Giáo trình "Cơ học lý thuyết: Phần tĩnh học" do bộ môn Cơ kỹ thuật thuộc ĐH Bách khoa Đà Nẵng biên soạn cung cấp cho người đọc các kiến thức: Các khái niệm cơ bản - Hệ tiên đề tĩnh học, lý thuyết hệ lực, ma sát, trọng tâm của vật rắn. Mời các bạn cùng tham khảo.




Bạn đang xem: Các dạng bài tập cơ lý thuyết

*

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT ĐÀ NẴNG 2005GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌCTĩnh học vật rắn là phần cơ học chuyên nghiên cứu sự cân bằng của vật rắn dưới tácdụng của các lực. Trong phần tĩnh học sẽ giải quyết hai bài toán cơ bản : 1- Thu gọn hệ thực về dạng đơn giản. 2- Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực.Để giải quyết các bài toán trên, ta cần nắm vững các khái niệm sau đây : §1 . CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.1 Vật rắn tuyệt đối : Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của vật luôn luônkhông đổi (hay nói cách khác dạng hình học của vật được giữ nguyên) dưới tác dụngcủa các vật khác. Trong thực tế các vật rắn khi tương tác với các vật thể khác đều có biến dạng.Nhưng biến dạng đó rất bé, nên ta có thể bỏ qua được khi nghiên cứu điều kiện cânbằng của chúng. Ví dụ : Khi dưới tác dụng của trọng lực P dầm AB phải võng xuống, thanh CD phải giãn ra. (hình 1) C A B D G G P P a) b) Hình 1 Nhưng do độ võng của dầm và độ dãn của thanh rất bé, ta có thể bỏ qua. Khi giảibài toán tĩnh học ta coi như dầm không võng và thanh không dãn mà kết quả vẫn đảmbảo chính xác và bài toán đơn giản hơn. Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được,lúc đó ta cần phải kể đến biến dạng của vật. Bài toán này sẽ được nghiên cứu tronggiáo trình sức bền vật liệu.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 1GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Để đơn giản, từ nay về sau trong giáo trình này chúng ta coi vật rắn là vật rắn tuyệtđối. Đó là đối tượng để chúng ta nghiên cứu trong giáo trình này.1.2 Lực : Trong đời sống hằng ngày, ta có khái niệm về lực như khi ta xách một vật nặnghay một đầu máy kéo các toa tàu. Từ đó ta đi đến định nghĩa lực như sau : Lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ cơ học của vật này đối với vậtkhác mà kết quả làm thay đổi chuyển động hoặc biến dạng của các vật. Qua thực nghiệm, tác dụng lực lên vật được xác định bởi ba yếu tố : 1. Điểm đặt lực 2. Phương, chiều của lực 3. Cường độ hay trị số của lực. Đơn vị đo cường độ của lực trong hệ SI là Newton (kí hiệu N) Vì vậy, người ta biểu diễn lực bằng véctơ. GVí dụ: Lực F biểu diễn bằng véctơ AB (hình 2). Phương chiều của véctơ AB biểu diễn phương G G Bchiều của lực F , độ dài của véctơ AB theo tỉ lệ đã chọn Fbiểu diễn trị số của lực, gốc véctơ biểu diễn điểm đặt Acủa lực, giá của véctơ biểu diễn phương tác dụng củalực. Hình 21.3 Trạng thái cân bằng của vật : Một vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật đó nằm yên hay chuyển động đều đốivới vật khác “làm mốc”. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu người ta gắn lên vật chuẩn“làm mốc” một hệ trục toạ độ nào đó mà cùng với nó tạo thành hệ quy chiếu. Ví dụnhư hệ trục toạ độ Đề-cát Oxyz chẳng hạn. Trong tĩnh học, ta xem vật cân bằng là vậtnằm yên so với trái đất.1.4 Một số định nghĩa : 1. Hệ lực : Hệ lực là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên vật rắn. Một hệ lực G G G Gđược kí hiệu ( F1 , F2 , F3 ,...., Fn ). 