Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là một dạng hệ phương trình thường chạm mặt trong lịch trình Toán 9 cùng Toán 10. Vậy hệ phương trình sang trọng là gì? định nghĩa về hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc 2? biện pháp giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Vào nội dung bài viết dưới đây, romanhords.com sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng và kiến thức về chủ thể này nhé!
Bạn đang xem: Cách giải phương trình đẳng cấp
Hệ phương trình sang trọng là gì?
Hệ phương trình phong cách là hệ bao gồm ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn nhưng mà ở mỗi phương trình thì bậc của từng ẩn là bẳng nhau :
(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) cùng với ( f,g ) là các hàm số có bậc của hai biến chuyển ( x;y ) bởi nhau
Ví dụ:
(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)
Ở ví dụ trên thì đó là hệ phương trình sang trọng bậc ( 2 )
Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
Bài toán: Giải phương trình
(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là các hàm số bao gồm bậc của hai biến đổi ( x;y ) bởi nhau
Nhìn bình thường để giải phương trình đẳng cấp và sang trọng thì chúng ta tiến hành công việc sau đây:
Bước 1: Nhân phương trình trên với ( a_2 ) cùng phương trình bên dưới với ( a_1 ) rồi trừ hai phương trình để làm mất hệ số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Vắt vào phương trình ở bước 1 ta được phương trình gồm dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia nhị trường phù hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Cùng với trường đúng theo ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: thay ( x=ky ) vào một trong những trong hai phương trình, giải ra ( y ) rồi từ kia giải ra ( x )Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)
Cách giải:
Phương trình đã cho tương đương với :
(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)
Trừ nhị vế hai phương trình ta được :
( 2x^2+4y^2-6xy =0 )
Đặt ( x=ky ). Vậy vào phương trình bên trên ta được :
( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )
(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )
Trường hòa hợp ( y=0 )Thay vào hệ ta được:
(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )
Trường hòa hợp ( y eq 0 )Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )
(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) nuốm vào hệ phương trình ta được :
(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( các loại )
Nếu ( k=2 ) ráng vào hệ phương trình ta được :
(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)
Vậy hệ phương trình vẫn cho có hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )
Giải hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc 2
Hệ phương trình sang trọng bậc ( 2 ) là hệ phương trình có dạng :
(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)
Đây là dạng toán thường gặp trong phần hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài xích này thì ngoài cách trên ta hoàn toàn có thể sử dụng một cách khác như sau :
Bước 1: Từ hai phương trình, nhân hệ số phù hợp để thông số của ( x^2 ) ở nhì phương trình là bằng nhau:Bước 2: Trừ hai vế của nhị phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào trong 1 trong hai phương trình rồi giải tìm thấy ( x;y )Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)
Cách giải:
Hệ phương trình sẽ cho tương tự với :
(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)
Trừ nhì vế nhị phương trình ta được :
( 5y^2-3xy =2 )
Nếu ( y=0 ) cầm cố vào hệ phương trình đã đến ta được:(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( loại )
Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:(x= frac5y^2-23y)
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)
(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)
(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)
(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)
Thay vào ta được : hệ phương trình vẫn cho gồm ( 4 ) cặp nghiệm :
((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))
Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 10
Trong lịch trình toán 10 thì bài toán hệ phương trình sẽ nâng cấp hơn, đòi hỏi học sinh cần có thêm một vài ba kĩ năng biến hóa để xử lý.
Dạng bài chuyển đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp
Trong những vấn đề này, hệ phương trình thuở đầu bài toán chỉ dẫn sẽ không hẳn là hầu như phương trình đẳng cấp. Nhưng bọn họ sẽ biến hóa đổi, đặt ẩn phụ để đưa hệ đang cho trở thành hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)
Cách giải:
Ta sẽ đổi khác để gửi phương trình bên trên về dạng phương trình đẳng cấp
Phương trình vẫn cho tương đương với :
(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)
(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)
Đặt ( z=y+1 ), phương trình sẽ cho phát triển thành :
(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )
Đây là phương trình sang trọng bậc ( 2 ) với nhì ẩn ( x;z )
Hệ phương trình trên tương tự với :
(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)
Trừ hai vế của nhị phương trình ta được :
(5x^2-8xz-21z^2=0)
Đặt ( x=tz ). Cố vào ta được :
( z^2(5t^2-8t-21) =0 )
Nếu ( z=0 ) thế vào hệ ( (1) ) ta được :
(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )
Nếu ( z eq 0 ) thì ta gồm :
( 5t^2-8t-21 =0 )
(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)
(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)
Nếu ( t=3 ) , cố vào ta được :
(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)
(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)
Nếu ( t=-frac57 ) cầm vào ta được :
(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( loại )
Vậy hệ phương trình đã cho bao gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )
Dạng bài bác hệ phương trình gồm một phương trình đẳng cấp
Đây là đa số hệ phương trình mà trong số đó có một phươn trình có dạng ( f(x;y) =0 ) với ( f ) là phương trình hai ẩn ( x;y ) bao gồm bậc bằng nhau
Để giải bài toán này thì từ phương trình quý phái đó, họ đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi nuốm vào phương trình sản phẩm hai, đưa ra ( x;y )
Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)
Cách giải:
ĐKXĐ: ( y leq 5x )
Dễ thấy trường hợp ( y=0 ) thì hệ phương trình đã mang lại vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )
Đặt ( x=ky ). Cầm vào phương trình trước tiên ta được :
( y^2(k^2-3k+2) =0 )
Do ( y eq 0 ) bắt buộc (Rightarrow k^2-3k+2=0)
(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) thế vào phương trình bên dưới ta được :
(2y-y=1Leftrightarrow y=1) với ( x=1 )
Nếu ( k=2 ) cố kỉnh vào phương trình dưới ta được :
(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) với ( x=2 )
Vậy phương trình sẽ cho tất cả hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )
Dạng bài hệ phương trình tất cả tích nhị vế đẳng cấp
Đây là những hệ phương trình bao gồm dạng:
(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) cùng với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là những hàm số phong cách thỏa mãn:
Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )
Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ để được một phương trình đẳng cấp:
( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )
Đến đây ta để ( x=ky ), nắm vào giải ra ( k ). Kế tiếp thay ( k ) vào hệ phương trình ban đầu giải ra ( x;y )
Ví dụ:
Giải hệ phương trình :
(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)
Cách giải:
Hệ phương trình vẫn cho tương tự với :
(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)
Nhân chéo hai vế của hệ phương trình ta được :
( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )
(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)
Dễ thấy giả dụ ( y=0 ) thì hệ đã cho vô nghiệm. Vậy cần ( y eq 0 )
Đặt ( x=ky ) . Cố gắng vào phương trình trên ta được :
( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )
Do ( y eq 0 ) buộc phải ( k^3-3k^2-3k+5=0 )
(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)
Nếu ( k=1 ) vậy vào ta được:(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )
Nếu ( k=1-sqrt6 ) chũm vào ta được:(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)
Vậy ta bao gồm hai cặp nghiệm :
((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))
Nếu ( k=1+sqrt6 ) vậy vào ta được:(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)
Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm:
((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))
Vậy phương trình vẫn cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn:
( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )
Bài viết trên phía trên của romanhords.com đã giúp cho bạn tổng hợp định hướng và các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp.
Xem thêm: Google Classroom Là Gì - Giải Pháp Dạy Học Online Năm 2022
Hy vọng những kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.
Tu khoa lien quan:
giải phương trình sang trọng lớp 9phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc 2 lớp 10dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp