TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

BỘ MÔN TOÁN THỐNG KÊ

Giáo Trình

TOÁN CAO CẤP

Nhóm biên soạn:Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên)Nguyễn Trung Đông

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2020

MỤC LỤCLời mở đầu.......................................................................................................................... TrangMột số cam kết hiệu...................................................................................................................Chương 1. Ma trận – Định thức.........................................................................Ma trận.....................................................................................1.1. Định nghĩa ma trận..............................................................................1.1. Ma trận bằng nhau.............................................................1.1. Những ma trận quánh biệt...........................................................................1.1. Các phép toán trên ma trận..................................................................1.1. Những phép biến đổi sơ cung cấp trên hàng........................................................Định thức................................................................................1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n.....................................1.2. Định lý triển khai định thức theo một hàng hay một cột bất kỳ.................1.2. Các tính chất định thức.......................................................................1.2. Định lý sự biến đổi của định thức qua các phép trở thành đổi.....................1.2. Phần bù đại số với ma trận phụ hợp..............................................Ma trận nghịch đảo.....................................................................1.3. Định nghĩa ma trận nghịch đảo..................................................1.3. Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo..........................................................1.3. Định lý sự mãi sau của ma trận nghịch đảo...............................................1.3. Một số tính hóa học của ma trận nghịch đảo......................................Hạng ma trận.............................................................................1.4. Định nghĩa tổng thể hạng của một ma trận....................................1.4. Tính chất.............................................................................................1.4. Phương pháp tìm hạng của ma trận........................................................1.4. Một trong những bất đẳng thức về hạng của ma trận............................................Bài tập.....................................................................................Chương 2. Hệ phương trình đường tính................................................................Bài tập...................................................................................Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến...........................................................Giới hạn của dãy số thực....................................................................4.1. Định nghĩa dãy, số lượng giới hạn của hàng số thực......................................4.1. Các tính chất và các định lý về số lượng giới hạn của hàng số thực....................4.1. Một vài dãy số thực quánh biệt......................................................Hàm số một thay đổi số.........................................................................4.2. Những khái niệm cơ bản về hàm số................................................4.2. Hàm số hợp...............................................................................................4.2. Hàm số ngược......................................................................4.2. Những hàm số sơ cung cấp cơ bản..........................................................................4.2. Dáng vẻ điệu hàm số .....................................................................................4.2. Một trong những hàm trong khiếp tế..........................................................................Giới hạn hàm số.....................................................................................................4.3. Những định nghĩa giới hạn..........................................................................4.3. Giới hạn của những hàm sơ cung cấp cơ bản.......................................................4.3. Những dạng vô định....................................................................................4.3. Những giới hạn cơ bản................................................................................Vô cùng bé xíu và khôn xiết lớn......................................................................................4.4. Định nghĩa.............................................................................................4.4. Các tính chất........................................................................................Hàm số liên tục.............................................................................4.5. Định nghĩa về hàm số liên tục...............................................................4.5. Tính chất tiếp tục của hàm sơ cấp..............................................4.5. Các phép toán của hàm liên tục tại một điểm.........................................Đạo hàm...............................................................................................4.6. định nghĩa về đạo hàm..........................................................................4.6. Bảng công thức những đạo hàm cơ bản.........................................4.6. Những quy tắc tính đạo hàm.....................................................4.6. Đạo hàm hàm hợp.............................................................4.6. Đạo hàm của hàm ngược.....................................................4.6. Đạo hàm một phía.............................................................4.6. Đạo hàm cấp cho cao..............................................................Vi phân.................................................................................................4.7. Định nghĩa vi phân...............................................................................4.7. Sự contact giữa vi phân và đạo hàm..........................................4.7. Tính không bao giờ thay đổi của biểu thức vi phân cấp 1..................................4.7. Những quy tắc tính vi phân......................................................4.7. Vi phân cấp cao................................................................Các định lý cơ bản về hàm số khả vi...................................................................4.8. Định lý Fermat4.8. Định lý Rolle ..................................................................4.8. Định lý Lagrange.............................................................4.8. Định lý Cauchy................................................................Một số vận dụng của đạo hàm cùng vi phân..............................................4.9. Khử dạng vô định 00 ,......................................................................4.9. Tính gần đúng..................................................................4.9. điều tra tính tăng, sút và cực trị của hàm số............................4.9. Triển khai Taylor – Maclaurin...............................................4.9. Ứng dụng trong câu hỏi kinh tế.............................................Bài tập....................................................................................Chương 5. Tích phân....................................................................................Tích phân bất định.........................................................................5.1. Nguyên hàm và tích phân bất định.............................................5.1. Bảng công thức các tích phân cơ bản.........................................5.1. Các phương thức tính tích phân bất định.....................................Tích phân xác định........................................................................5.2. Định nghĩa các đặc điểm của tích phân xác định.............................5.2. Các đặc thù cơ phiên bản của tích phân xác định..........................................5.2. Công thức NewTon – Leibnitz ................................................5.2. Các phương thức tính tích phân xác định..............................................5.2. Ứng dụng tích phân xác định..................................................................Tích phân suy rộng...............................................................................................7.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cho 2 thông số hằng ko thuần nhất......Một số ứng dụng trong tởm tế.............................................................................7.3. Tìm hàm y f(x) lúc biết hệ số co dãn...............................................7.3. Mô hình cân bằng thị phần với hy vọng về giá............................Bài tập......................................................................................Một số đề tham khảo....................................................................................pháp quy nạp............................................................................................. Phụ lục 1ập số, tổng, tích hữu hạn, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, chứng tỏ bằng phươngPhụ lục 2ập hợp và ánh xạ............................................................................Phụ lục 3. Tính toán ma trận bằng máy tính cá nhân................................................Tài liệu tham khảo......................................................................................

