Trong toán học, Khoảng cách Euclide giữa hai điểm trong không khí Euclide là độ dài của đoạn thẳng thân hai điểm. Nó hoàn toàn có thể được giám sát và đo lường từ tọa độ Descartes của các điểm bằng cách sử dụng định lý Pitago, vị đó đôi khi được call là Khoảng phương pháp Pitago. Những cái tên này phát xuất từ các nhà toán học Hy Lạp cổ điển Euclid và Pythagoras, mặc dù Euclid không biểu hiện khoảng phương pháp dưới dạng số, cùng mối liên hệ từ định lý Pythagore với phép tính khoảng cách đã không được thực hiện cho đến thế kỷ 18.

Bạn đang xem: Công thức euclid

Khoảng giải pháp giữa hai đối tượng người sử dụng không phải là điểm thường được xác định là khoảng cách nhỏ dại nhất giữa những cặp điểm từ nhì đối tượng. Cách làm được biết đến để giám sát và đo lường khoảng phương pháp giữa những loại đối tượng người dùng khác nhau, ví dụ điển hình như khoảng cách từ một điểm đến lựa chọn một con đường thẳng. Trong toán học tập cao cấp, khái niệm khoảng cách đã được bao hàm hóa thành các không khí mêtric trừu tượng, và các khoảng cách khác bên cạnh Euclide đã làm được nghiên cứu. Trong một số trong những ứng dụng trong thống kê và buổi tối ưu hóa, bình phương của khoảng cách Euclide được sử dụng thay mang lại chính khoảng tầm cách.

Công thức khoảng chừng cách

Một chiều

Khoảng giải pháp giữa hai điểm ngẫu nhiên trên đường thực là giá bán trị tuyệt đối của hiệu số tọa độ của chúng. Cho nên nếu P displaystyle p

*

và NS displaystyle q

*

là nhì điểm trê tuyến phố thẳng thực thì khoảng cách giữa bọn chúng là:
NS(P,NS)=|PNS|.displaystyle d (p, q) =

*


Một công thức phức tạp hơn, cho cùng một giá chỉ trị, nhưng bao quát hóa dễ dãi hơn cho các thứ nguyên cao hơn, là:
NS(P,NS)=(PNS)2. Displaystyle d (p, q) = sqrt (p-q) ^ 2.

*


Trong bí quyết này, bình phương và tiếp nối lấy căn bậc hai để lại bất kỳ số dương như thế nào không cố gắng đổi, nhưng ráng thế ngẫu nhiên số âm nào bằng giá trị tuyệt đối hoàn hảo của nó.

Hai kích thước

Trong khía cạnh phẳng Euclide, hãy điểm P displaystyle p

có tọa độ Descartes (P1,P2) displaystyle (p_ 1, p_ 2)

*

và xem xét NS displaystyle q

có tọa độ (NS1,NS2) displaystyle (q_ 1, q_ 2)

*

. Sau đó, khoảng cách giữa P displaystyle p

và NS displaystyle q

được giới thiệu bởi:
NS(P,NS)=(NS1P1)2+(NS2P2)2. Displaystyle d (p, q) = sqrt (q_ 1 -p_ 1) ^ 2 + (q_ 2 -p_ 2) ^ 2.

*


Có thể thấy điều này bằng phương pháp áp dụng định lý Pitago cho 1 tam giác vuông có các cạnh ngang và dọc, có đoạn thẳng từ P displaystyle p

đến NS displaystyle q

như cạnh huyền của nó. Hai cách làm bình phương bên phía trong căn bậc hai cho diện tích hình vuông ở các cạnh ngang và dọc, với căn bậc hai bên ngoài chuyển thay đổi diện tích hình vuông vắn trên cạnh huyền thành độ nhiều năm cạnh huyền.

Nó cũng rất có thể tính toán khoảng cách cho các điểm được hỗ trợ bởi các tọa độ cực. Nếu tọa độ rất của P displaystyle p

là (NS,θ) displaystyle (r, theta)

*

và tọa độ rất của NS displaystyle q

là (NS,ψ) displaystyle (s, psi)

*

, thì khoảng cách của bọn chúng được cho bởi định quy định cosin:
NS(P,NS)=NS2+NS22NSNScos(θψ). Displaystyle d (p, q) = sqrt r ^ 2 + s ^ 2 -2rs cos ( theta - psi).

