​​​​​​Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng tầm (a; b) cùng x0 Î (a; b):

$f"(x_0)=undersetx o x_0mathoplim ,fracf(x)-f(x_0)x-x_0$=$undersetDelta x o 0mathoplim ,fracDelta yDelta x$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))

giả dụ hàm số y = f(x) gồm đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Bạn đang xem: Đạo hàm tại một điểm

2. Đạo hàm mặt trái, mặt phải

. .

Hệ quả : Hàm có đạo hàm tại và bên cạnh đó .

3. Đạo hàm bên trên khoảng, trên đoạn

$ullet $ Hàm số gồm đạo hàm (hay hàm khả vi) trên <(a;b)> giả dụ nó gồm đạo hàm tại hầu như điểm ở trong <(a;b)> $ullet $ Hàm số bao gồm đạo hàm (hay hàm khả vi) bên trên < ext !!!! ext > trường hợp nó tất cả đạo hàm tại gần như điểm trực thuộc <(a;b)> đôi khi tồn trên đạo hàm trái với đạo hàm cần .

4. Mối tương tác giữa đạo hàm với tính liên tục

$ullet $ Nếu hàm số bao gồm đạo hàm trên thì thường xuyên tại .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm rất có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó không tồn tại đạo hàm trên .


B. Bài bác tập

I. Bài xích tập minh họa

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) làm sao sau đây dùng làm định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại

A. . B. . 

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Theo tư tưởng đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở lời giải C đúng.

Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số $fleft( x ight)$ liên tục tại . Đạo hàm của $fleft( x ight)$ trên là

A. $fleft( x_0 ight)$.

B. .

C. (nếu mãi mãi giới hạn).

D. (nếu lâu dài giới hạn).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Định nghĩa giỏi (nếu vĩnh cửu giới hạn).

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$có đạo hàm tại $x_0$ là . Khẳng định nào tiếp sau đây sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Đúng (theo quan niệm đạo hàm trên một điểm).

B. Đúng vì chưng

 

C. Đúng bởi vì

Đặt

Câu 4. Số gia của hàm số ứng cùng với với bởi bao nhiêu?

A. <-19>.  B. <7>. C. <19>.  D. <-7>.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta tất cả $Delta y=fleft( x_0+Delta x ight)-fleft( x_0 ight)=left( x_0+Delta x ight)^3-2^3=x_0^3+left( Delta x ight)^3+3x_0Delta xleft( x_0+Delta x ight)-8$.

Với với $Delta x=1$ thì $Delta y=19$.

Câu 5. Tỉ số của hàm số theo x với là

A. <4x+2Delta x+2.>  B. <4x+2left( Delta x ight)^2-2.>

C. <4x+2Delta x-2.> D. <4xDelta x+2left( Delta x ight)^2-2Delta x.>

Hướng dẫn giải:

Chọn C

<=frac2left( x-x_0 ight)left( x+x_0 ight)-2left( x-x_0 ight)x-x_0=2x+2x_0-2=4x+2Delta x-2>

II. Bài bác tập trường đoản cú luyện

Câu 1. Số gia của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x tại là

A. B. .> C. .> D.

 

Câu 2. Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là

A.   B.

C.   D.

Câu 3. Cho hàm số 

*
 

Xét nhị mệnh đề sau:

(I) .

(II) Hàm số không tồn tại đạo hàm tại .

Mệnh đề như thế nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai phần đa sai. D. Cả hai phần đông đúng.

Câu 4. Tính đạo hàm 

*
 

tại điểm $x_0=1$.

A. $frac13$ B. $frac15$ C. $frac12$ D. $frac14$

Câu 5. Tính đạo hàm

*
 tại $x_0=1$.

A. $0$ B. $4$ C. $5$ D. Đáp án khác

Câu 6. Cho hàm số

*
. Lúc đó là tác dụng nào sau đây?

A. $frac14.$  B. $frac116.$ C. $frac132.$ D. Không tồn tại.

Câu 7. Cho hàm số . Lúc ấy  là công dụng nào sau đây?

