Hướng dẫn giải bài xích §3. Một số phương trình lượng giác thường gặp, Chương I. Hàm con số giác và phương trình lượng giác, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao gồm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài tập đại số và giải tích tất cả trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 36


Lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

Phương trình số 1 đối với cùng 1 hàm số lượng giác là phương trình bao gồm dạng (at + b = 0) trong các số đó $a, b$ là những hằng số (left( a e 0 ight)) và t là 1 trong những trong những hàm con số giác.

Ví dụ: (2sin x – 1 = 0,;,,,c mos2x + frac12 = 0;,,,3 an x – 1 = 0;,,sqrt 3 cot x + 1 = 0)

Phương pháp giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2. Phương trình bậc nhì đối với một hàm con số giác

Dạng phương trình:

(eginarraylasin ^2x + bsin x + c = 0\acos ^2x + bcos x + c = 0\a an ^2x + b an x + c = 0\acot ^2x + bcot x + c = 0endarray)

Cách giải:

Đặt: (t = sin x m ( – 1 le mt le m1))

(eginarraylt = cos x m ( – 1 le mt le m1)\t = an x\t = cot xendarray)

Chú ý:


Nếu a là một số trong những cho trước mà lại ( an alpha ) xác minh thì phương trình tanx = tana tất cả nghiệm x = (alpha + )kp thoả điều kiện (cos x e 0).

Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì nên cần phải để ý đến điều kiện cosP(x) ( e) 0 cùng cosQ(x) ( e) 0.

3. Phương trình hàng đầu đối với $sinx$ và $cosx$

Dạng phương trình:

(asin x + bcos x = c m (1))

Điều kiện gồm nghiệm: (a^2 + b^2 ge c^2)

Cách giải:

♦ bí quyết 1: Chia nhị vế của (1) đến (sqrt a^2 + b^2 ), ta được:

(left( 1 ight) Leftrightarrow fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 )


Vì (left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1) đề nghị ta để (left{ eginarray*20csin varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \cos varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow cos left( x – varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Đặt (cos alpha = fraccsqrt a^2 + b^2 ) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn giống như ta cũng hoàn toàn có thể đặt (left{ eginarraylcos varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \sin varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Khi đó phương trình trở thành: (mathop m sinxcos olimits varphi + cosxsinvarphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow sin left( x + varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )


♦ biện pháp 2:

Xét (cos fracx2 = 0 Leftrightarrow x = pi + k2pi , m k in mathbbZ) bao gồm là nghiệm của (1) không

Xét (cos fracx2 e 0 Leftrightarrow x e pi + k2pi ,k in mathbbZ)

Đặt (t = an fracx2). Khi ấy (sin x = frac2t1 + t^2) với (cos x = frac1 – t^21 + t^2)

Phương trình trở thành:

(a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 – t^21 + t^2 = c Leftrightarrow left( b + c ight)t^2 – 2at + c – b = 0 m (2))


Giải (2) theo t, kiếm được t gắng vào (t = an fracx2) suy ra x

♦ giải pháp 3:

Nếu (a e 0) chia 2 vế cho a rồi ta để ( an alpha = fracba) (left( { – fracpi 2 Dưới đây là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài bác tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 29 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải những phương trình trong lấy ví dụ như 1.

a) $2sinx – 3 = 0$ là phương trình số 1 đối cùng với $sinx.$

b) $sqrt 3 tanx + 1 = 0$ là phương trình hàng đầu đố cùng với $tanx.$

Trả lời:

a) Ta thấy: $2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3 over 2$ , vô nghiệm bởi vì $|sin⁡x| ≤ 1$

b) Ta có: $sqrt 3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = – sqrt 3 over 3$

$⇔ x = – pi over 6 + kπ, k ∈ Z$

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 31 sgk Đại số và Giải tích 11


Giải những phương trình sau:

a) 3cos2x $– 5cosx + 2 = 0$;

b) 3tan2x – 2√3 $tanx + 3 = 0$.