*


Khi làm sao P displaystyle p

và NS displaystyle q

được trình diễn dưới dạng số phức trong phương diện phẳng phức, rất có thể sử dụng công thức giống như cho các điểm một chiều được biểu lộ dưới dạng số thực:
NS(P,NS)=|PNS|.displaystyle d (p, q) =

*


Kích thước cao hơn


Các đối tượng người dùng khác bên cạnh điểm

Đối với những cặp đối tượng người sử dụng không phải là cả nhị điểm, khoảng tầm cách có thể được định nghĩa đơn giản và dễ dàng nhất là khoảng tầm cách nhỏ dại nhất thân hai điểm ngẫu nhiên từ nhì đối tượng, mặc dù các phép tổng quát phức hợp hơn từ điểm thành tập hợp như khoảng cách Hausdorff cũng thường được sử dụng. Những công thức đo lường và thống kê khoảng giải pháp giữa các loại đối tượng người sử dụng bao gồm:

Khoảng biện pháp từ một điểm đến một mặt đường thẳng, trong phương diện phẳng EuclideKhoảng phương pháp từ một điểm đến chọn lựa một khía cạnh phẳng trong không khí Euclide ba chiềuKhoảng biện pháp giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian Euclide bố chiều

Tính chất

Khoảng giải pháp Euclide là ví dụ điển hình về khoảng cách trong không gian metric cùng tuân theo tất cả các thuộc tính xác minh của không gian metric:

Nó là đối xứng, nghĩa là cho tất cả các điểm P displaystyle p

và NS displaystyle q

, NS(P,NS)=NS(NS,P) displaystyle d (p, q) = d (q, p)

*

. Đó là (không y như khoảng cách đường bộ với con đường một chiều) khoảng cách giữa nhì điểm không phụ thuộc vào vào điểm nào là điểm xuất phát với điểm nào là vấn đề đến.Nó là khả quan, có nghĩa là khoảng biện pháp giữa hai điểm minh bạch là một vài dương, vào khi khoảng cách từ bất kỳ điểm nào đến chủ yếu nó bởi không.Nó tuân thủ theo đúng bất đẳng thức tam giác: cứ cha điểm P displaystyle p

, NS displaystyle q

, với NS displaystyle r

*

, NS(P,NS)+NS(NS,NS)NS(P,NS) displaystyle d (p, q) + d (q, r) geq d (p, r)

*

. Trực quan, đi trường đoản cú P displaystyle p

đến NS displaystyle r

qua NS displaystyle q

không thể ngắn hơn bất kỳ chuyến đi trực tiếp từ P displaystyle p

đến NS displaystyle r

.

Một đặc điểm khác, sự bất bình đẳng của Ptolemy, liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm P displaystyle p

, NS displaystyle q

, NS displaystyle r

, với NS displaystyle s

*

. Nó nói rằng
NS(P,NS)NS(NS,NS)+NS(NS,NS)NS(P,NS)NS(P,NS)NS(NS,NS). Displaystyle d (p, q) cdot d (r, s) + d (q, r) cdot d (p, s) geq d (p, r) cdot d (q, s).
Đối với những điểm trong mặt phẳng, điều này rất có thể được miêu tả lại bằng cách nói rằng với tất cả tứ giác, tích những cạnh đối diện của tứ giác gồm tổng ít nhất là một vài lớn bằng tích các đường chéo cánh của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Ptolemy vận dụng tổng quát tháo hơn cho những điểm trong không gian Euclide gồm chiều bất kỳ, bất cứ chúng được chuẩn bị xếp như thế nào. Hình học khoảng cách Euclid nghiên cứu và phân tích các tính chất của khoảng cách Euclid như bất đẳng thức Ptolemy và vận dụng của chúng trong việc kiểm tra xem các tập hợp khoảng cách đã cho gồm đến từ những điểm trong không gian Euclid xuất xắc không.

Khoảng giải pháp Euclid bình phương


Ngoài ứng dụng của nó để đối chiếu khoảng cách, khoảng cách Euclid bình phương bao gồm tầm đặc biệt quan trọng trung vai trung phong trong thống kê, địa điểm nó được thực hiện trong phương thức bình phương nhỏ tuổi nhất, một phương thức tiêu chuẩn chỉnh để phù hợp các ước tính những thống kê với dữ liệu bằng phương pháp giảm thiểu vừa đủ của khoảng cách bình phương giữa những giá trị quan tiếp giáp và mong tính . Việc cộng các khoảng cách bình phương với nhau, như được tiến hành trong phép ghép hình vuông nhỏ dại nhất, khớp ứng với một phép toán bên trên các khoảng cách (không được kiểm tra) được gọi là phép cộng Pythagore. Trong so với cụm, khoảng cách bình phương hoàn toàn có thể được áp dụng để tăng cường ảnh hưởng của khoảng cách xa hơn.

Khoảng phương pháp Euclide bình phương không tạo thành thành không khí metric, vày nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Tuy nhiên, nó là một trong những hàm lồi hoàn toàn nhẵn của nhì điểm, không hệt như khoảng cách, là hàm không nhẵn (các cặp điểm gần bởi nhau) và lồi tuy nhiên không lồi trả toàn. Bởi đó, khoảng cách bình phương được ưu tiên trong lý thuyết tối ưu hóa, bởi nó chất nhận được sử dụng đối chiếu lồi. Bởi vì bình phương là một trong hàm solo điệu của những giá trị không âm, việc giảm thiểu khoảng cách bình phương tương đương với vấn đề giảm thiểu khoảng cách Euclide, do đó bài toán buổi tối ưu hóa tương tự về 1 trong các hai, tuy nhiên dễ giải hơn bằng phương pháp sử dụng khoảng cách bình phương.