A. Không tồn tại. B. 0   C. 1. D. 2.

Câu 8. Cho hàm số

*
. Để hàm số này có đạo hàm trên $x=2$ thì quý giá của b là

A. $b=3.$ B. $b=6.$ C. $b=1.$ D. $b=-6.$

Câu 9. Số gia của hàm số ứng cùng với x cùng là

A. B. <2x+Delta x.> C.   D. <2x-4Delta x.>

Câu 10. Xét ba mệnh đề sau:

(1) nếu hàm số gồm đạo hàm tại điểm thì thường xuyên tại điểm đó.

(2) nếu hàm số liên tiếp tại điểm thì tất cả đạo hàm tại điểm đó.

(3) ví như cách trở tại thì chắc chắn là không tồn tại đạo hàm trên điểm đó.

Trong bố câu trên:

A. Có nhì câu đúng cùng một câu sai. B. Có một câu đúng với hai câu sai.

C. Cả cha đều đúng. D. Cả cha đều sai.

Câu 11. Xét hai câu sau:

(1) Hàm số tiếp tục tại

(2) Hàm số có đạo hàm tại

Trong nhì câu trên:

A. Chỉ tất cả (2) đúng. B. Chỉ gồm (1) đúng. C. Cả hai hầu như đúng. D. Cả hai đông đảo sai.

Câu 12. Cho hàm số . Xét nhị câu sau:

(1). Hàm số trên tất cả đạo hàm tại.

(2). Hàm số trên liên tiếp tại .

Trong nhì câu trên:

A. Chỉ bao gồm (1) đúng. B. Chỉ bao gồm (2) đúng. C. Cả hai hồ hết đúng. D. Cả hai các sai.

Câu 13. Tìm nhằm hàm số

*
 có đạo hàm trên .

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Câu 14. Cho hàm số

*
. Với mức giá trị nào dưới đây của a, b thì hàm số bao gồm đạo hàm trên $x=1$?

A. $a=1;b=-frac12.$ B. $a=frac12;b=frac12.$ C. $a=frac12;b=-frac12.$  D. $a=1;b=frac12.$

Câu 15 . Tính đạo hàm

*
 tại .

A. $0$ B. $frac12$ C. $frac23$ D. $7$

Câu 16. Tính đạo hàm

*
 tại $x_0=0$

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 17. Tính đạo hàm $f(x)=frac x+1 ightx$ tại $x_0=-1$.

A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Câu 1.

Chọn A

Với số gia của đối số x trên Ta có

Câu 2.

Chọn B

Ta có :

<=x_0^2+2x_0Delta x+left( Delta x ight)^2-x_0-Delta x-x_0^2+x_0=left( Delta x ight)^2+2x_0Delta x-Delta x>

Nên

Vậy

Câu 3.

Chọn B.

Gọi  là số gia của đối số tại 0 làm thế nào cho > 0.

Ta có .

Nên hàm số không tồn tại đạo hàm trên 0.

Câu 4.

Chọn C.

$undersetx o 1mathoplim ,fracf(x)-f(1)x-1=undersetx o 1mathoplim ,fracsqrtx^3-2x^2+x+1-1(x-1)^2=undersetx o 1mathoplim ,fracxsqrtx^3-2x^2+x+1+1=frac12$

Vậy $f"(1)=frac12$.

Câu 5.

Chọn D.

Ta tất cả $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^+mathoplim ,left( 2x+3 ight)=5$

$undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^-mathoplim ,fracx^3+2x^2-7x+4x-1=undersetx o 1^-mathoplim ,(x^2+3x-4)=0$

Dẫn tới $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x) e undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)Rightarrow $ hàm số không thường xuyên tại $x=1$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x_0=1$.

Câu 6.

Chọn B

Ta tất cả

<=undersetx o 0mathoplim ,fracleft( 2-sqrt4-x ight)left( 2+sqrt4-x ight)4xleft( 2+sqrt4-x ight)=undersetx o 0mathoplim ,fracx4xleft( 2+sqrt4-x ight)=undersetx o 0mathoplim ,frac14left( 2+sqrt4-x ight)=frac116.>

Câu 7.