Bạn đang xem: Đại số toán cao cấp

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn đang xuất hiện trong tay cuốn “ Giáo trình Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệđại trà, trường đh Tài chính – Maketing. Đây là giáo trình dành riêng cho sinh viên khốingành kinh tế và cai quản trị kinh doanh với thời lượng 4 tín chỉ (60 máu giảng), được biênsoạn dựa trên cuốn sách thuộc tên dành cho chương trình CLC; chính vì vậy shop chúng tôi cốgắng lựa chọn những nội dung căn bản, trọng yếu và có tương đối nhiều ứng dụng trong tài chính và quảntrị ghê doanh; nội dung huấn luyện và đào tạo không giống nhau với ngôn từ sinh viên đã có trangbị ở lịch trình phổ thông; chú trọng ý nghĩa và năng lực áp dụng của kiến thức; giáotrình được biên tập trên cơ sở tìm hiểu thêm nhiều giáo trình quốc tế cũng tương tự trong nước(xem phần tài liệu tham khảo), cũng tương tự kinh nghiệm huấn luyện và đào tạo nhiều năm của những tácgiả;

Nội dung giáo trình, được thiết kế cân xứng với chương trình đào tạo đại học đại trà,và trình độ chuyên môn của sinh viên khối ngành tài chính và cai quản trị tởm doanh. Giáo trình bao hàm 7chương, một số trong những đề trường đoản cú luyện và một trong những phụ lục đề xuất thiết.

Chương 1. trình bày về ma trận, phép toán bên trên ma trận, định thức, ma trận nghịchđảo, hạng của ma trận, áp dụng vào giải tế bào hình phẳng phiu liên ngành (Input – Output). Mộtsố ví dụ và bài bác tập rèn luyện.

Chương 2. trình bày về hệ phương trình tuyến đường tính và vận dụng giải quy mô cânbằng thị phần n hàng hóa có liên quan. Một số trong những ví dụ và bài bác tập rèn luyện

Chương 3. trình diễn về không gian vectơ; một số trong những ví dụ và bài tập rèn luyện.Chương 4. trình bày về phép tính vi phân hàm một biến hóa : số lượng giới hạn dãy số, giới hạnhàm số, hàm số liên tục, đạo hàm với vi phân, ứng dụng trong toán học cùng kinh tế. Một sốví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 5. trình diễn về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tíchphân suy rộng lớn và áp dụng trong phân tích kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 6. trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều phát triển thành : Hàm số nhiều biến; đạohàm riêng, vi phân toàn phần và áp dụng trong đối chiếu kinh tế. Câu hỏi cực trị từ bỏ do

Một số cam kết hiệu...................................................................................................................

: Tập số từ nhiên.

 : Tập số nguyên.

: Tập số hữu tỉ.

: Tập số thực.

: Tập số phức.

M :m n Tập hợp những ma trận có size cấp (cỡ) m n.

M :n Tập hợp những ma trận vuông cấp cho n.

(i) : dòng i (hàng i).

cj : Cột j.

: Phép gán (phép gắng thế).

 : Đổi địa điểm (hoán vị).

