- Chọn bài -Các dạng bài tập về góc trong tứ giácCác dạng bài tập về hình thang, hình thang vuông, hình thang cânCác dạng toán về đối xứng trục, đối xứng tâmCác dạng bài tập về đường trung bình của tam giác, hình thangCác dạng toán về hình bình hànhCác dạng toán về hình chữ nhậtCác dạng bài tập về hình thoiCác dạng toán về hình vuôngCác dạng toán về đường thẳng song song với đường thẳng cho trướcCách nhận biết các tứ giác hay, chi tiếtTính số đo góc trong tứ giác hay, chi tiếtCách vẽ tứ giác khi biết 5 yếu tố hay, chi tiếtChứng minh hệ thức trong tứ giác hay, chi tiếtCách nhận biết hình thang, hình thang vuông hay, chi tiếtCách nhận biết hình thang cân hay, chi tiếtCách tính số đo góc trong hình thang hay, chi tiếtCách tính độ dài đoạn thẳng trong hình thang hay, chi tiếtChứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau hay, chi tiếtTính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thangChứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng hay, chi tiếtCách dựng hình thang bằng thước và compa hay, chi tiếtCách dựng hình tam giác bằng thước và compa hay, chi tiếtCách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước hay, chi tiếtTìm hình có trục đối xứng – Tìm trục đối xứng của một hìnhChứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiếtChứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng hay, chi tiếtTìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhấtChứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hànhChứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hànhChứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hànhCách chứng minh tứ giác là hình bình hành hay, chi tiếtCách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước hay, chi tiếtTìm hình có tâm đối xứng – Tìm tâm đối xứng của một hìnhChứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâmChứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm hay, chi tiếtCách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật hay, chi tiếtTìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhậtChứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhậtChứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhậtChứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trướcCách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhauCách chứng minh tứ giác là hình thoi hay, chi tiếtTìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoiChứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoiChứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoiCách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiếtTìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuôngChứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuôngChứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Với Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Bạn đang xem: Chứng minh tâm đối xứng

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng tâm.

1. Định nghĩa

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Quy ước: Điểm đối xứng với O qua điểm O chính là điểm O.

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

2. Các tính chất thừa nhận

Tính chất 1: Nếu các điểm A và A’, B và B’, C và C’ đối xứng với nhau qua điểm O trong đó C nằm giữa A và B thì C’ nằm giữa A’ và B’.

Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.

Tính chất 2: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A và F là điểm đối xứng với D qua điểm C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.

Giải

*

Vẽ các điểm E và F sao cho: A là trung điểm của DE hay DA = AE (1); C là trung điểm của DF hay DC = CF (2) thì E đối xứng với D qua A và F đối xứng với D qua C.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC

⇒AE//BC (3) và DA = BC (4)

Từ (1), (4) suy ra AE = BC. (5)

Từ (3) và (5) ta có tứ giác ACBE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ACBE, ta được:

AC//BE và AC = BE. (6)


Chứng minh tương tự, ta được tứ giác ACFB là hình bình hành nên

AC//BF và AC = BF. (7)

Từ (6), (7) suy ra E, B, F thẳng hàng và BE = BF do đó B là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua B.

Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

Giải

*

Vẽ

*
, vẽ hai điểm B, C sao cho H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC thì B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua Oy. Vì
*
đối xứng với O qua Ox, Oy.

Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta có:

*

Từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của đoạn BC nên B đối xứng với C qua O.

Ví dụ 3. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi H là điểm đối xứng với C qua E, K là điểm đối xứng với B qua D. Chứng minh rằng điểm H đối xứng với điểm K qua điểm A.

Giải

*

Từ giả thiết BD, CE là các đường trung tuyến ta có D, E là trung điểm của AC, AB và giả thiết H đối xứng với C qua E, K đối xứng với B qua D ta lại có D, E lần lượt là trung điểm của BK, CH.

Do đó các tứ giác ACBH, ABCK là các hình bình hành (do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Áp dụng định nghĩa, tính chất và cạnh vào hai hình bình hành trên, ta được:


*

Điều này chứng tỏ A là trung điểm của HK. Vậy H đối xứng với K qua A.

Ví dụ 4. Cho ΔABC , trung tuyến BD. Gọi E đối xứng với B qua A, I đối xứng với B qua D, F đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng E đối xứng với F qua I.

Giải

*

Từ giả thiết ta có A, D, C lần lượt là trung điểm của BE, BI, BF nên AD, DC thứ tự là đường trung bình của hai tam giác BEI và BIF.

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên và giả thiết BD là trung tuyến vào tam giác ABC, ta được:

*

⇒E, I, F thẳng hàng và EI = IF.

Điều này chứng tỏ I là trung điểm của EF hay E đối xứng với F qua I.

Ví dụ 5.

Xem thêm: Đề Thi Toán Lên Lớp 10 Môn Toán, Đề Và Đáp Án Toán Thi Vào Lớp 10 Ở Hà Nội

Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với B qua A, E là điểm đối xứng với C qua A. Lấy các điểm I, K theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng DE, BC sao cho DI = BK. Chứng minh rằng K đối xứng với I qua A.