Trả lời:

a) 3cos2x – $5 cos⁡ x + 2 = 0$

Đặt $cos⁡ x = t$ với đk $-1 ≤ t ≤ 1$ (*),

ta được phương trình bậc hai theo $t$:

3t2 $- 5t + 2 = 0 (1)$

$Δ =$ (-5)2 $- 4.3.2 = 1$

Phương trình (1)có nhì nghiệm là:

(eqalign& t_1 = – ( – 5) + sqrt 1 over 2.3 = 6 over 6 = 1,,(thỏa,mãn) cr& t_2 = – ( – 5) – sqrt 1 over 2.3 = 4 over 6 = 2 over 3,,(thỏa,mãn) cr )

Ta có:

$cos⁡ x = 1 ⇔ cos ⁡x = cos⁡ 0$

$⇔ x = k2π, k ∈ Z$

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan2 x – 2√3 $tan⁡x + 3 = 0$

Đặt $tan⁡x = t$

Ta được phương trình bậc hai theo $t$:

3t2 – 2√3 t + 3 = 0(1)

$Δ =$ (-2√3)2 $- 4.3.3 = -24

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 32 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy nhắc lại:

a) những hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) công thức cộng;

c) công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng với tổng thành tích.

Trả lời:

a) các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α + cos2α $= 1$

1 + tan2α = (1 over cos ^2alpha ); α ≠ (pi over 2) + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = (1 over sin ^2alpha ); α ≠ kπ, k ∈ Z

$tan⁡α.cot⁡α = 1$; α ≠ (kpi over 2), k ∈ Z

b) công thức cộng:

$cos⁡(a – b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b$

$cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b – sin⁡a sin⁡b$

$sin⁡(a – b) = sin⁡a cos⁡b – cos⁡a sin⁡b$

(eqalign& an (a – b) = an ,a – an ,b over 1 + an ,a. an ,b cr& an (a + b) = an ,a – an ,b over 1 – an ,a. an ,b cr )

c) cách làm nhân đôi:

$sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α$

$cos⁡2α =$ cos2α – sin2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α

( an 2alpha = 2 an alpha over 1 – an ^2alpha )

d) Công thức thay đổi tích thành tổng:

$cos⁡ a cos⁡b = 1 over 2 $

$sin⁡a sin⁡b = 1 over 2 $

$sin⁡a cos⁡b = 1 over 2 $

Công thức thay đổi tổng thành tích:

(eqalign& cos u + cos v = 2cos u + v over 2cos u – v over 2 cr& cos u – cos v = – 2sin u + v over 2sin u – v over 2 cr& sin u + sin v = 2sin u + v over 2cos u – v over 2 cr& sin u – sin v = 2cos u + v over 2sin u – v over 2 cr )

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 34 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải phương trình $3cos^2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0$.

Trả lời:

$3cos^2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0$.

$⇔ 3(1-sin^2 6x)+ 4sin⁡6x – 4 = 0$

$⇔ -3sin^2 6x + 4sin⁡6x – 1 = 0$

Đặt $sin⁡ 6x = t$ với điều kiện $-1 ≤ t ≤ 1 (*)$,

ta được phương trình bậc nhì theo $t$:

$-3t^2 + 4t – 1 = 0 (1)$

$Δ = 4^2 – 4.(-1).(-3) = 4$

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

(eqalign& t_1 = – 4 + sqrt 4 over 2.( – 3) = 1 over 3(TM) cr& t_2 = – 4 – sqrt 4 over 2.( – 3) = 1,(TM) cr )

Ta có:

$sin⁡6x = 1 over 3$

$⇔ 6x = arcsin 1 over 3 + k2π$ và $6x = π – arcsin 1 over 3 + k2π$

$⇔ x = 1 over 6 arcsin 1 over 3 + kpi over 3$ và $x = pi over 6 – 1 over 6 arcsin 1 over 3 + kpi over 3, k ∈ Z$

$sin⁡ 6x = 1 ⇔ sin ⁡6x = sin pi over 2$

$⇔ 6x = pi over 2 + k2π, k ∈ Z$

$⇔ x = pi over 12 + kpi over 3, k ∈ Z$

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 35 sgk Đại số với Giải tích 11

Dựa vào những công thức cùng đã học:

$sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa$;

$sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa$;

$cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb$;

$cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb$;

và hiệu quả cos (pi over 4) = sin(pi over 4) = (sqrt 2 over 2), hãy minh chứng rằng:

a) sinx + cosx = √2 cos(x – (pi over 4));

b) sin x – cosx = √2 sin(x – (pi over 4)).

