(THPTQG – 2017 – 104) Cho \( F(x)=\frac{1}{2{{x}^{2}}} \) là một nguyên hàm của hàm số \( \frac{f(x)}{x} \). Tìm nguyên hàm của hàm số \( {f}"(x)\ln x \).

A. \(\int{{f}"(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+C\)

B. \(\int{{f}"(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+C\)

C. \(\int{{f}"(x)\ln xdx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C\)

D. \(\int{{f}"(x)\ln xdx}=\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\)




Bạn đang xem:

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\int{\frac{f(x)}{x}dx}=F(x)\Rightarrow {F}"(x)=\frac{f(x)}{x}=-\frac{1}{{{x}^{3}}}\)\(\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}"(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)

Suy ra: \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\int{\frac{2}{{{x}^{3}}}\ln xdx} \).

Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\ & dv=\frac{2}{{{x}^{3}}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=\frac{dx}{x} \\ & v=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)


Khi đó: \( \int{{f}"(x)\ln xdx}=\int{\frac{\ln x}{{{x}^{3}}}dx}=-\frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\int{\frac{1}{{{x}^{3}}}dx}=-\left( \frac{\ln x}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)+C \)


Gọi g(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=ln(x−1). Cho biết g(2)=1 và g(3)=alnb trong đó a, b là các số nguyên dương phân biệt. Hãy tính giá trị của T=3a^2−b^2
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)=ln(x+3)/x^2 sao cho F(−2)+F(1)=0. Giá trị của F(−1)+F(2) bằng
Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}"(x)dx} \) bằng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}"(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng
Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}"(\sin x)dx} \)
Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left< 1;2 \right> \) thỏa mãn \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \), \( f(2)=0 \) và \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left< {f}"(x) \right>}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \)
Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}"(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}"(x)dx} \)
Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left< \frac{2}{5};1 \right> \) và thỏa mãn \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left< \frac{2}{5};1 \right> \). Khi đó \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}"(3x)dx} \) bằng
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left< 0;2 \right> \) và thỏa \( f(1)=0 \), \( {{\left( {f}"(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28 \) với \( \forall x\in \left< 0;2 \right> \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng


Xem thêm: Giải Thích Các Câu Tục Ngữ Về Thiên Nhiên Và Ý Nghĩa, Giải Thích Các Câu Tục Ngữ Về Thiên Nhiên

*