Det(A) A : Định thức của ma trận A.

I hoặc E : Ma trận 1-1 vị.

r(A) rank(A) : Hạng của ma trận A.

Dim: Số chiều.

lim : Giới hạn.

x/ii

f f x

 

 : Đạo hàm riêng biệt của hàm f theo thay đổi xi.

L : áp dụng quy tắc L’hospital.

KGVT : không gian vectơ.

Max : giá bán trị béo nhất.

Min : giá chỉ trị bé dại nhất.

Q : Sản lượng.

D : Demand (Cầu).

S : Supply (Cung).

QD: Lượng cầu.

QS : Lượng cung.

P : giá bán.

L : Lao động (nhân công).

MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động.

K : Vốn.

MPK : Hàm sản phẩm cận biên của vốn.

 : Lợi nhuận.

TR : Tổng doanh thu.

MR: lợi nhuận biên (doanh thu cận biên).

TC : Tổng bỏ ra phí.

FC : giá thành cố định.

VC : bỏ ra phí chuyển đổi (chi tầm giá khả biến).

MC: giá cả biên (chi phí cận biên).

AC : ngân sách chi tiêu trung bình.

TU : Tổng hữu dụng (Hàm lợi ích).

MU: Hàm có ích biên (hàm tiện ích biên).

EY X: thông số co dãn của Y theo X.

Ví dụ 2. cho hai ma trận: A       13  24 ; B 1 a b 4    

. Kiếm tìm a, b để hai ma trận A, B bằng

nhau.Giải

Ta có hai ma trận A và B đều phải có cấp là  2 2. Do đó A B a 3b 2. 

1.1. Những ma trận đặc biệt1.1.3. Ma trận không Ma trận ko là ma trận nhưng mà các phần tử đều là số không.Ví dụ 3. cho những ma trận không

0 2 3   0 0 00 0 0  

là ma trân không cấp  2 3 .

3 đôi mươi 00 0 00 0

     

là ma trận không cung cấp  3 2 .

1.1.3. Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận gồm số hàng cùng số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp cho n nđược điện thoại tư vấn tắt là ma trận vuông cấp cho n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cung cấp n được kýhiệu là M .n với ma trận vuông A M , n các bộ phận a , a ,...,a 11 22 nn được call là thuộc

đường chéo ( chính ) của ma trận A. Các phần tử a , an1 n 1,2 ,..., a1n được call là trực thuộc đường

chéo phụ của ma trận A.

Ví dụ 4. cho ma trận vuông cấp 3:

1 2 34 5 67 8 9     

có các bộ phận a 11   1, a 22 5, a 33 9

thuộc đường chéo cánh chính còn các phần tử a 31   7, a 22 5, a 13 3 nằm trong đường chéo phụ.

1.1.3. Ma trận chéo Ma trận chéo là ma trận vuông nhưng mà mọi phần tử không nằm trong đường chéo cánh chính đềulà bằng 0.

Ví dụ 5. mang đến ma trận chéo cấp 3 :

1 0 00 5 0.0 0 9     

1.1.3. Ma trận đơn vị chức năng cấp Ma trận đơn vị là ma trận chéo cánh mà mọi thành phần thuộc đường chéo cánh chính những bằng

Ký hiệu In là ma trận đơn vị chức năng cấp n.

Ví dụ 6. cho những ma trận đơn vị

2 3 n

1 0 0 1 0 ... 0I 1 0 ; I 0 1 0 ;...; I 0 1 ... 00 1 0 0 1 ... ... ... ...0 0 ... 1                      .

1.1.3. Ma trận tam giác trên (dưới) Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông nhưng các thành phần ở phía dưới (hoặc ởphía trên) đường chéo chính đều bởi 0.Ví dụ 7. cho các ma trận cấp 3

1 3 40 2 50 0 3

     

là ma trận tam giác trên.

là ma trận tam giác dưới.

1.1.3. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng không giống không đầutiên của hàng bên dưới phải nằm cạnh phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.

11 12 1r 1n 22 2r 2n

rr rn

a a a a 0 a a a

0 0 a a

0 0 0 0

                       

với r n và a , a ,...,a 11 22 rr gọi là các phần tử chéo.

Ví dụ 8. cho ma trận lan can như sau:

1 2 3 4 50 2 4 3 70 0 3 5 40 0 0 5 8     

A B   aij bijm n (1)

Ví dụ 10. đến hai ma trận:

A 1 2 3 4 5 6

   ,B 1 1 1.1 1 1    

Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B.  