Trả lời:

Ta có:

a) sin⁡x + cos⁡x = √2.((sqrt 2 over 2) sin⁡x + (sqrt 2 over 2) cos⁡x )

= √2.(sin⁡ (pi over 4) sin⁡x + cos⁡ (pi over 4) cos⁡x )

= √2.cos⁡(x – (pi over 4))

b) sin⁡x – cos⁡x = √2.((sqrt 2 over 2) sin⁡x – (sqrt 2 over 2) cos⁡x )

= √2.(cos⁡ (pi over 4) sin⁡x + sin⁡ (pi over 4) cos⁡x )

= √2.sin⁡(x – (pi over 4))

6. Trả lời câu hỏi 6 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình $√3 sin3x – cos3x = √2.$

Trả lời:

(eqalign& sqrt 3 sin 3x – cos 3x = sqrt 2 cr& Leftrightarrow sqrt 3 over 2sin 3x – 1 over 2cos 3x = sqrt 2 over 2 cr& Leftrightarrow cos pi over 6sin 3x – sin pi over 6cos 3x = sin pi over 4 cr& Leftrightarrow sin (3x – pi over 6) = sin pi over 4 cr& Leftrightarrow left< matrix3x – pi over 6 = pi over 4 + k2pi hfill cr3x – pi over 6 = pi – pi over 4 + k2pi hfill cr ight.;,k in Z cr& Leftrightarrow left< matrix3x = 5pi over 12 + k2pi hfill cr3x = 11pi over 12 + k2pi hfill cr ight.;k in Z cr& Leftrightarrow left< matrixx = 5pi over 36 + k2pi over 3 hfill crx = 11pi over 36 + k2pi over 3 hfill cr ight.;,,k in Z cr )

Dưới đó là phần trả lời giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

romanhords.com trình làng với các bạn đầy đủ phương thức giải bài bác tập đại số với giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §3. Một số phương trình lượng giác thường gặp trong Chương I. Hàm số lượng giác cùng phương trình lượng giác cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài xích tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 36 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải phương trình: (small sin^2x – sinx = 0)

Bài giải:

Xét phương trình (sin ^2x – sin x = 0)

Đặt (t = sin x, – 1 le t le 1.) Phương trình trở thành:

(t^2 – t = 0 Leftrightarrow left< eginarraylt = 0\t = 1endarray ight.) (Thỏa mãn điều kiện)

(Rightarrow igg lbrackeginmatrix sinx=0\ sinx=1 endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=kpi \ \ x=fracpi 2+k2 pi endmatrix, (kin Z))

Vậy phương trình bao gồm nghiệm là: (Bigg lbrackeginmatrix x=kpi \ \ x=fracpi 2+k2 pi endmatrix, (kin mathbbZ)).

2. Giải bài xích 2 trang 36 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small 2cos^2x – 3cosx + 1 = 0);

b) (small 2sin2x + sqrt2sin4x = 0).

