đương với nhau ví như chúng bao gồm cùng tập nghiệm

II. Giải pháp giải hệ phương trình số 1 2 ẩn

1. Giải hệ phương trình hàng đầu 2 ẩn bằng cách thức cộng đại số

a) Quy tắc cùng đại số

- Quy tắc cộng đại số dùng để thay đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương gồm nhị bước:

- cách 1: cùng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

- bước 2: sử dụng phương trình mới ấy thay thế sửa chữa cho 1 trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- cách 1: Nhân những vế của nhì phương trình với số tương thích (nếu cần) làm sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong nhì phương trình của hệ đều bằng nhau hoặc đối nhau.

- bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số và để được hệ phương trình mới, trong các số đó có một phương trình mà hệ số của 1 trong các hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

- cách 3: Giải phương trình một ẩn vừa chiếm được rồi suy ra nghiệm của hệ đang cho.

 Ví dụ: Giải những hệ PT số 1 2 ẩn sau bằng PP cộng đại số:

a) 

*

b)

*

* Lời giải:

a)

*
(lấy PT(1) + PT(2))

 

*

b)

*
 (lấy PT(1) - PT(2))

 

*

2. Giải hệ phương trình số 1 2 ẩn bằng phương thức thế

a) Quy tắc thế

- Quy tắc nuốm dùng để biến hóa một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao hàm hai cách sau:

- cách 1: từ một phương trình của hệ đã đến (coi là phương trình thức nhất), ta trình diễn một ẩn theo ẩn cơ rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

- bước 2: sử dụng phương trình bắt đầu ấy để thay thế cho phương trình thức nhị trong hệ (phương trình thức nhất cũng hay được thay thế sửa chữa bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia giành được ở bước 1).

b) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- bước 1: dùng quy tắc cố gắng để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

- bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ sẽ cho.

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách thức thế

a)

*

b)

*

* Lời giải:

a) 

*

 

*

b) 

*

 

*

III. Một số trong những dạng toán phương trình số 1 2 ẩn

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng cách thức thế

* Phương pháp: xem phần tóm tắt lý thuyết

Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương thức thế

a) 

*
b) 
*

c) 

*

* Giải bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm tốt nhất (10;7)

b)

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm độc nhất vô nhị (11/19;-6/19)

c)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất (25/19;-21/19)

* dìm xét: Qua bài bác 12 này, những em thấy cách thức thế đã sử dụng thuận tiện hơn khi một trong phương trình của hệ có các hệ số của x hoặc y là một trong những hoặc -1. Khi đó chỉ cần rút x hoặc y sống phương trình gồm hệ số là một hoặc -1 này và núm vào phương trình còn sót lại để giải hệ.

- Đối với những hệ PT trình mà không có hệ số nào của x với y là 1 hoặc -1 thì vấn đề sử dụng cách thức thế làm phát sinh những phân số và câu hỏi cộng trừ dễ làm ta không đúng sót hơn như là bài 13 dưới đây.

Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương thức thế

a) 

*
b)
*

* Giải bài Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2:

a) 

*

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm tuyệt nhất (7;5)

b)

*

*

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (3;3/2)

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

* Phương pháp: xem phần bắt tắt lý thuyết

Bài đôi mươi trang 19 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ PT sau bằng PP cộng đại số

a) 

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*

* giải thuật bài 20 trang 19 sgk toán 9 tập 2:

a)

*

Lưu ý: đem PT(1)+PT(2)

  ⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm độc nhất (2;-3)

b)

*

Lưu ý: mang PT(1)-PT(2)

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm duy nhất (2;-3)

c)

*
(Nhân 2 vế PT(2) cùng với 2 để hệ số của x ở cả 2 PT bằng nhau)

 

*

(lấy PT(1) - PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm độc nhất (2;-3)

d)

*
 (Nhân 2 vế PT(1) cùng với 3, 2 vế PT(2) cùng với 2)

*

(Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT gồm nghiệm nhất (-1;0)

e) 

*
 (Nhân 2 vế PT(1) với 5)

*
 (Lấy PT(1)-PT(2))

⇒ Kết luận: hệ PT tất cả nghiệm nhất (5;3)

* dấn xét: khi không có bất kỳ hệ số nào của x, y là một trong những hay -1 thì cách thức cộng đại số giúp những em đỡ nhầm lẫn rộng trong phép tính.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- bước 1: Đặt điều kiện để hệ bao gồm nghĩa

- bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- bước 3: Giải hệ theo những ẩn phụ vẫn đặt (sử dụng pp cụ hoặc pp cộng đại số)

- bước 4: quay trở lại ẩn ban đầu để tìm kiếm nghiệm của hệ

 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau

a) 

*
b)
*

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

 Đặt: 

*
 ta gồm hệ thuở đầu trở thành:

 

*

- trở về ẩn lúc đầu x với y ta có:

*

 ⇒ thỏa điều kiện, nên hệ tất cả nghiệm tốt nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 cùng y ≠ 3 (mẫu số không giống 0)

 Đặt: 

*
 ta tất cả hệ thuở đầu trở thành:

*

 Trở lại ẩn thuở đầu x cùng y ta có: 

 

*
 

⇒ thỏa điều kiện, cần hệ tất cả nghiệm tuyệt nhất (-5/4;6)

Dạng 4: khẳng định tọa độ giao điểm của 2 con đường thẳng

* Phương pháp:

- Tọa độ giao điểm đó là nghiệm của hệ được tạo bởi 2 phương trình con đường thẳng đang cho.

 Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng sau:

a) d1: 2x - y = 3 cùng d2: x + y = 3

b) d1: 2x + y = 5 và d2: x - 3y = 6

* Lời giải:

a) Tọa độ điểm I là giao của d1 cùng d2 là nghiệm của hệ: 

*

 - Giải hệ bằng 1 trong 2 phương thức cộng đại số hoặc thế:

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 với d2 là (2;1).

b) Tọa độ điểm I là giao của d1 và d2 là nghiệm của hệ: 

*
*

⇒ Tọa độ giao điểm I của d1 và d2 là (4;-2).

Xem thêm: File Đuôi .Ai - Cách Mở File Ai Không Cần Adobe Illustrator

Dạng 5: Giải và biện luận hệ phương trình

* Phương pháp:

+ xuất phát điểm từ một phương trình của hệ, rút y theo x (sử dụng phương pháp thế) rồi cố vào phương trình còn lại để được phương trình dạng ax +b = 0, rồi thực hiện công việc biện luận như sau:

- nếu a ≠ 0, thì x = b/a; vậy vào biểu thức để tìm y; hệ gồm nghiệm duy nhất.

- trường hợp a = 0, ta có, 0.x = b:

_ nếu như b = 0 thì hệ có rất nhiều nghiệm

_ trường hợp b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình sau: 

*

* Lời giải

- trường đoản cú PT(1) ta có: y = mx - 2m, nuốm vào PT(2) ta được:

x - m(mx-2m) = m + 1

⇔ x - m2x + 2m2 = m + 1

⇔ (1 - m2)x = -2m2 + m + 1

⇔ (1 - m)(1 + m)x = 1 - m2 + m - m2

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+m)+ m(1 - m)

⇔ (1 - m)(1 + m)x = (1 - m)(1+2m) (3)

* nếu m ≠ ±1, ta có: 

*

lúc đó: 

*

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất: 

* ví như m = -1, cố vào (3) ta được: 0.x = -2 ⇒ hệ vô nghiệm

* trường hợp m = 1, thay vào (3) ta được: 0.x = 0 ⇒ hệ bao gồm vô số nghiệm, tập nghiệm (x;x-2)