Hướng dẫn giải bài §1. Số lượng giới hạn của dãy số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số với Giải tích 11 bao hàm tổng phù hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài xích tập đại số và giải tích bao gồm trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học tốt môn toán lớp 11.
Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 121
Lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn của hàng số
( ullet ) dãy số ((u_n)) được hotline là có giới hạn bằng 0 lúc n tiến ra dương vô cực nếu với từng số dương nhỏ dại tuỳ ý mang đến trước, hầu như số hạng của dãy số , tính từ lúc một số hạng nào kia trở đi, đều sở hữu giá tri tuyệt dối bé dại hơn số dương đó. Kí hiệu: (mathop lim limits_x o + infty u_n = 0) .Hay là: (mathop lim limits_x o 0 u_n = 0) khi và chỉ khi với tất cả (varepsilon > 0) bé dại tùy ý, luôn luôn tồn tại số thoải mái và tự nhiên (n_0) sao cho: (left| u_n ight| n_0).
( ullet )(mathop lim limits_x o + infty u_n = a Leftrightarrow mathop lim limits_x o + infty left( u_n – a ight) = 0), tức là: với đa số (varepsilon > 0) nhỏ dại tùy ý, luôn luôn tồn trên số tự nhiên (n_0) sao để cho (left| u_n – a ight| n_0).
Dãy số (un) có giới hạn là số thực call là hàng số có giới hạn hữu hạn.
Một số giới hạn đặc biệt:
(ullet ) (lim frac1n^k = 0) cùng với (k in mathbbN*)
(ullet ) giả dụ (left| q ight| 2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1: Nếu dãy số (un) thỏa (left| u_n ight| 3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN ((u_n)) có công bội q thỏa (left| q ight| 4. Số lượng giới hạn vô cực
(ullet )(mathop lim limits_n o + infty u_n = + infty Leftrightarrow ) với mỗi số dương tuỳ ý mang lại trước , số đông số hạng của dãy số , tính từ lúc một số hạng nào đó trở đi, đều to hơn số dương kia .
(ullet )(mathop lim limits_n o + infty u_n = – infty Leftrightarrow mathop lim limits_n o + infty left( – u_n ight) = + infty ).
Một số hiệu quả đặc biệt:
(ullet )(lim n^k = + infty ) với tất cả (k > 0)
(ullet ) (lim q^n = + infty ) với mọi (q > 1).
Một vài luật lệ tìm giới hạn vô cực:
Quy tắc 1: giả dụ (lim u_n = pm infty ), (lim v_n = pm infty ) thì (lim (u_n.v_n)) được mang đến như sau:
| (lim u_n) | (lim v_n) | (lim (u_nv_n)) |
| ( + infty ) ( + infty ) ( – infty ) ( – infty ) | ( + infty ) ( – infty ) ( + infty ) ( – infty ) | ( + infty ) ( – infty ) ( – infty ) ( + infty ) |
Quy tắc 2: Nếu (lim u_n = pm infty ), (lim v_n = l) thì (lim (u_n.v_n)) được đến như sau:
| (lim u_n) | Dấu của (l) | (lim (u_nv_n)) |
| ( + infty ) ( + infty ) ( – infty ) ( – infty ) | ( + ) ( – ) ( + ) ( – ) | ( + infty ) ( – infty ) ( – infty ) ( + infty ) |
Quy tắc 3: Nếu (lim u_n = l),(lim v_n = 0) và (v_n > 0) hoặc (v_n
( + infty )
( – infty )
( – infty )
( – )
( + )
( – )
( – infty )
( – infty )
( + infty )
Dưới đây là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.
Câu hỏi
1. Trả lời câu hỏi 1 trang 112 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho dãy số (un) cùng với un = $dfrac1n$.
Biểu diễn ((u_n)) dưới dạng khai triển:
(1,,1 over 2;,1 over 3;,1 over 4;,1 over 5;…..;1 over 100)
Biểu diễn (un) trên trục số (h.46):
a) nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0 biến đổi như nỗ lực nào khi n trở yêu cầu rất lớn.
b) ban đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un mang lại 0 nhỏ hơn $0,01? 0,001$?
Trả lời:
a) khoảng cách từ (u_n) tới 0 trở đề nghị rất nhỏ dại (gần bởi 0) lúc n trở đề nghị rất lớn
b) Ta có: (dfrac1n 100).
Do đó từ số hạng trang bị (101) thì khoảng cách từ (u_n) mang lại (0) đều nhỏ tuổi hơn (0,01).
(dfrac1n 1000).
Do đó từ số hạng đồ vật (1001) thì khoảng cách từ (u_n) cho (0) đều nhỏ hơn (0,001).
