Phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán

Phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán là phần kiến thức Toán 10, phân môn Hình học vô cùng quan trọng. Nhằm giúp quý thầy cô và các bạn học sinh có thêm nguồn tư liệu quý trong việc dạy và học, THPT Sóc Trăng đã chía sẻ bài viết sau đây. Cùng tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN


1. Lập phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn: lý thuyết, công thức và cách giải các dạng toán

Phương trình đường tròn có tâm I(a;b)">I(a;b), bán kính R">R là :


(x−a)2+(y−b)2=R2">(x−a)2+(y−b)2=R2

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn (x−a)2+(y−b)2=R2">(x−a)2+(y−b)2=R2 có thể được viết dưới dạng 

x2+y2−2ax−2by+c=0">x2+y2−2ax−2by+c=0

trong đó c=a2+b2−R2">c=a2+b2−R2

Ngược lại, phương trình x2+y2−2ax−2by+c=0">x2+y2−2ax−2by+c=0 là phương trình của đường tròn (C)">(C) khi và chỉ khi a2+b2−c>0">a2+b2−c>0. Khi đó đường tròn(C)">(C) có tâm I(a;b)">I(a;b) và bán kính R=a2+b2−c">R=√a2+b2−c

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0(x0;y0)">M0(x0;y0) nằm trên đường tròn (C)">(C) tâm I(a;b)">I(a;b).Gọi ∆">Δ là tiếp tuyến với (C)">(C) tại M0">M0

*

Ta có M0">M0 thuộc ∆">Δ và vectơ IM0→=(x0−a;y0−b)">IM0=(x0−a;y0−b) là vectơ pháp tuyến cuả ∆">Δ

Do đó ∆">Δ có phương trình là:

(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0">(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0

Phương trình này là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x−a)2+(y−b)2=R2">(x−a)2+(y−b)2=R2  tại điểm M0">M0 nằm trên đường tròn.

Bạn đang xem: Công thức phương trình đường tròn

II. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Lập phương trình đường tròn

Cách giải 1:

Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)Tìm bán kính R của (C)Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

(C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.(C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).(C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách giải 2:

Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, cGiải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc đường tròn (C)

Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(xo;yo) có dạng:

(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0">(x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

Dạng 3: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn.

Xem thêm: ✅ Đề Thi Toán Lớp 1 Hk2 - ✅ Đề Thi Môn Toán Lớp 1 Học Kỳ 2

Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Cách giải 1:

Đưa phương trình về dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1)Xét dấu biểu thức: R=a2+b2−c">a2+b2−cNếu M a2+b2−c>0">>0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R=a2+b2−c">R=√a2+b2−c

Cách giải 2:

Đưa phương trình về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = m(2)

Nếu m a2+b2−c>0">>0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R=a2+b2−c">R=√m

III. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10): Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a, x2 + y2– 2x – 2y – 2 = 0

b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0

c, x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

Lời giải

*

Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);

b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp cúc với đường thẳng x – 2y +7 =0

c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).

Lời giải

*

Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)

Lời giải

*

Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).

Lời giải

*

Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10): Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Lời giải

*