Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a ) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Bạn đang xem: Cách tìm nghiệm của phương trình bậc 2
Giá trị x = a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0
Ngược lại nếu P(a) = 0 thì x=a là nghiệm của đa thức P(x)
Chú ý :
+ Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có 1 nghiệm, 2 nghiệm, … hoặc không có nghiệm.
+ Số nghiệm của đa thức không vượt quá bậc của nó
Đa thức bậc nhất chỉ có 1 nghiệm;
Đa thức bậc hai có không quá 2 nghiệm;
Đa thức bậc ba có không quá 3 nghiệm….
b. Ví dụ :
* Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0
Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)
2. Phương trình bậc 2 là gì?
Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) (1).
Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.
3. Giải phương trình bậc 2
Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (1)
Nếu b2 - 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết.
Nếu b2 - 4ac không là bình phương của số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa.
Phân tích thành nhân tử
Nếu phương trình (1) nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.
Cách tìm nghiệm:
Bước 1: Tính Δ=b2-4ac
Bước 2: So sánh Δ với 0
Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh:
+ Nếu a+b+c=0 thì x1 = 1, x2 = c/a
+ Nếu a-b+c=0 thì x1 = -1, x2 = -c/a
4. Ví dụ bài tập
Bài 1: Giải phương trình
(4x + 3)2 - 25 = 0
Lời giải: áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng.
8(2x - 1)(x +2) = 0 x = hoặc x = -2
Bài 2: Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là một nghiệm của đa thức f(x) = x2 - 3x + 2 hay không?
Lời giải:
Ta có đa thức: f(x) + x2 - 3x +2
+ Với x = 1 ta có:
f(1) = 12 -3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
+ Với x = 2 ta có
f(2) = 22 -3.2 + 2 = 4 - 6 +2 = 0
Nên x = 2 là một nghiệm của đa thức f(x)
+ Với x = -1 ta có:
f(-1) = (-1)2 - 3.(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
Nên x = -1 không là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 3: Tìm nghiệm của đa thức
a) x2 - 2003x - 2004 = 0
b) 2005x2 - 2004x - 1 = 0
Lời giải:
a) Đa thức x2 - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004
Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0
Nên đa thức x2 - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1
b) Đa thức 2005x2 - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1
Khi đó ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0
Nên đa thức 2005x2 - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.
Bài 4 : Giải phương trình 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)
Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.
Xem thêm: Mô Tả Hiện Tượng Cao Tác Dụng Với Nước, Cao + H2O → Ca(Oh)2
Bài 5: Giải phương trình 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)
Tính Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:
Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0.