Chọn A.

Ta tất cả nên .

Do phải ko tồn tại.

Câu 8.

Chọn B

Ta có

<ullet fleft( 2 ight)=4>

<ullet undersetx o 2^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 2^-mathoplim ,x^2=4>

<ullet undersetx o 2^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 2^-mathoplim ,left( -fracx^22+bx-6 ight)=2b-8>

tất cả đạo hàm tại $x=2$ khi còn chỉ khi tiếp tục tại $x=2$

Câu 9.

Chọn A

Ta có

<=left( Delta x+x ight)^2-4left( Delta x+x ight)+1-left( x^2-4x+1 ight)>

<=Delta x^2+2Delta x.x+x^2-4Delta x-4x+1-x^2+4x-1=Delta x^2+2Delta x.x-4Delta x=Delta xleft( Delta x+2x-4 ight)>

Câu 10.

Chọn A

(1) nếu hàm số bao gồm đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) nếu hàm số thường xuyên tại điểm thì bao gồm đạo hàm tại điểm đó.

Phản ví dụ

Lấy hàm ta bao gồm yêu cầu hàm số tiếp tục trên .

Nhưng ta có 

*

Nên hàm số không có đạo hàm trên .

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) nếu cách biệt tại thì chắc hẳn rằng không có đạo hàm trên điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng bắt buộc ta bao gồm không tiếp tục tại thì tất cả đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Câu 11.

Chọn B

Ta có :

*
. Vậy hàm số liên tục tại

Ta có : (với )

Do đó :

*

Vì giới hạn hai bên không giống nhau nên không tồn tại giới hạn của khi .

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm trên

Câu 12.

Chọn B.

Ta bao gồm

+) $undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x^2+x ight)=0$.

+) $undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x^2-x ight)=0$.

+) $fleft( 0 ight)=0$.

$Rightarrow undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=fleft( 0 ight)$. Vậy hàm số tiếp tục tại $x=0$.

Mặt khác:

+) $f"left( 0^+ ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^+mathoplim ,fracx^2+xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x+1 ight)=1$.

+) $f"left( 0^- ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx^2-xx=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x-1 ight)=-1$.

$Rightarrow f"left( 0^+ ight) e f"left( 0^- ight)$. Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x=0$.

Câu 13.

Chọn D

Ta có:;

Hàm bao gồm đạo hàm tại thì hàm liên tục tại (1)

(Do)

Hàm có đạo hàm tại x = 1

*

Câu 14.

Chọn A

Hàm số tiếp tục tại $x=1$ cần Ta bao gồm

Hàm số tất cả đạo hàm tại $x=1$ buộc phải giới hạn hai bên của đều bằng nhau và Ta có

Vậy $a=1;b=-frac12$

Câu 15 .

Chọn A

Ta có: $undersetx o 0mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0mathoplim ,xsin frac1x=0$

Vậy $f"(0)=0$.

Câu 16.

Chọn A

Ta có $undersetx o 0^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( fracsin xx.sin x ight)=0$

$undersetx o 0^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x+x^2 ight)=0$ yêu cầu hàm số liên tục tại $x=0$

$undersetx o 0^+mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx^2=1$ với

$undersetx o 0^-mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx+x^2x=1$

Vậy $f"(0)=1$.

Câu 17.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta tất cả hàm số liên tiếp tại $x_0=-1$ và

$fracf(x)-f(-1)x+1=frac x+1 ightx(x+1)$

Nên $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^+mathoplim ,fracx^2+2x+1x(x+1)=0$

$undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^-mathoplim ,fracx^2-1x(x+1)=2$

Do đó $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1 e undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1$

Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại điểm $x_0=-1$.

Xem thêm: Top 7 Trang Web Giải Pt 4 Ẩn, Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất 4 Ẩn

Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x=x_0$ thì phải tiếp tục tại điểm đó.