2. Trả lời thắc mắc 2 trang 117 sgk Đại số với Giải tích 11
Có nhiều tờ giấy ck nhau, mỗi tờ có bề dày là $0,1 mm$. Ta xếp ck liên tiếp tờ này lên tờ không giống (h.48). Mang sử có thể thực hiện việc xếp giấy bởi thế một biện pháp vô hạn.
Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy, u2 là bề dày của một xếp giấy có hai tờ, u3 là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ, …, un là bề dày của một xếp giấy gồm n tờ. Liên tiếp như vậy t được hàng số vô hạn (un).
Bảng sau đây cho biết thêm bề dày (tính theo mm) của một số ck giấy.
a) Quan gần kề bảng trên với nhận xét về quý hiếm của un lúc $n$ tăng lên vô hạn.
b) cùng với $n$ ra làm sao thì ta có được những ông xã giấy tất cả về dày mập hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt Trăng? (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác minh là $384000 km$ giỏi 384.109 mm)
Trả lời:
a) quý giá của un không nhỏ khi $n$ tăng thêm vô hạn.
b) Ta có: (u_n > 384.10^9) ( Leftrightarrow dfracn10 > 384.10^9) ( Leftrightarrow n > 384.10^10).
Vậy buộc phải (n > 384.10^10) tờ giấy để giành được những ông xã giấy gồm về dày phệ hơn khoảng cách từ Trái Đất tới mặt Trăng.
Dưới đây là phần khuyên bảo giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Chúng ta hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Bài tập
romanhords.com reviews với các bạn đầy đủ phương thức giải bài xích tập đại số và giải tích 11 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài §1. Giới hạn của hàng số vào Chương IV. Số lượng giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:
1. Giải bài xích 1 trang 121 sgk Đại số với Giải tích 11
Có (1 kg) hóa học phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời hạn (T = 24 000) năm thì một phần số hóa học phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không ô nhiễm và độc hại đối với sức khỏe của con người ((T) được hotline là chu kì bán rã).
Gọi ((u_n)) là cân nặng chất phóng xạ còn sót lại sau chu kì sản phẩm công nghệ (n).
a) tra cứu số hạng bao quát (u_n) của hàng số ((u_n)).
b) chứng minh rằng ((u_n)) có số lượng giới hạn là (0).
c) Từ tác dụng câu b), chứng tỏ rằng sau một số trong những năm như thế nào đó cân nặng chất phóng xạ đã cho thuở đầu không còn ô nhiễm đối với bé người, cho thấy thêm chất phóng xạ này sẽ không ô nhiễm và độc hại nữa nếu trọng lượng chất phóng xạ còn lại bé thêm hơn (10^-6g).
Bài giải:
a) Ta có: (u_1=frac12); (u_2= frac14); (u_3=frac18); … .
Từ đó ta dự đoán công thức (u_n=frac12^n) (forall n ge 1).
Điều này minh chứng đơn giản bởi quy nạp.
Hiển nhiên bí quyết trên đúng cùng với (n=1).
Giả sử bí quyết đúng với mọi (k ge 1), có nghĩa là có (u_k=frac 1 2^k), ta minh chứng công thức đó đúng với mọi (n=k+1), có nghĩa là cần bệnh minh: (u_k+1=frac 1 2^k+1).
Ta tất cả (u_k + 1 = fracu_k2 = frac12^k:2 = frac12^k.frac12 = frac12^k + 1).
Vậy (u_n = frac12^n,,forall n in N^*).
b) (lim u_n = lim left( 1 over 2 ight)^n = 0).
c) Đổi (10^-6g = frac110^6 . frac110^3kg = frac110^9 kg).
Muốn gồm (u_n= frac12^n) 10^9). Suy ra (n_0= 30). Nói phương pháp khác, sau chu kì lắp thêm (30) (nghĩa là sau (30.24000 = 720000) (năm)), bọn họ không còn lo lắng về sự ô nhiễm của trọng lượng chất phóng xạ còn lại.
2. Giải bài xích 2 trang 121 sgk Đại số cùng Giải tích 11
Biết dãy số ((u_n)) thỏa mãn nhu cầu (|u_n-1| lim frac1n^3 = 0 Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| le 0\left| u_n – 1 ight| ge 0 Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| ge 0endarray ight. ) (Rightarrow lim left| u_n – 1 ight| = 0 Leftrightarrow lim u_n = 1)
3. Giải bài bác 3 trang 121 sgk Đại số với Giải tích 11
Tìm số lượng giới hạn sau:
a) (lim frac6n – 13n +2);
b) (lim frac3n^2+n-52n^2+1);
c) (lim frac3^n+5.4^n4^n+2^n);
d) (limfracsqrt9n^2-n+14n -2).