2. Hệ lực tương đương : Hai hệ lực tương đương nhau, nếu như từng hệ lực mộtlần lượt tác dụng lên cùng một vật rắn có cùng trạng thái cơ học như nhau.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 2GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌCTa biểu diễn hai hệ lực tương đương như sau : G G G G G G G G ( F1 , F2 , F3 ,...., Fn ) ~ ( P1 , P2 , P3 ,...., Pm )trong đó: dấu ~ là dấu tương đương. Nếu hai hệ lực tương đương ta có thể hoàn toàn thay thế cho nhau được. 3. Hệ lực cân bằng : Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó, vật rắntự do có thể ở trạng thái cân bằng. 4. Hợp lực : Hợp lực là một lực tương đương với hệ lực. G G G G GVí dụ : Lực R là hợp lực của hệ lực ( F1 , F2 , F3 ,...., Fn ), ta kí hiệu G G G G G R ~ ( F1 , F2 , F3 ,...., Fn ) §2. HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌCTrên cơ sở thực nghiệm và nhận xét thực tế, người ta đã đi đến phát biểu thành mệnhđề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm cơ sở cho môn học gọi là tiên đềnày.2.1 Tiên đề 1: (Hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một G F1vật rắn cân bằng là chúng có cùng phương tác dụng, Gngược chiều nhau và cùng trị số. F2 B A Trên hình 3, vật rắn chịu tác dụng bởi hai lựcG GF1 và F2 cân bằng nhau. Hình 3 Ta kí hiệu : G G ( F1 , F2 ) ~ 0.Đó là điều kiện cân bằng đơn giản cho một hệ lực có 2 lực.2.2 Tiên đề 2 : (Thêm hoặc bớt một hệ lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào haybớt đi hai lực cân bằng nhau. Theo tiên đề này, hai hệ lực chỉ khác nhau một hệ lực cân bằng thì chúng hoàntoàn tương đương nhau.Từ hai tiên đề trên, ta có hệ quả :Hệ quả trượt lực : Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta dờiđiểm đặt của lực trên phương tác dụng của nó.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 3GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC GChứng minh : Giả sử ta có lực F tác dụng lên vật rắn đặt tại điểm A (hình 4). Trên G G Gphương tác dụng của lực F ta lấy một điểm B và đặt vào đó hai lực F1 và F2 cân bằngnhau, có véctơ như trên hình vẽ và trị số bằng F. G G G G Theo tiên đề 2 thì : F ~ ( F , F1 , F2 ) G G G Nhưng theo tiên đề 1 thì : ( F1 , F2 ) ~ 0, do đó ta F Gcó thể bỏ đi. Như vậy, ta có : F1 G G G G G G F ~ ( F , F1 , F2 ) ~ F1 F2 B A G Điều đó chứng tỏ lực F đã trượt từ A đến B màtác dụng của lực không đổi. Hệ quả đã được chứng Hình 4minhChú ý : Hai tiên đề trên và hệ quả chỉ đúng cho vật rắn tuyệt đối. Còn đối với vật rắnbiến dạng các tiên đề 1, 2 và hệ quả trượt lực không còn đúng nữa. GVí dụ : Trên hình 5, thanh mềm AB chịu hai lực F1 , G G F1 A B F2GF2 tác dụng sẽ không cân bằng vì do thanh biến dạng, G G F2 A B F1còn khi trượt lực thì thanh từ trạng thái bị kéo sang bị Hình 5nén.2.3 Tiên đề 3 : (Hợp hai lực) Hai lực tác dụng lên vật rắn đặt tại cùng một điểm có hợp lực đặt tại điểm đóxác định bằng đường chéo của hình bình hành mà các cạnh chính là các lực đó (hình6). Tiên đề 3 khẳng định hai lực có cùng điểm đặt thì có hợp Glực R . B GA G Về phương diện véctơ ta có : F1 F G G G G R = F1 + F2 O C F2 G G Gnghĩa là véctơ R bằng tổng hình học của các véctơ F1 , F2 . Hình 6Tứ giác OACB gọi là hình bình hành lực. Về trị số : R = F 21 + F 2 2 + 2 F1 F2 cos α G G (trong đó α là góc hợp bởi hai véctơ F1 , F2 ) Tiên đề trên, áp dụng cho hệ lực động quy tại O, ta có các định lý sau.