Công thức bất đẳng thức

Bất đẳng thức và các ứng dụng

I. Khái niệm bất đẳng thức cơ bản

1.1 Số thức dương, số thực âm

ví như a là số thực dương, ta kí hiệu a>0

nếu a là số thực âm, ta kí hiệu ab hoặc a

bao phủ định của mệnh đề a>0 làa≤0a≤0

lấp định của mệnh đề a

Bất đẳng thức đã có được từ hằng đẳng thức dạng(a−b)2≥0

Bất đẳng thức AM – GM (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Côsi)

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Sách giáo khoa nước ta gọi là bất đẳng thức Bunhiacopsky)

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức

Bất đẳng thức Mincopski (bất đẳng thức véctơ)

Bài 1. Cho những số thực dương a, b, c thỏa mãna2+ b2+ c2= 3.

Bạn đang xem: Công thức bất đẳng thức

Chứng minh rằng:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c = 1.

Ôn tập về Bất đẳng thức

– những mệnh đề dạng “ab” được điện thoại tư vấn là bất đẳng thức.

– trường hợp mệnh đề “a3. Tính chất của bất đẳng thức

° cộng hai vế của bất đẳng thức với 1 số:

a0: a bc

° cùng hai bất đẳng thức thuộc chiều

a0, c>0: a*: a2n+12n+1

– cùng với n∈ N*và a>0: a2n2n

° Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

2. Những hệ trái của Bất đẳng thiết bị Cô-si

° Hệ trái 1:Tổng của một số trong những dương cùng với nghịch hòn đảo của nó to hơn hoặc bằng 2.

Bất đẳng thức cất dấu trị tốt đối

Từ quan niệm giá trị hay đối, ta có đặc điểm bất đẳng thức trị hoàn hảo nhất như sau

° |x|≥ 0,|x|≥ x,|x|≥ -x

° với a>0:

|x|≤ 0⇔ -a≤ x≤ a

|x|≥ a⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a

° |a| – |b|≤ |a + b|≤ |a| + |b|

Bài tập áp dụng Bất đẳng thức

* bài 1 trang 79 SGK Đại Số 10:Trong các xác định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x ; b) 4x > 8x

c) 8x2> 4x2; d) 8 + x > 4 + x

* Lời giải:

– Đáp án đúng:d) 8 + x > 4 + x

– vì chưng 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng nhị vế của BĐT với 1 số). Nên xác định d là đúng với mọi giá trị của x.

+ các đáp án không giống sai vì:

a) Ta có: 8 > 4 cần để 8x > 4x thì x > 0

– vị đó, chỉ đúng vào khi x > 0 (hay có thể nói nếu x 8x thì x 5, số nào trong số số sau đây là số nhỏ dại nhất?

A=5/x; B=5/x + 1; C = 5/x – 1; D = x/5.

* Lời giải:

– với tất cả x ≠ 0 ta luôn có: – 1

→ Vậy ta gồm C 22

2) Từ kia suy ra: a2+ b2+ c222

– bởi vì a, b, c là độ nhiều năm 3 cạnh của một tam giác bắt buộc tổng 2 cạnh luôn to hơn cạnh còn lại. ⇒ a + c > b cùng a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

– Ta có:(b – c)2– a2= (b – c – a)(b – c + a)

Do b c⇒ b + a – c > 0.

Suy ra:(b – c – a)(b – c + a) 2– a222

2)Từ kết quả câu 1) ta có

a2> (b – c)2

b2> (a – c)2

c2> (a – b)2

– cùng vế cùng với vế cha bất đẳng thứctrênta có:

a2+ b2+ c2> (b – c)2+ (c – a)2+ (a – b)2

⇒ a2+ b2+ c2>b2– 2bc + c2+ c2– 2ca + a2+ a2– 2ab + b2

⇒ a2+ b2+ c2>2(a2+ b2+ c2) – 2(ab + bc + ca)

⇒ a2 + b2 + c2 3+ y3≥ x2y + xy2, ∀x, y ≥ 0

* Lời giải:

Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0

Ta có: x3+ y3≥ x2y + xy2

⇔ (x3+ y3) – (x2y + xy2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– xy + y2– xy) ≥ 0

⇔ (x + y)(x2– 2xy + y2) ≥ 0

⇔ (x + y)(x – y)2≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2≥ 0)

Dấu “=” xẩy ra khi (x – y)2= 0 ⇔ x = y.

* bài bác 5 trang 79 SGK Đại Số 10: Chứng minh rằng: 

+ Xét 0 ≤ t 33> 0 ; 1 – t > 0

t8– t5+ t2– t + 1 = t8+ (t2– t5) + (1 – t)= t8+ t2.(1 – t3) + (1 – t) > 0 + 0 + 0 = 0

(vì t8≥ 0; t2≥ 0 ⇒ t2(1 – t3) ≥ 0)

+ Xét t ≥ 1 ⇒ t3≥ 1 ⇒ t3– 1 ≥ 0 và t – 1 ≥ 0.

Xem thêm: Flat Nghĩa Là Gì ? Nghĩa Của Từ Flat Trong Tiếng Việt Flat Nghĩa Tiếng Anh Là Gì

t8– t5+ t2– t + 1 = t5.(t3– 1) + t.(t – 1) + 1≥ 0 + 0 + 1 > 0

Vậy với mọi t ≥ 0 thì t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay

Bài 6 trang 79 SGK Đại Số 10: Trong phương diện phẳng tọa độ Oxy, trên những tia Ox cùng Oy theo thứ tự lấy các điểm A và B biến đổi sao đến đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn trung khu O bán kính 1. Xác minh tọa độ của A với B để đoạn AB bao gồm độ dài nhỏ nhất.