Các dạng bài tập về so sánh vectơ và bí quyết giải

Với những dạng bài bác tập về đối chiếu vectơ và giải pháp giải Toán lớp 10 bao gồm đầy đủ phương pháp giải, lấy một ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài bác tập phân tích vectơ từ kia đạt điểm trên cao trong bài bác thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Cách giải bài toán vectơ lớp 10

*

A. Lí thuyết.

- so sánh một vectơ theo nhì vectơ không cùng phương: đến hai vectơ

*
cùng
*
không cùng phương. Khi ấy mọi vectơ
*
gần như phân tích được một phương pháp duy độc nhất theo hai vectơ
*
cùng
*
, nghĩa là gồm duy độc nhất cặp số h, k làm thế nào cho
*
.

Ôn lại các quy tắc: Quy tắc ba điểm, luật lệ trừ, phép tắc hình bình hành.

Ôn lại các tính chất: tính chất phép cùng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

B. Các dạng bài.

Dạng 1: chứng tỏ đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: so với và đổi khác các vectơ để chuyển đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc đổi khác cả nhị vế sẽ được hai vế cân nhau hoặc ta cũng có thể đổi khác đẳng thức véctơ cần minh chứng đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: đến tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Minh chứng rằng :

*
và
*
( O tùy ý )

*

Giải:

+) Ta bao gồm M là trung điểm của BC ⇒

*
.

⇒

*

⇔

*

⇒

*
( điều cần được chứng minh)

+) Ta tất cả M là trung điểm của BC ⇒

*

⇒

*

Mà D là trung điểm của AM ⇒

*

⇒

*

⇒

*
(điều rất cần được chứng minh)

Bài 2: cho tứ giác ABCD . Hotline M, N theo thứ tự là trung điểm nhị đường chéo AC, BD. Chứng tỏ rằng:

*

*

Giải:

Ta có:

*

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*
(điều rất cần được chứng minh)

Dạng 2: phân tích một vectơ theo hai vectơ không thuộc phương.

Phương pháp giải:

Áp dung quan niệm về so với một vectơ theo nhị vectơ không thuộc phương, quy tắc tía điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: đến tam giác ABC có trung tâm G. Cho các điểm D, E, F thứu tự là trung điểm những cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm của AD cùng EF. Phân tích

*
theo nhì vectơ
*
và
*
.

*

Giải:

+) bao gồm FE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ sắt // BC.

⇒ Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

Mà AD là trung con đường của tam giác ABC ⇒ AI là trung tuyến của tam giác AFE.

⇒ I là trung điểm của FE.

⇔

*

⇔

*

Bài 2: mang đến tam giác ABC. Điểm M vị trí cạnh BC sao để cho

*
. So sánh vectơ
*
theo nhị vectơ
*
.

*

Giải:

Ta có:

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

Ta có:

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

Dạng 3: minh chứng ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng mặt hàng ⇔

*
. Để chứng tỏ điều này ta áp dụng các quy tắc biến hóa vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, phép tắc trung điểm, phép tắc trọng tâm) hoặc xác minh hai vectơ trên trải qua tổ phù hợp trung gian.

*

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến 4 điểm A, B, C, D làm thế nào cho

*
. Minh chứng ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Giải:

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

Vậy B, C, D thẳng hàng.

Bài 2: mang lại 4 điểm A, B, I, J. Biết

*
và
*
. Minh chứng B, I, J trực tiếp hàng.

Giải:

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Dạng 4: minh chứng hai điểm trùng nhau.

Phương pháp giải:

Để minh chứng M và M’ trùng nhau, ta chứng tỏ

*
hoặc minh chứng
*
với O tùy ý.

*

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến tứ giác lồi ABCD. Hotline M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ANP trùng với giữa trung tâm của tam giác CMQ.

*

Giải:

Gọi giữa trung tâm của tam giác ANP là G. Ta có:

*

⇔

*
(do N, p. Là trung điểm của BC, CD)

⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*
(do Q, M là trung điểm của AD, AB)

Vậy G vừa là trung tâm của tam giác ANP vừa là trung tâm của tam giác CMQ.

Bài 2: Biết

*
. Chứng tỏ rằng trung điểm của đoạn trực tiếp AC trùng cùng với trung điểm của đoạn trực tiếp BD.