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 4GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌCĐịnh lý I : Một hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn có hợp lực đặt tại điểm đồng quyvà véctơ hợp lực bằng tổng hình học véctơ các lực thành phần. G G G GChứng minh : Giả sử ta có một hệ lực ( F1 , F2 , F3 ,...., Fn ) Gtác dụng lên vật rắn đặt tại cùng điểm O (hình 7). F2 FG G G G G 3 FÁp dụng tiên đề 3, ta hợp F1 , F2 được lực : F1 G n R G G G R1 = F1 + F2 G Gbằng cách vẽ véctơ AB = F2 nối OB được lực R1 . Bây giờ Hình 7 G Gta hợp R1 và F3 ta được G G G G G G R2 = R1 + F3 = F1 + F2 + F3 G Gbằng cách vẽ véctơ BC = F3 , nối OC được R2 . Tiến hành tương tự như vậy đến lựcG GFn , ta được hợp lực R của hệ lực : G G G G G R2 = F1 + F2 + F3 +...+ Fn G n Ghay : R = ∑ Fk k =1Định lý II : Nếu ba lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng cùng nằm trong mặt phẳngvà không song song nhau thì ba lực phải đồng qui.Chứng minh : G Giả sử, một vật rắn chịu tác dụng của ba lực F1 ,G G G G G GF2 , F3 cân bằng. Theo giả thuyết hai lực F1 , F2 cùng nằm F1 R G F3 Gtrong mặt phẳng và không song song nên phương tác dụng F2của chúng giao nhau tại một điểm O chẳng hạn. Ta sẽ Gchứng minh F3 cũng qua O. Hình 8 G G G Thật vây, theo tiên đề 3 hai lực F1 , F2 có hợp lực R đặt tại O : G G G R = F1 + F2 G G G G Gvì ( F1 , F2 , F3 ) ~ 0 nên ( R , F3 ) ~ 0.Theo tiên đề 1, hai lực cân bằng nhau thì chúng có cùng phương tác dụng. Vậy đường Gtác dụng của lực F3 phải qua O (hình 8).Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 5GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC2.4 Tiên đề 4 : ( Tiên đề tác dụng và phản tác dụng) Ứng với mỗi lực tác dụng của vật này lên vật khác, Gbao giờ cũng có phản lực tác dụng cùng trị số, cùng F3 Aphương tác dụng, nhưng ngược chiều nhau. G G F1 Giả sử một vật B tác dụng lên vật A một lực F thì G G Bngược lại vật A tác dụng lên vật B lực F = - F . Hai lực Hình 9này có trị số bằng nhau, ngược chiều nhau, nhưng khôngcân bằng vì chúng đặt lên hai vật khác nhau ( hình 9 ).2.5 Tiên đề 5 : (Nguyên lý hoá rắn) Nếu dưới tác dụng của hệ lực nào đó một vật biến dạng. Nhờ tiên đề này khimột vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực đã cho, ta có thể xem vậtđó như vật rắn để khảo sát điều kiện cân bằng.2.6 Tiên đề 6 : (Tiên đề giải phóng liên kết) Một vật rắn từ vị trí này đến vị trí đang xét có thể thực hiện di chuyển về mọiphía gọi là vật tự do. Ví dụ một quả bóng đang bay. Nhưng thực tế, phần lớn các vậtkhảo sát đều ở trạng thái không tự do nghĩa là một số di chuyển của vật bị vật khác cảnlại. Những vật như vậy gọi là vật không tự do hay vật chịu liên kết. Tất cả những đốitượng ngăn cản di chuyển của vật khảo sát gọi là các liên Gkết. NVí dụ : Hộp phấn để trên mặt