- Điểm (M') gọi là hình ảnh của điểm (M) qua phép vươn lên là hình (F) , hay (M) là vấn đề tạo hình ảnh của điểm (M'), kí hiệu (M' = fleft( M ight))

- nếu như (left( H ight)) là 1 trong những hình nào đó thì (left( H' ight)) gồm các điểm (M') là hình ảnh của (M in m H) được điện thoại tư vấn là hình ảnh của (left( m H ight)) qua phép đổi mới hình (F) .

Bạn đang xem: Công thức các phép biến hình

- Phép trở thành hình trở nên mỗi điểm M thành bao gồm nó được điện thoại tư vấn là phép đồng nhất.

2. Phép tịnh tiến

a. Định nghĩa


*

(T_overrightarrow v (M) = M' Leftrightarrow overrightarrow MM' = overrightarrow v )

b. Tính chất

- giả dụ phép tịnh tiến biến hóa hai điểm (M,N) thành nhị điểm (M',N') thì (overrightarrow M'N' = overrightarrow MN ) , từ đó suy ra (M'N' = MN)

- Phép tịnh tiến biến bố điểm thẳng sản phẩm thành cha điểm thẳng hàng cùng không làm biến hóa thứ tự ba điểm đó.

- Phép tịnh tiến biến chuyển đường trực tiếp thành con đường thẳng tuy nhiên song hoặc trùng cùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi nó, trở thành một tam giác thành một tam giác bằng nó, mặt đường tròn thành mặt đường tròn có cùng buôn bán kính.

c. Biểu thức tọa độ

Trong phương diện phẳng tọa độ $left( Oxy ight)$ đến vectơ (overrightarrow v = left( a;b ight),Mleft( x;y ight)).

Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v :T_overrightarrow v (M) = M'left( x';y' ight)) tất cả biểu thức tọa độ: (left{ eginarraylx' = x + a\y' = y + bendarray ight.)

3. Phép đối xứng trục

a. Định nghĩa

Phép đối xứng sang 1 đường thẳng (a) là phép biến hóa hình biến đổi điểm (M) thành điểm (M') đối xứng với (M) qua đường thẳng (a). Kí hiệu : $D_a$ ((a)là trục đối xứng)


*

b. Tính chất

+) (D_aleft( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow M_0M' = - overrightarrow M_0M ) cùng với (M_0) là hình chiếu của (M) trên (a).

+) (D_aleft( M ight) = M Leftrightarrow M in a)

+) (D_aleft( M ight) = M' Leftrightarrow D_aleft( M' ight) = M), (a) là trung trực của đoạn (MM').

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kỳ.

- Phép đối xứng trục đổi mới đường trực tiếp thành mặt đường thẳng, đổi mới đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng bằng nó, thay đổi tam giác thành tam giác bởi nó, trở nên đường tròn thành đường tròn bao gồm cùng phân phối kính.

- Phép đối xứng trục biến bố điểm thẳng hàng thành tía điểm trực tiếp hàng và không làm chuyển đổi thứ tự ba điểm đó.

c. Biểu thức tọa độ

Trong phương diện phẳng tọa độ (Oxy): (D_a:Mleft( x;y ight) o M'left( x';y' ight))

- nếu như (a equiv Ox Rightarrow left{ eginarraylx = x'\y = - y'endarray ight.)

- nếu như (a equiv Oy Rightarrow left{ eginarraylx = - x'\y = y'endarray ight.)

4. Phép đối xứng tâm

a. Định nghĩa

Cho điểm (I). Phép đổi mới hình biến đổi điểm (I) thành chủ yếu nó, biến hóa mỗi điểm (M) khác (I) thành (M') sao cho (I) là trung điểm (MM') được hotline là phép đối xứng chổ chính giữa (I). Kí hiệu: (D_I) ((I) là trung tâm đối xứng)


*

(D_Ileft( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow IM' = - overrightarrow IM )

b. Tính chất

- trường hợp (D_Ileft( M ight) = M') và (D_Ileft( N ight) = N') thì (overrightarrow M'N' = - overrightarrow MN ) , từ kia suy ra (M'N' = MN)

- Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng cùng với nó, vươn lên là đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi nó, trở thành tam giác thành tam giác bởi nóm biến chuyển đường tròn thành đường tròn tất cả cùng phân phối kính.

- Phép đối xứng vai trung phong biến bố điểm thẳng hàng thành tía điểm thẳng hàng với không làm biến đổi thứ tự tía điểm đó.

- Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kì.

c. Biểu thức tọa độ

Trong khía cạnh phẳng tọa độ (Oxy), đến (I_0left( x_0;y_0 ight)), gọi (Mleft( x;y ight)) với (M'left( x';y' ight)) với (D_Ileft( M ight) = M' Rightarrow left{ eginarraylx' = 2x_0 - x\y' = 2y_0 - yendarray ight.)

5. Phép quay

a. Định nghĩa


*

Trong mặt phẳng cho điểm $O$ cố định và thắt chặt và góc lượng giác $alpha $ không đổi. Phép đổi mới hình biến đổi mỗi điểm (M)

thành điểm $M'$ làm thế nào cho $OM = OM'$ cùng $left( OM,OM' ight) = alpha $ được gọi là phép quay trung tâm $O$ góc xoay $alpha $.