Giải:

*

Khi

*
thì ABCD là hình bình hành.

hai đường chéo cánh AC và BD cắt nhau tại I là trung ương hình bình hành ABCD.

Trung điểm của AC cùng BD trùng nhau ( thuộc là I).

Dạng 5: Quỹ tích điểm.

Phương pháp giải:

Đối với câu hỏi quỹ tích, học viên cần nhớ một trong những quỹ tích cơ phiên bản sau:

Nếu

*
cùng với A, B mang đến trước thì M thuộc mặt đường trung trực của đoạn AB.

Nếu

*
với A, B, C cho trước thì M thuộc mặt đường tròn trọng điểm C, bán kính bằng k.
*
.

Nếu

*
thì M thuộc đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC nếu như ; M trực thuộc nửa con đường thẳng qua A tuy nhiên song cùng với BC và thuộc hướng với
*
nếu k > 0; M ở trong nửa đường thẳng qua A song song cùng với BC với ngược phía với
*
ví như k

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến tam giác ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tra cứu tập hợp phần đa điểm M thỏa mãn:

*
.

Giải:

Ta có:

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*
(1)

Chọn điểm I làm sao cho

*

⇒

*

⇒

*

(1) ⇔

*
⇔
*

Vậy tập hợp những điểm M là con đường tròn tâm I nửa đường kính R =

*
BC. .

*

Bài 2: mang đến tam giác ABC. Biết

*
. Tra cứu tập thích hợp điểm M thỏa mãn nhu cầu điều kiện trên.

Giải:

Gọi G là giữa trung tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.

Ta có:

*

⇔

*

⇔

*

Vậy tập vừa lòng điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GD.

*

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J theo lần lượt là trung điểm AB với CD. Chứng minh rằng:

*

Đáp án:

*

Bài 2: mang đến tam giác ABC. Hotline điểm M vị trí BC sao cho MB = 2MC. Triệu chứng minh:

*

*

Đáp án:

*
⇔
*
⇔
*
⇔
*

Bài 3: mang lại hình thang OABC, M, N theo thứ tự là trung điểm của OB cùng OC. Chứng minh rằng

*
.

*

Đáp án:

*
(luôn đúng)

Bài 4: cho AK với BM là trung đường của tam giác ABC. So với vectơ

*
theo hai vectơ
*
và
*
.

*

Đáp án:

*

Bài 5: đến tam giác ABC có trọng tâm G. Call I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ

*
theo
*
cùng
*
.

*

Đáp án:

*

Bài 6: mang lại tam giác ABC có AM là trung tuyến. Call I là trung điểm của AM và K là một trong điểm bên trên cạnh AC làm thế nào cho AK =

*
AC . Chứng minh ba điểm B, I, K trực tiếp hàng.

*

Đáp án:

*
;
*

⇒

*
⇒ B, K, I thẳng hàng.

Bài 7: mang đến tam giác ABC. đem điểm J làm thế nào cho

*
. Biết M, N là trung điểm của AB, BC. Minh chứng M, N, J trực tiếp hàng.

*

Đáp án:

*
⇒
*
⇒
*
⇒ M, N, J thẳng hàng.

Xem thêm: Bảng Đầy Đủ Các Công Thức Đạo Hàm Lớp 12, Bảng Công Thức Đạo Hàm Và Đạo Hàm Lượng Giác

Bài 8: mang lại lục giác ABCDEF. Call M, N, P, Q, R, S thứu tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng tỏ trọng chổ chính giữa tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.

*

Đáp án:

*
⇒ G vừa là giữa trung tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9: mang lại tam giác ABC, A’ là vấn đề đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng tỏ các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.

*

Đáp án:

Gọi G, G’ lần lượt là trung tâm của tam giác ABC cùng tam giác A’B’C’.

*
⇒
*
⇒
*

Vậy điểm G cùng G’ trùng nhau.

Bài 10: mang đến tam giác ABC. Biết

*
. Kiếm tìm tập hợp các điểm M vừa lòng điều khiếu nại trên.

Đáp án: Tập phù hợp điểm M là mặt đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

*

Bài 11: mang lại tứ giác ABCD cùng với k là số tùy ý ở trong đoạn <0;1>, lấy những điểm M, N thế nào cho

*
và
*
. Search tập đúng theo trung điểm I của MN khi k nắm đổi.