Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng trong giải tích học, các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm cũng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia.

Bạn đang xem: Đạo hàm là gì


Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm, làm quen quy tắc, cách tính đạo hàm bằng định nghĩa và cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số 

*
 khi x → x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0, ký hiệu f"(x0) hay y"(x0).

Như vậy: 

*

Nếu đặt x - x0 = Δx và Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) thì ta có:

 

*

 Đại lượng Δx được gọi là số gia của đối số tại x0và đại lượng Δy được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm bằng định nghĩa ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Với Δx là gia số của đối số đối tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) - f(x0).

- Bước 2: Lập tỉ số: 

*

- Bước 3: Tính 

*

> Nhận xét: Nếu thay x0 bởi x ta có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a;b).

3. Quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại của đạo hàm

Định lý: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

> Chú ý: Định lí trên tương đương với khẳng định:

- Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

- Mệnh đề đảo của định lý không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Nếu tồn tại f"(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0;y0). Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0(x0;y0) là:

 y - f(x0) = f"(x0).(x - x0)


5. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời:

- Cho một vật chuyển động có phương trình : s = s(t). Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác đinh bởi: v(t0)=s"(t0)

- Cho một vật chuyển động có phương trình vận tốc: v= v(t). Gia tốc tức thời tại thời điểm t0 được xác định bởi: a(t0)=v"(t0)

b) Cường độ tức thời:

- Cường độ tức thời của điện lượng Q= Q(t) tại thời điểm t0 là: I(t0)=Q"(t0).

6. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nên nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số f": (a;b) → R; x → f"(x) là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y" hay f"(x).

Xem thêm: 3 Nghệ Sĩ Việt Khiến Fan 'Nở Mày Nở Mặt' Vì Đầu Quân Lò Dạy Nhảy

Đến đây có lẽ các em đã hiểu về khái niệm đạo hàm, ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của đạo hàm và quy tắc cách tính đạo hàm bằng định nghĩa? Nếu có góp ý và câu hỏi các em hãy để lại dưới bài viết nhé, chúc các em thành công.