Bài giải:

a) (2cos^2x-3cosx+1=0)

Đặt ( t = cosx, t in <-1 ; 1>)

Ta tất cả phương trình (2t^2-3t+1=0Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix t=1\ \ t=frac12 endmatrix) (nhận)

(t=1Leftrightarrow cosx=1Leftrightarrow x=k2pi, kin mathbbZ)

(t=frac12Leftrightarrow cosx=frac12 Leftrightarrow cosx=cosfracpi 3,x=pm fracpi 3+k2 pi, kin mathbbZ)

b) (2sin2x+sqrt2sin4x=0)

(Leftrightarrow 2sin2x+2sqrt2sin2x.cos2x=0)

(Leftrightarrow 2sin2x(1+sqrt2cos2x)=0)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix sin2x=0 \ \ cos 2x = – frac1sqrt 2 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix sin2x=0 \ \ cos2x=cosfrac3pi 4 endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix 2x=k pi, kin mathbbZ\ \ 2x=pm frac3pi 4+k2pi,kin mathbbZ endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frackpi2,kin mathbbZ \ \ x= pm frac3pi8+kpi ,kin mathbbZ endmatrix)

Vậy phương trình có nghiệm là: (Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=frackpi2,kin mathbbZ \ \ x=pm frac3pi8+kpi ,kin mathbbZ endmatrix)

3. Giải bài xích 3 trang 37 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) (sin^2(fracx2) – 2cos(fracx2) + 2 = 0);

b) (small 8cos^2x + 2sinx – 7 = 0);

c) (small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0);

d) (small tanx -2cotx + 1 = 0).

Bài giải:

a) (sin^2fracx2-2cosfracx2+2=0Leftrightarrow 1-cos^2fracx2- 2cosfracx2+2=0)

(Leftrightarrow cos^2fracx2+2cosfracx2-3=0)

Đặt (t=cosfracx2,-1leq tleq 1), ta bao gồm phương trình:

(t^2+2t-3=0Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix t=1\ t=-3 (loại) endmatrix)

(t=1Leftrightarrow cosfracx2=1Leftrightarrow fracx2=k2pi,kin mathbbZ Leftrightarrow x=k 4 pi, kin mathbbZ)

Vậy phương trình tất cả nghiệm là: (x=k 4 pi, kin mathbbZ)

b) (8cos^2x+2sinx-7=0Leftrightarrow 8(1-sin^2x)+2sinx-7=0)

(Leftrightarrow 8-8sin^2x+2sinx-7=0)

(Leftrightarrow 8sin^2x-2sinx-1=0)

Đặt (t=sinx,-1leq tleq 1), ta có phương trình:

(8t^2-2t-1=0Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix t=frac12\ \ t=-frac14 endmatrix (nhận))

(t=frac12Leftrightarrow sinx=frac12Leftrightarrow sinx=sinfracpi 6Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=fracpi 6+k2pi \ \ x=pi -fracpi 6+k2pi endmatrix kin mathbbZ)

(t=frac14Leftrightarrow sinx=-frac1 4Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x=arcsin left (-frac1 4 ight )+k2pi , kin mathbbZ\ \ x=pi -arcsin left (-frac1 4 ight )+k2pi , kin mathbbZ endmatrix)

Vậy phương trình có nghiệm là: (Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 6+k2pi\ x=frac5pi 6+k2pi\ x=arcsin left ( -frac14 ight )+k2pi \ x=pi -arcsin left ( -frac14 ight )+k2pi endmatrix,kin mathbbZ)

c) (2tan^2x+3tanx+1=0)

Đặt t = tanx (điều khiếu nại (x eq fracpi 2+kpi , kin mathbbZ))

Ta tất cả phương trình: (2t^2+3t+1=0Leftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix t=1\ \ t=-frac12 endmatrix)

(t=-1Rightarrow tanx=-1Rightarrow tanx=-tanfracpi 4)

(Rightarrow tanx=tanleft ( -fracpi 4 ight )Rightarrow x=-fracpi 4 +k pi) (thoả mãn điều kiện)

(t=frac12Rightarrow tanx=frac12Rightarrow x=arctan left ( frac12 ight ) +k pi) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình bao gồm nghiệm là: (Bigg lbrackeginmatrix x=-fracpi 4 +k pi \ \ x=arctan left ( frac12 ight )+k pi endmatrix, (kin mathbbZ))

d) (tanx-2cotx+1=0)

Điều kiện (left{eginmatrix x eq fracpi 2+k pi, kin mathbbZ\ x eq k pi endmatrix ight.) tốt (x eq kfracpi 2, kin mathbbZ)

Đặt t = tanx, ta gồm phương trình:

(t-frac2t+1=0Rightarrow t^2+t-2=0Rightarrow igg lbrackeginmatrix t=1\ t=-2 endmatrix)

(t=1Rightarrow tanx=1)

(Rightarrow tanx=tanfracpi 4Rightarrow x=fracpi 4+k pi, kin mathbbZ) (thoả mãn điều kiện)

(t=-2Rightarrow tanx=-2Rightarrow x=arctan(-2)+k pi, kin mathbbZ) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình gồm nghiệm là: (Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+k pi \ \ x=arctan(-2)+k pi endmatrix, kin mathbbZ)

4. Giải bài xích 4 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) (small 2sin^ 2x + sinxcosx – 3cos^2x = 0)

b) (small 3sin^2x – 4sinxcosx + 5cos^2x = 2)

c) (small 3sin^2x – sin2x + 2cos^2x = frac12)

d) (small 2cos^2x -3sqrt3sin2x -4sin^2x = -4)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Xét phương trình: (asin ^2x + bsin xcos x + ccos ^2x = d )

Xét (cos x = 0 Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi ,k in mathbbZ) bao gồm là nghiệm của (1) tuyệt không

Xét (cos x e 0), phân tách hai vế của (1) mang đến (cos ^2x) ta được:

(a an ^2x + b an x + c = d(1 + an ^2x))

( Leftrightarrow left( a – d ight) an ^2x + b an x + c – d = 0) (left( 1′ ight))

Đặt (t = an x)

Phương trình (left( 1′ ight)) trở thành: ((a – d)t^2 + bt + c – d = 0 m (2))

Giải phương trình (2) theo t từ kia suy ra x theo (t = an x).

Áp dụng:

a) Ta nhận biết $cosx = 0$ ko là nghiệm của phương trình. Phân chia hai vế mang đến cos2x ta được:

(Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0)

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix tung x = 1\ \ rã x = -frac32 endmatrix)

Vậy phương trình tất cả nghiệm (Bigg lbrackeginmatrix x= fracpi 4+k pi \ \ x= arctanleft (-frac32 ight )+k pi endmatrix , kin mathbbZ)

b) Ta nhận ra $cosx = 0$ không là nghiệm của phương trình:

(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2), bắt buộc chia nhị vế phương trình đến cos2x ta được: (3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x))

(Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0)

Đặt $t = tanx$

Ta tất cả phương trình (t^2-4t+3=0 Leftrightarrow igg lbrack eginmatrix t=1\ t=3 endmatrix)

(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow tanx=tanfracpi 4Rightarrow x=fracpi 4+k pi, kin mathbbZ).

(t=3Rightarrow tanx=3Rightarrow x= arctan(3)+k pi, (kin mathbbZ))

Vậy phương trình bao gồm nghiệm là: (Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+k pi \ \ x= arctan(3)+k pi endmatrix , (kin mathbbZ))

c) (sin^2x+sin2x-2cos^2x=frac12Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=frac12) (3)

(cosx=0Leftrightarrow x=fracpi 2+k pi, kin mathbbZ) không là nghiệm của (3)

(cosx eq 0), phân chia hai vế của (3) mang đến (cos^2x), ta được:

(fracsin^2xcos^2x+frac2sinxcosx-2=frac12cos^2xRightarrow tan^2x+2tanx-2=frac12(1+tan^2x))

(Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x)

(Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0)

Đặt $t = tanx$, ta có phương trình:

(t^2+4t-5=0Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix t=1\ t=-5 endmatrix)

(t=1Rightarrow tanx=1Rightarrow x=fracpi 4+k pi, kin mathbbZ)

(t=-5 Rightarrow tanx=-5Rightarrow x=arctan(-5)+kpi, kin mathbbZ)

Vậy phương trình gồm nghiệm (igg lbrackeginmatrix x=fracpi 4+k pi \ \ x=arctan(-5)+kpi endmatrix, kin mathbbZ)

d) (2cos^2x – 3sqrt3sin2x – 4sin^2x = -4)