GiảiTa có

2A 2 8 10 12 46   

,  4B   44  4444  

A B   2 1 43 6 5  

, 2A 4B  6 4 140 10 8 . 

1.1.4. Những tính chất Cho cha ma trận A, B, C cùng cung cấp và  , . A) A B B A   b) (A B) C A (B C)     c) A 0 A  d) A ( A) 0   e) 1 A A  f) (  )A A A g)    (A B) A B h) (    )A ( A) ( A).

1.1.4. Phép nhân nhì ma trận

Cho nhị ma trận A    aij milimet n , B  bij Mn p. Ta tư tưởng ma trận tích của

hai ma trận A, B là ma trận cấp m p , ký kết hiệu AB  cij milimet p , xác minh bởi

nij i1 1 j i 2 2 j in nj ik kjk 1

c a b a b a b a b , i 1, m , j 1, phường 

          (1)

Tính chất(i) Tính phối kết hợp : Cho A M m n, B Mn p và C M phường q , ta có

A BC    AB C.

(ii) Tính bày bán : với đa số ma trận A, B M m n và C M n p , ta có

 A B C AC BC   ,

và với tất cả ma trận C M m n cùng A, B M n p , ta có

C A B   CA CB_._

(iii) với tất cả ma trận A M m n, B Mn p và với đa số k, ta có

k AB      kA B A kB_._

Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp cho n. Ta bao gồm An     A AA (nhân n lần).Ví dụ 11. mang lại hai ma trận:

3x 2 2x

122 3 4A 1 1 M , B 3 5 0 M.2 3               

Tính AB cùng  AB. 2

GiảiTa có

122 3 4 8 7 4AB 1 1 3 5 0 1 8 4.2 3 13 9 8

                   

     2

8 7 4 8 7 4AB AB AB 1 8 4 1 8 413 9 8 13 9 8123 148 3636 35 60.217 235 123                 

Ví dụ 12. cho hai ma trận vuông cung cấp 4: 1 0 3 4 3 2 2 4A 2 3 12 , B 2113.3 2 4 3 1 0 3 0 1 1 2 1 3 4 3 5

                    

Tính AB cùng BA.

Xem thêm: Tên Gọi ' Ma Cà Rồng Là Gì, Dơi Quỷ Và Ám Ảnh Ma Cà Rồng Khát Máu

1.1.5. Contact giữa phép biến hóa sơ cung cấp trên hàng và phép nhân ma trận

Cho ma trận A aijm n và ma trận đơn vị cấp m: m

1 0 0I 0 100 0 1         

Định nghĩa: 1

0 1 iI(i, j)1 0 j

1

          

doøng

doøng

1

I(i, ) i

1

doøng

         1

1 iI(i, j, )0 1 j

1

doøng

doøng

            

Lưu ý: +) Phép hoán vị nhị hàng của ma trận A được xem như là thực hiện phép nhân ma trậnI(i, j) A.+) Phép nhân một sản phẩm của ma trận A cùng với số thực  0 được xem là phép nhânma trận I(i, ) A. 

+) Phép cộng vào mặt hàng i hàng j vẫn nhân với  (i j ) được coi là phép nhân ma

trận I(i, j, ) A. 

1. Định thức

Xét ma trận vuông cấp n:

11 12 1n 21 22 2n

n1 n 2 nn

a a aA a a aa a a

         

Với từng số hạng aij (số hạng nằm tại vị trí hàng i cùng cột j), ma trận cảm nhận từ A bằng

cách loại bỏ đi hàng máy i với cột sản phẩm công nghệ j được call là ma trận bù của A đối với số hạng a ,ij ký

hiệu là A .ijVí dụ 14. mang lại ma trận vuông cấp cho 3 :

1 4 7A 2 5 83 6 9

     

Ta hoàn toàn có thể thành lập các ma trận bù cấp cho 2, chẳng hạn A 11           5 86 9 ; A 23  1 43 6 ; A 33  1 42 5.      1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp nĐịnh thức của ma trận vuông A M , n cam kết hiệu det(A) hay A, là số thực được định

nghĩa bằng quy hấp thụ theo n như sau :

 với n 1 , nghĩa là A a 11 , thì det A a 11. với n 2, A (a ) ij n n , thì :

det A  ( 1) a det A1 1 11   11  ( 1)1 2 a det A 12   12    ( 1)1 n a det A1n  1n