Bài giải:
Ta có:
a) (lim frac6n – 13n +2)
(= limfrac6 – frac1n3 +frac2n) = (frac63 = 2).
b) (lim frac3n^2+n-52n^2+1)
( = lim frac3 +frac1n-frac5n^22+frac1n^2= frac32).
c) (lim frac3^n+5.4^n4^n+2^n)
(= lim fracleft( 3 over 4 ight)^n+51+left( 1 over 2 ight)^n=frac51) = 5.
d) (lim fracsqrt9n^2-n+14n -2)
= (lim fracsqrtn^2left( 9 – 1 over n + 1 over n^2 ight)n(4-frac2n))
= (lim fracsqrt9-frac1n+frac1n^24-frac2n)
=(fracsqrt94)= (frac34).
4. Giải bài bác 4 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11
Để trang trí cho căn hộ chung cư cao cấp của mình, chú loài chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông vắn cạnh bởi (1). Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được khắc ghi (1, 2, 3, …, n, …) trong số đó cạnh của hình vuông vắn kế tiếp bởi một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51).
Giả sử tiến trình tô color của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a) điện thoại tư vấn (u_n) là diện tích s của hình vuông vắn màu xám thiết bị (n). Tính (u_1, u_2, u_3) với (u_n).
b) Tính (lim S_n) với (S_n= u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n)
Bài giải:
a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng (frac12) nên
(u_1 =(frac12))2 = (frac14).
Hình vuông lắp thêm hai có cạnh bởi (frac14) đề xuất (u_2 = left( 1 over 4 ight)^2 = 1 over 4^2).
Hình vuông thứ tía có cạnh bởi (frac18) buộc phải (u_3 = left( 1 over 8 ight)^2 = 1 over 4^3)
Tương tự, ta có (u_n=frac14^n)
b) dãy số ((u_n)) là một trong những cặp số nhân lùi vô hạn với (u_1=frac14) và (q = frac14). Vì đó
(lim S_n=fracu_11-q= fracfrac141-frac14=frac13).
5. Giải bài bác 5 trang 122 sgk Đại số với Giải tích 11
Tính tổng (S = -1 + frac110- frac110^2 + … + frac(-1)^n10^n-1+ …)
Bài giải:
Các số hạng tổng lập thành cung cấp số nhân lùi vô hạn cùng với (u_1 = – 1) với (q = – 1 over 10)
Vậy (S = -1 +frac110 – frac110^2+ … + frac(-1)^n10^n-1 + … = fracu_11-q = frac-11 – (-frac110) = frac-1011).
6. Giải bài bác 6 trang 122 sgk Đại số cùng Giải tích 11
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn (a = 1, 020 020 …) (chu kì là (02)). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Bài giải:
Ta bao gồm (a = 1, 020 020 … = 1+ frac2100 + frac2100^2 + …+ frac2100^n+ …)
(= 1 + fracfrac21001-frac1100=1 + frac299=frac10199.)
Vì (frac2100), (frac2100^2), …, (frac2100^n), … là 1 trong cấp số nhân lùi vô hạn có: (u_1=frac2100), q = (frac1100).
7. Giải bài xích 7 trang 122 sgk Đại số với Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
a) (lim(n^3 + m 2n^2- m n m + m 1));
b) (lim m ( – n^2 + m 5n m - m 2));
c) (lim (sqrtn^2-n- n));
d) (lim (sqrtn^2-n + n)).
Bài giải:
Ta có:
a) (lim(n^3 + m 2n^2- m n m + m 1)= lim n^3(1 + frac2n-frac1n^2+frac1n^3) = +∞)
b) (lim m ( – n^2 + m 5n m - m 2) = lim n^2 ( -1 + frac5n-frac2n^2) = -∞)
c) (lim (sqrtn^2-n – n) = lim frac(sqrtn^2-n-n)(sqrtn^2-n+n)sqrtn^2-n+n)
(= lim fracn^2-n-n^2sqrtn^2-n+n = lim frac-nsqrtn^2left( 1 – 1 over n ight)+ n = lim frac-1sqrt1-frac1n+1 = frac-12).
d) (lim (sqrtn^2-n + n) = lim left( sqrt n^2left( 1 – 1 over n ight) + n ight) )
(= lim n.left( sqrt 1 – 1 over n + 1 ight)= +∞).
8. Giải bài 8 trang 122 sgk Đại số và Giải tích 11
Cho hai hàng số ((u_n)) cùng ((v_n)). Biết (lim u_n= 3), (lim v_n= +∞).
Tính những giới hạn:
a) (lim frac3u_n-1u_n+ 1;)
b) (lim fracv_n+ 2v^2_n-1).
Xem thêm: M - Tp Là Gì
Bài giải:
Ta có:
a) (lim frac3u_n-1u_n+ 1= frac3.3-13+ 1 = 2);
b) (lim fracv_n+ 2v^2_n-1= fracfrac1v_n+frac2v^2_n1-frac1v^2_n = 0).
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 121 122 sgk Đại số với Giải tích 11!