(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt3sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0)

(Leftrightarrow 2cos^2x – 6sqrt3sinxcosx – 4+4cos^2x+4= 0)

(Leftrightarrow 6cos^2x-6sqrt3sinxcosx=2)

(Leftrightarrow 6cosx(cosx – sqrt3sinx) = 0)

(Bigg lbrackeginmatrix cosx=0\ \ cosx-sqrt3sinx=0 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 2+kpi,kin mathbbZ\ \ cosx=sqrt3sinx endmatrix)

(Leftrightarrow igg lbrackeginmatrix x=fracpi 2+kpi, kin mathbbZ\ \ tanx=frac1sqrt3 endmatrixLeftrightarrow Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 2+kpi\ \ x=fracpi 6+kpi endmatrix, kin mathbbZ)

Vậy phương trình có nghiệm là (Bigg lbrackeginmatrix x=fracpi 2+kpi\ \ x=fracpi 6+kpi endmatrix, kin mathbbZ)

5. Giải bài bác 5 trang 37 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải những phương trình sau:

a) (small cosx – sqrt3sinx = sqrt2)

b) (small 3sin3x – 4cos3x = 5)

c) (small 2sin2x + 2cos2x -sqrt2 = 0)

d) (small 5cos2x + 12sin2x – 13 = 0)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Xét phương trình: (asin x + bcos x = c m (1))

Điều kiện có nghiệm: (a^2 + b^2 ge c^2)

Chia hai vế của (1) cho (sqrt a^2 + b^2 ), ta được:

(left( 1 ight) Leftrightarrow fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Vì (left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1) buộc phải ta đặt (left{ eginarray*20csin varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \cos varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Phương trình trở thành:

(sin xsin varphi + cos xcos varphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow cos left( x – varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Đặt (cos alpha = fraccsqrt a^2 + b^2 ) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tựa như ta cũng có thể đặt (left{ eginarraylcos varphi = fracasqrt a^2 + b^2 \sin varphi = fracbsqrt a^2 + b^2 endarray ight.)

Khi đó phương trình trở thành: (mathop m sinxcos olimits varphi + cosxsinvarphi = fraccsqrt a^2 + b^2 Leftrightarrow sin left( x + varphi ight) = fraccsqrt a^2 + b^2 )

Áp dụng:

a) (cos x – sqrt 3 sin x = sqrt 2 )

(eginarrayl Leftrightarrow frac12cos x – fracsqrt 3 2mathop m sinx olimits = frac1sqrt 2 \ Leftrightarrow sin fracpi 6.cos x – cos fracpi 6.sin x = frac1sqrt 2 \ Leftrightarrow sin left( fracpi 6 – x ight) = frac1sqrt 2 Leftrightarrow sin left( fracpi 6 – x ight) = sin fracpi 4\ Leftrightarrow left< eginarraylfracpi 6 – x = fracpi 4 + k2pi \fracpi 6 – x = frac3pi 4 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – fracpi 12 + k2pi \x = – frac7pi 12 + k2pi endarray ight.,k in mathbbZ.endarray)

b) (3sin 3x – 4cos 3x = 5 Leftrightarrow frac35sin 3x – frac45cos 3x = 1.)

Đặt (cos alpha = frac35,,sin alpha = frac45,) suy ra:

(sin (3x – alpha ) = 1 Leftrightarrow 3x – alpha = fracpi 2 + k2pi Leftrightarrow x = fracpi 6 + fracalpha 3 + kfrac2pi 3,k in mathbbZ.)

c) Ta có:

(eginarrayl2sin x + 2mathop m cosx olimits – sqrt 2 = 0\ Leftrightarrow sin x + cos x = frac1sqrt 2 \ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight) = frac1sqrt 2 \ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight) = frac12\ Leftrightarrow left< eginarraylx + fracpi 4 = fracpi 6 + k2pi \x + fracpi 4 = frac5pi 6 + k2pi endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – fracpi 12 + k2pi \x = frac7pi 12 + k2pi endarray ight.,k in mathbbZ.endarray)

d) Ta có:

(eginarrayl5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0\ Leftrightarrow 12sin 2x + 5cos 2x = 13\ Leftrightarrow frac1213sin 2x + frac513cos 2x = 1endarray)

( Leftrightarrow sin (2x + alpha ) = 1) (left( sin alpha = frac513;,cos alpha = frac1213 ight))

(eginarrayl Leftrightarrow 2x + alpha = fracpi 2 + k2pi \ Leftrightarrow x = fracpi 4 – fracalpha 2 + kpi ,k in mathbbZ.endarray)

6. Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải phương trình:

a) (small tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

b) (small tanx + tan(x + fracpi 4) = 1)

Bài giải:

Phương pháp giải:

Câu a: thực hiện công thức ( an x = fracsin xcos x) cùng (cos (a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b) để đổi khác phương trình.

Xem thêm: Lịch Học Trực Tuyến Lớp 7 Hà Nội 2 Năm 2021, Lịch Học Lớp 7 Trên Truyền Hình H2 Năm 2021

Câu b: Sử dụng cách làm ( an x = fracsin xcos x); (sin (a + b) = sin a.cos b + mathop m cosa olimits .sin b) với (cos a.cos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a – b) ight>) để chuyển đổi phương trình.

Áp dụng:

a) Với điều kiện (left{eginmatrix 2x+1 eq fracpi 2+k pi\ \ 3x-1 eq fracpi 2+k pi endmatrix ight. , kin mathbbZ) xuất xắc (left{eginmatrix x eq fracpi 4-frac12+frack pi2\ \ x eq fracpi 6+frac12+frack pi3 endmatrix ight. , kin mathbbZ)

(Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1)

(1) (Leftrightarrow fracsin(2x+1)sin(3x-1)cos(2x+1)cos(2x-1)=1)

( Rightarrow cos(2x+1) cos(3x-1)-sin(2x+1) sin(3x-1) =0)

(Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)Leftrightarrow cos5x=0)

(Leftrightarrow 5x=fracpi 2+kpi,kin mathbbZ)

(Leftrightarrow x=fracpi 10+frack pi5,kin mathbbZ) (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình gồm nghiệm (x=fracpi 10+frack pi5,kin mathbbZ.)

b) Điều kiện (left{eginmatrix cosx eq 0\ cos(x+fracpi 4) eq 0 endmatrix ight.)

Khi kia (tanx+tanleft ( x+fracpi 4 ight )=1)

(Leftrightarrow sinx.cosleft ( x+fracpi 4 ight )+cosx.sinleft ( x+fracpi 4 ight )= cosx.cosleft ( x+fracpi 4 ight ))

(Leftrightarrow sinleft ( 2x+fracpi 4 ight )=frac12 left < cosleft ( 2x+fracpi 4 ight ) +cos left ( – fracpi 4 ight ) ight >)

(Leftrightarrow 2sinleft ( 2x+fracpi 4 ight )-cosleft (2 x+fracpi 4 ight )= fracsqrt22)

(Leftrightarrow frac2sqrt5sinleft ( 2x+fracpi 4 ight ) -frac1sqrt5cos left (2x+fracpi 4 ight )=fracsqrt210)

(Leftrightarrow sinleft (2x+fracpi 4 -alpha ight )=fracsqrt210)

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix 2x+fracpi 4-alpha = arcsin fracsqrt210 + k2 pi\ \ 2x+fracpi 4-alpha = pi – arcsin fracsqrt210 + k2 pi endmatrix)

(Leftrightarrow Bigg lbrack eginmatrix x= fracalpha 2-fracpi 8+ frac12arcsin fracsqrt210 + kpi\ \ x = fracalpha 2+frac3pi 8- frac12 arcsin fracsqrt210 + kpi endmatrix, k otin mathbbZ)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 36 37 sgk Đại số và Giải tích 11!