Tập hợp toàn bộ các khoảng cách bình phương giữa các cặp điểm từ 1 tập phù hợp hữu hạn hoàn toàn có thể được tàng trữ trong ma trận khoảng cách Euclide, và được áp dụng ở dạng này vào hình học khoảng cách.

Khái quát lác hóa

Trong các lĩnh vực toán học thời thượng hơn, lúc xem không gian Euclide như một không gian vectơ, khoảng cách của nó được liên kết với một chuẩn chỉnh gọi là chuẩn chỉnh Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của từng vectơ từ cội tọa độ. Giữa những tính chất đặc biệt của định mức này, so với các định mức khác, là nó không thay đổi trong những phép quay tùy ý của không gian xung xung quanh điểm gốc. Theo định lý Dvoretzky, mọi không khí vectơ quy chuẩn hữu hạn chiều đều phải có một không gian con chiều cao mà trên đó chuẩn là xấp xỉ Euclide; chuẩn mực Euclide là chuẩn mực duy nhất tất cả thuộc tính này. Nó có thể được mở rộng thành không khí vectơ vô hạn chiều như L2 định nút hoặc L2 khoảng cách.

Các khoảng cách phổ biến hóa khác trên không khí Euclide và không khí vectơ chiều thấp bao gồm:

Khoảng giải pháp Chebyshev, đo khoảng cách giả sử chỉ gồm thứ nguyên đặc biệt quan trọng nhất gồm liên quan.Khoảng giải pháp Manhattan, đo khoảng cách chỉ theo các hướng được chỉnh sửa theo trục.Khoảng cách Minkowski, một bao quát thống nhất khoảng cách Euclidean, khoảng cách Manhattan và khoảng cách Chebyshev.

Đối với những điểm trên bề mặt theo bố chiều, khoảng cách Euclid cần phải phân biệt với khoảng cách trắc địa, độ dài của một đường cong ngắn độc nhất thuộc về bề mặt. Đặc biệt, nhằm đo khoảng cách vòng tròn bự trên trái khu đất hoặc các bề mặt hình ước hoặc ngay gần hình ước khác, các khoảng cách đã được sử dụng bao hàm khoảng biện pháp hasrsine cho khoảng cách vòng tròn bự giữa nhì điểm bên trên một hình ước từ những kinh độ với vĩ độ của chúng, và các công thức của Vincenty còn gọi là "khoảng biện pháp Vincent" cho khoảng cách trên một hình cầu.

Môn định kỳ sử

Khoảng giải pháp Euclide là khoảng cách trong không khí Euclid; cả hai có mang đều được lấy tên theo bên toán học Hy Lạp thượng cổ Euclid, bạn có những yếu tố vươn lên là sách giáo khoa tiêu chuẩn về hình học trong nhiều thế kỷ. Các khái niệm về độ nhiều năm và khoảng cách phổ biến rộng thoải mái trong những nền văn hóa, hoàn toàn có thể được khẳng định từ những tài liệu quan liêu "bảo vệ" sớm nhất còn sót lại từ Sumer vào thiên niên kỷ thứ bốn trước Công nguyên (trước Euclid), và đã được giả thuyết là trở nên tân tiến ở trẻ nhỏ sớm hơn các khái niệm tương quan về tốc độ và thời gian. Dẫu vậy khái niệm về khoảng tầm cách, như một con số được xác định từ hai điểm, ko thực sự mở ra trong các yếu tố. Vậy vào đó, Euclid tiếp cận quan niệm này một phương pháp ngầm hiểu, thông qua sự đồng dư của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài của các đoạn trực tiếp và thông qua khái niệm tỷ lệ.

Xem thêm: Giải Toán 4 Chia Cho Số Có Hai Chữ Số Trang 82 Sgk Toán 4, Toán Lớp 4 Trang 82

Định lý Pitago cũng cổ xưa, tuy vậy nó chỉ có thể đóng phương châm trung trọng tâm trong bài toán đo khoảng cách sau lúc René Descartes phát minh sáng tạo ra hệ tọa độ Descartes vào khoảng thời gian 1637. Bản thân công thức khoảng cách được Alexis Clairaut ra mắt lần thứ nhất vào năm 1731. Do bí quyết này, khoảng cách Euclide song khi còn gọi là khoảng bí quyết Pitago. Mặc dù các phép đo đúng mực về khoảng cách dài trên bề mặt trái đất, không phải là Euclid, đã được phân tích lại trong nhiều nền văn hóa truyền thống từ thời thượng cổ (xem lịch sử dân tộc trắc địa), phát minh cho rằng khoảng cách Euclid rất có thể không bắt buộc là giải pháp duy nhất để đo khoảng cách giữa những điểm trong không gian toán học thậm chí còn còn lộ diện muộn hơn, với phương pháp hình học phi Euclid từ ráng kỷ 19. Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid cho những hình học có tương đối nhiều hơn cha chiều cũng lần trước tiên xuất hiện tại vào rứa kỷ 19, trong công trình của Augustin-Louis Cauchy.