Cưc đại và rất tiểu là gì? Cách khẳng định điểm rất trị của hàm số

 Định nghĩa điểm cực to cực tiểu

Cho hàm số $y=fleft( x ight)$ xác định và tiếp tục trên khoảng $left( a;b ight)$ (có thể $a$ là $-infty $; $b$ là $+infty $) với điểm $x_0in left( a;b ight)$

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $fleft( x ight)0$ sao cho $fleft( x ight)>fleft( x_0 ight)$ với đa số $xin left( x_0-h;x_0+h ight)$ và $x e x_0$ thì ta nói hàm số $fleft( x ight)$ đạt rất tiểu tại $x_0$.

Bạn đang xem: Giá trị cực tiểu

Chú ý về điểm cực trị

- Nếu hàm số $fleft( x ight)$đạt cực đại (cực tiểu) trên điểm $x_0$ thì $x_0$được call là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $fleft( x_0 ight)$ được hotline là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký kết hiệu là $f_CDleft( f_CT ight)$, còn điểm $Mleft( x_0;fleft( x_0 ight) ight)$ được hotline là điểm cực to (điểm rất tiểu) của đồ thị hàm số.

- Các điểm cực to cực tiểu được call chung là vấn đề cực trị.

- Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số $y=fleft( x ight)$ có đạo hàm trên khoảng $left( a;b ight)$ với đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x_0$ thì $f"left( x_0 ight)=0.$

 Định lý 1: Giả sử hàm số $y=fleft( x ight)$liên tục trên khoảng tầm $K=left( x_0-h;x_0+h ight)$ và gồm đạo hàm trên $K$ hoặc trên $Kackslash left x_0 ight,$ với $h>0$.

- nếu $f"left( x_0 ight)>0$ trên khoảng tầm $left( x_0-h;x_0 ight)$và $f"left( x_0 ight)

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi lốt khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi dấu từ dương quý phái âm khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

- Nếu $f"left( x ight)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Chú ý: Hàm số $y=sqrtx^2=left| x ight|$ tất cả đạo hàm là $y"=frac2x2sqrtx^2$ không tồn tại đạo hàm trên điểm $x=0$ tuy nhiên $y"$ vẫn đổi dấu từ âm sang trọng dương khi qua điểm $x=0$ bắt buộc hàm số đạt cực tiểu trên điểm $x=0$.

 Định lý 2: mang sử hàm số  có đạo hàm cấp hai trong khoảng  với . Khi đó:

- nếu như $left{ eginmatrix f"left( x_0 ight)=0 \ f""left( x_0 ight)>0 \endmatrix ight.Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.

- trường hợp $left{ eginmatrix f"left( x_0 ight)=0 \ f""left( x_0 ight)Chú ý: Nếu $f"left( x_0 ight)=0$ với $f""left( x_0 ight)=0$ thì không thể xác minh được $x_0$ là điểm cực đại hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số.

Bài tập: Hàm số $y=x^3$ gồm $left{ eginmatrix f"left( 0 ight)=0 \ f""left( 0 ight)=0 \endmatrix ight.$ mặc dù hàm số này không đạt cực trị tại điểm $x=0$.

Hàm số $y=x^4$ gồm $left{ eginmatrix f"left( 0 ight)=0 \ f""left( 0 ight)=0 \endmatrix ight.$ mặc dù hàm số này đạt cực tiểu trên điểm .

Xem thêm: Ảnh 7 Màu Cầu Vồng : Cách Phát Âm Và Những Điều Thú Vị, Cầu Vồng Là Gì

Do vậy ta chú ý định lý 2 chỉ đúng theo một chiều (không bao gồm chiều ngược lại).
Luyện bài bác tập áp dụng tại đây!