Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên đúng là bất đẳng thức giữa trung bình cùng và trung bình nhân, đa số người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean cùng GM là viết tắt của Geometric mean). Vì nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tín đồ đã đưa ra một phương pháp chừng mình đặc sắc nên không ít người dân hay điện thoại tư vấn là bất đẳng thức Cauchy.
Bạn đang xem: Cô sy
Nó ứng dụng không ít trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, bọn họ quan trọng điểm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Cauchy.
Mục lục ẩn
1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cosi
a. Dạng bao quát bất đẳng thức cosi
b) những bất đẳng thức côsi đặc biệt quan trọng
c) một vài bất đẳng thức được suy ra trường đoản cú bất đẳng thức Cauchy
d) chú ý khi thực hiện bất đẳng thức AM – GM
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Dạng 2: kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp
Dạng 3: kinh nghiệm tham số hóa
Dạng 4: kĩ thuật bất đẳng thức côsi ngược vệt
1. Những dạng trình diễn của bất đẳng thức Cosi
a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi
Cho x1, x2, x3 ,…, xn là những số thực không âm ta có:
Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:
b) các bất đẳng thức côsi đặc biệt
c) một số trong những bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
d) chăm chú khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM
Khi áp dụng bất đẳng thức cô mê man thì những số phải là những số ko âmBất đẳng thức côsi thường được vận dụng khi trong BĐT cần chứng tỏ có tổng cùng tíchĐiều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhauBất đẳng thức côsi còn có vẻ ngoài khác thường xuất xắc sử dụngĐối với nhị số:
$x^2,,+,y^2,,ge ,,2xy$.$,x^2,,+,y^2,,ge ,,frac(x,+,y)^22$$,xyle ,,left( fracx+y2 ight)^2$
Đối với cha số: $abcle fraca^3+b^3+c^33,,,abcle left( fraca+b+c3 ight)^3$
2. Các dạng bài tập
Dạng 1: vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ: mang đến a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2. Chứng tỏ rằng $left( a+b ight)^5ge 16absqrtleft( 1+a^2 ight)left( 1+b^2 ight)$
Lời giải
Dạng 2: kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp
Để minh chứng BĐT ta thường xuyên phải chuyển đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo ra biểu thức hoàn toàn có thể giản cầu được sau thời điểm áp dụng BĐT côsi.Khi chạm mặt BĐT tất cả dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta thường đi minh chứng x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều đề nghị chứng minh.Khi tách bóc và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc bảo vệ dấu bởi xảy ra(thường vết bằng xảy ra khi các biến cân nhau hoặc trên biên).Ví dụ: mang lại a, b, c là số dương thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3.
Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)
Lời giải
Dạng 3: kinh nghiệm tham số hóa
Nhiều khi không dự kiến được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi lựa chọn sau sao để cho dấu bởi xảy ra.
Ví dụ: mang lại a, b, c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c2 = 68. Tìm giá bán trị bé dại nhất của A = a2 + b2 + c3.
Xem thêm: Biết Rằng Lim Sinx Khi X Tiến Tới 0, Biết Rằng Lim X Tiến Tới 0 Của Sinx / X =1
Phân tích
Lời giải
Áp dụng Bất đẳng thức côsi ta có
Dạng 4: kinh nghiệm bất đẳng thức côsi ngược dấu
Ví dụ: mang đến a, b, c là những số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.