Kí hiệu: $Q_left( O,alpha ight)$($O$ là trung tâm phép quay, $alpha $ là góc quay lượng giác).

$Q_left( O,alpha ight)left( M ight) = M' Leftrightarrow left{ eginarraylOM = OM'\left( OM,OM' ight) = alpha endarray ight.$

b. Tính chất

- Chiều dương của phép con quay là chiều dương của đường tròn lượng giác (chiều kim đồng hồ).

- cùng với $k in mathbbZ$ ta luôn luôn có: $Q_left( O,2kpi ight)$ là phép đồng nhất; $Q_left( O,left( 2k + 1 ight)pi ight)$ là phép đối xứng tâm.

- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

- Phép quay trở thành đường thẳng thành mặt đường thẳng, đổi mới đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến hóa tam giác thành tam giác bởi nó, thay đổi đường tròn thành mặt đường tròn có cùng bán kính.

- Phép quay biến tía điểm thẳng mặt hàng thành tía điểm trực tiếp hàng cùng không làm chuyển đổi thứ tự.

c. Biểu thức tọa độ

$left{ eginarraylx' - x_0 = left( x - x_0 ight)cos varphi - left( y - y_0 ight)sin varphi \y' - y_0 = left( x - x_0 ight)sin varphi + left( y - y_0 ight)cos varphi endarray ight.$

Đặc biệt:

+) $varphi = 90^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = - y\y' = xendarray ight.$

+) nếu như $varphi = - 90^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = y\y' = - xendarray ight.$

+) nếu $varphi = 180^circ Rightarrow left{ eginarraylx' = - x\y' = - yendarray ight.$

6. Phép vị tự

a. Định nghĩa


*

Cho điểm $O$ cố định và số $k e 0$ ko đổi. Phép biến hình biến đổi mỗi điểm $M$ thành điểm (M') làm thế nào cho (overrightarrow OM' = koverrightarrow OM ) được gọi là phép vị tự trọng tâm $O,$ tỉ số $k.$

Kí hiệu: (V_left( O,k ight)) ($O$ là trung khu vị tự, $k$ là tỉ số vị tự)

(V_left( o,k ight)left( M ight) = M' Leftrightarrow overrightarrow OM' = koverrightarrow OM )

b. Tính chất

- nếu như phép vị từ tỉ số k trở nên hai điểm $M, N$ tùy ý theo sản phẩm công nghệ tự thành (M',,N') thì

(overrightarrow M'N' = koverrightarrow MN ) và (M'N' = left| k ight|MN).

- Phép vị từ tỉ số $k:$

+ Biến cha điểm thẳng mặt hàng thành ba điểm thẳng hàng cùng bảo toàn sản phẩm công nghệ tự thân chúng.

+ vươn lên là đường trực tiếp thành con đường thẳng tuy vậy song hoặc trùng với nó, biến hóa tia thành tia, đổi mới đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

+ thay đổi tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến chuyển góc thành góc bởi nó.

+ biến đường tròn bán kính $ mR$ thành con đường tròn có bán kính $left| k ight|.R$

c. Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) có thể chấp nhận được vị từ $V_left( I,k ight)$ trọng điểm $Ileft( x_0;y_0 ight)$ trở nên điểm (Mleft( x;y ight)) thành (M'left( x';y' ight)).

Khi kia (left{ eginarraylx' = kx + left( 1 - k ight)x_0\y' = ky + left( 1 - k ight)y_0endarray ight.)

7. Phép đồng dạng

a. Định nghĩa

Một phép phát triển thành hình (F) được điện thoại tư vấn là phép đồng dạng tỉ số (k,,,left( k > 0 ight)) đối với hai điểm bất kỳ (M,N) và hình ảnh (M',N') tương xứng của chúng ta luôn bao gồm (M'N' = kMN.)

dìm xét:

- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số (k = 1).

- Phép vị từ bỏ tỉ số (k) là phép đồng dạng tỉ số (left| k ight|).

- ví như thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì ta được một phép đồng dạng.

b. Tính chất

- Phép đồng dạng tỉ số (k):

+ Biến tía điểm thẳng mặt hàng thành bố điểm trực tiếp hàng với bảo toán máy tự giữa chúng.

+ vươn lên là đường thẳng thành mặt đường thẳng, vươn lên là tia thành tia, biến đổi đoạn trực tiếp thành đoạn thẳng.

+ biến chuyển một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác sẽ cho, phát triển thành góc thành góc bởi nó.

+ đổi thay một mặt đường tròn nửa đường kính (R) thành con đường tròn bán kính (left| k ight|.R).

8. Phép dời hình cùng hai hình bởi nhau

- Phép dời hình là phép biến hóa hình bảo toàn khoảng cách giữa nhị điểm bất kỳ.

Xem thêm: Hbl Là Gì ? Ý Nghĩa Của Hbl Trong Ngành Logistics Bạn Cần Biết

- hai hình được call là đều bằng nhau nếu có một phép dời hình phát triển thành hình này thành hình kia.