Hình chữ nhật là gì ? Hình chữ nhật gồm những tính chất gì? vết hiệu phân biệt hình chữ nhật như thế nào hay cách chứng tỏ tứ giác là hình chữ nhật gắng nào cho hay lại nhanh gọn lẹ ... Tất cả những mắc mắc này sẽ được romanhords.com chia sẻ qua nội dung bài viết sau đây. Bạn khám phá nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Hình chữ nhật cũng là 1 hình bình hành.

Bạn đang xem: Cách chứng minh hcn

ABCD">ABCDlà hình chữ nhật⇔A^=B^=C^=D^=90∘">⇔ˆA=ˆB=ˆC=ˆD=90∘

Nhận xét:Hình chữ nhật cũng là một trong những hình bình hành cũng là 1 trong hình thang cân.

2. Tính chất

Hình chữ nhật là có toàn bộ các đặc điểm của hình bình hành và hình thang cân.

- nhì cạnh đối tuy vậy song, nhị cạnh đối bởi nhau, hai góc đối bằng nhau

- hai đường chéo cánh bằng nhau và cắt nhau trên trung điểm của mỗi đường.

3. Tín hiệu nhận biết

a) Tứ giác có tía góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành gồm một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Hình bình hành bao gồm hai đường chéo cánh bằng nhau là hình chữ nhật.

4. Định lí

a. Định lí 1:Trong Hình chữ nhật, nhì đường chéo bằng nhau và giảm nhau tại trung điểm từng đường. Ngược lại, ví như tứ giác có 2 đường chéo cánh bằng nhau và giảm nhau trên trung điểm của mỗi con đường là hình chữ nhật.

Ví dụ:Cho tứ giác ABCD tất cả AC = BD và giảm nhau trên O, trong đó OA = OB = OC = OD, chứng tỏ Tứ giác ABCD là Hình chữ nhật.

*

Xét tam giác ABD có:

OA = OB = OD (gt) => ∆ABD vuông tại A

( Tính chấtđường trung đường ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền trong tam giác vuông )

Chứng minh tương tự, ta có:

∆ABC vuông tại B, ∆BCD vuông tại C, ∆CDA vuông trên D

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do gồm 4 góc vuông.

b. Định lí 2:Áp dụng vào Tam giác

+ trong tam giác vuông con đường trung con đường ứng cùng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+ nếu một tam giác gồm đường trung tuyến đường ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác sẽ là tam giác vuông.

Ví dụ:Cho tam giác ABC, đường cao AH. điện thoại tư vấn I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng cùng với H qua I. Minh chứng tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

*

⇒ HE là con đường trung tuyến đường của Δ AHC.

⇒ HI = ½AC = AI = IC.

Mà E đối xứng cùng với H qua I ⇒ HI = IE.

Khi đó ta có HI = IE = AI = IC.

+ Xét Δ HCE gồm CI là mặt đường trung con đường ứng cùng với cạnh HE

mà CI = ½ HE ⇒ Δ HCE vuông tại C.

Chứng minh tương tự ta có: Δ AHE, Δ AEC đa số là các tam giác vuông trên A, E.

Xét tứ giác AHCE có Góc EAH = AHC = HCE = CEA = 90°

⇒ Tứ giác AHCE là hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

II. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT CỰC HAY

Cách 1: minh chứng hình thang cân tất cả một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ:Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, trả sử góc D = 90°. Minh chứng ABCD là hình chữ nhật

*

Theo trả thiết:Góc D= 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

⇒Góc A+D = 180° (hai góc trong thuộc phía)⇒ Góc A = 90°

Lại tất cả Góc A + Góc C = 180° ⇒Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD bao gồm 3 gócA = B = C= 90°

⇒ ABCD là Hình chữ nhật.( đ.p.c.m )

Cách 2: minh chứng tứ giác có bố góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ:Cho tứ giác ABCD bao gồm ∆ABC vuông trên A, ∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông trên C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì chưng sao?

Theo bài xích ra, ta có:

∆ABC vuông tại A ⇒ Góc BAC = 90°

∆BCD vuông trên B ⇒ Góc CBD = 90°

∆CDA vuông tại C ⇒ Góc DCA = 90°

⇒ Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhậtdo tất cả bốn góc vuông.( đ.p.c.m )

Cách 3: chứng minh hình bình hành bao gồm hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, những đường trung tuyến đường BM, CN cắt nhau trên G. Hotline D là vấn đề đối xứng cùng với B qua M, hotline E là điểm đối xứng cùng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? vày sao?

*

Theo bài bác ra, ta có: G là trung tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM với GC = 2GN

Điểm D đối xứng cùng với điểm G qua điểm M⇒ MG = MD tuyệt GD = 2GMSuy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng cùng với điểm G qua điểm N⇒ NG = NE tốt GE = 2GNSuy ra: GC = GE (4)

Từ (3) cùng (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hànhdo hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM cùng ΔCNB, có:

BC cạnh chungGóc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B1=C1⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) cùng (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhậtdo là hìnhbình hành tất cả hai đường chéo bằng nhau.( đ.p.c.m )

Cách 4: minh chứng hình bình hành bao gồm một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ:Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Bên trên cạnh AC, BC mang lần lượt những điểm P, Q thế nào cho AP = CQ. Trường đoản cú điểm p vẽ PM // BC (M ở trong AB). Minh chứng tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

*

Theo bài bác ra, ta có:

∆ABC vuông trên C ⇒ AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM

⇒ ∆APM vuông cân tại P

⇒ AP = PM

Lại có: AP = CQ

Mà PM // CQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác:Góc C= 90° (2)

Từ(1) và(2)⇒ Tứ giácMNPQ là hình chữ nhật( đ.p.c.m )

III. BÀI TẬP CHỨNG MINH TỨ GIÁC LÀ HÌNH CHỮ NHẬT

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Những tia phân giác của những góc A, B, C, D giảm nhau như bên trên hình vẽ. Minh chứng rằng EFGH là hình chữ nhật.

Giải

*

Đặt

*

Áp dụng đặc điểm góc trong thuộc phía vào AB//CD, ta được:

*

Áp dụng tính chất về góc vào ΔADE , ta được:

*
, hay

*
(đối đỉnh)

Chứng minh giống như ta được

*
.

Tứ giác EFGH tất cả bốn góc vuông vì thế nó là hình chữ nhật.

Bài 2:Tứ giác ABCD bao gồm hai đường chéo cánh vuông góc cùng với nhau. điện thoại tư vấn E, F, G, H theo lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? vì sao?

Giải

*

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Từ giả thiết ta gồm EF, GH trang bị tự là đường trung bình của những tam giác ABC với ADC.

Áp dụng định lí con đường trung bình vào hai tam giác này ta được:

*

Chứng minh tương tự, ta cũng rất được EH//FG//BD. (2)

Từ (1) với (2) suy ra tứ giác EFGH có những cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC cùng với BD và I là giao điểm của EF với BD

Áp dụng tính chất góc đồng vị vào những đường thẳng tuy nhiên song ngơi nghỉ trên với giả thiết ta có:

*

Như vậy hình bình hành EFGH gồm một góc vuông cho nên nó là hình chữ nhật.

Xem thêm: LỮ ĐOÀN ĐỎ NƯỚC ANH ĐỤNG ĐỘ ĐẠI BÀNG ĐEN BỒ ĐÀO NHA TẠI TỨ KẾT C1

Bài 3:Cho tứ giasc ABCD có AC⊥BD. Call E, F, G, H theo lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.