bàn, mặt bàn ngăn cản hộpphấn di chuyển xuống phía dưới. (Hình 10) G Hộp phấn là vật chịu liên kết còn mặt bàn là vật Pgây liên kết. Theo tiên đề 4 thì vật chịu liên kết tác dụng lên vậtgây liên kết một lực, ngược lại vật gây liên kết tác dụng Hình 10lên vật chịu liên kết một lực. Chính lực này ngăn cản chuyển động của vật, ta gọi phản Klực liên kết. Ví dụ trên hình 10, lực N là phản lực liên kết của mặt bàn tác dụng lênhộp phấn nhằm ngăn cản hộp phấn di chuyển xuống phía dưới. Ta nhận thấy, phản lực liên kết là lực thụ động, sẽ có chiều ngược với chiều màvật khảo sát muốn di chuyển bị liên kết ngăn cản lại. Theo một phương nào đó, khôngbị liên kết ngăn cản thì theo phương đó thành phần phản lực liên kết bằng không.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 6GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC2. Một số liên kết thường gặp : a) Liên kết tựa : G G N G N N a) b) c) Hình 11 Vật tựa trên mặt nhẵn (hình 11a) hay giá tựa con lăn (hình 11b) theo phương K pháp tuyến mặt trụ, vật khảo sát bị cản trở bởi phản lực N theo hướng đó. Còn G thanh tựa lên điểm nhọn C (hình 11c) thì phản lực N sẽ vuông góc với thanh. b) Liên kết bản lề : - Bản lề trụ : (Hình 12) G G R RA Hình 12 Hình 13 Vật di chuyển theo phương nào vuông góc với trục bản lề đều bị ngăn cản, nên G phản lực R A có phương vuông góc với trục bản lề. G - Bản lề cầu : (Hình 13)Phản lực R có phương bất kỳ và qua tâm O của bản lề vì chuyển động của vật theo hướng nào cũng bị ngăn cản. c) Liên kết dây mềm : Theo hướng dây kéo căng thì vật bị cản trở, nên G G G phản lực của dây là T1 , T2 hướng dọc dây ra phía T1 G ngoài vật. (Hình 14) T2 Hình 14Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 7GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC d) Liên kết thanh : Dầm AB chịu liên kết thanh CD với bản lề C và D. Trên thanh CD không có lực tác D dụng và bỏ qua trọng lượng thanh thì phản G G G lực R của thanh hướng dọc thanh (hình 15). RC P Để chứng minh điều này, ta tách thanh CD ra khảo sát và áp dụng tiên đề một thì A Hình 15 B G phản lực RC phải qua bản lề D. Đối với thanh cong ta cũng chứng minh như vậy. Trong tĩnh học, bài toán xác định phản lực là bài toán quan trọng. Phương chiều, trị số phản lực được xác định cụ thể tuỳ theo từng bài toán nhờ có tiên đề giải phóng liên kết sau. 3. Tiên đề 6 : Một vật chịu liên kết cân bằng có thể xem như một vật tự do cân bằng, nếu tưởng tượng bỏ các liên kết và thay vào đó các phản lực liên kết tương ứng của chúng. §3. LÝ THUYẾT VỀ MÔMEN LỰC3.1 Mômen của lực đối với một điểm : G Thực tế cho ta thấy có một điểm cố định O, chịu tác dụng lực F thì vật sẽ quay Gquanh điểm đó . Tác dụng của lực F sẽlàm vật quay được xác định bởi ba yếu tố : G - Phương mặt phẳng chứa lực F và điểm O - Chiều quay của vật quanh trục đi qua O và vuông góc với mặt phẳng này. G G - Tích số, trị số lực F và chiều dài cánh tay đòn d của lực F đối với điểm O (d Glà đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm O đến đường tác dụng của lực F ). Từ đó ta suy ra định nghĩa sau : G 1. Định nghĩa : Mômen lực F đối với điểm O là một véctơ đặt tại điểm O có G phương vuông góc với mặt phẳng chứa lực F và điểm O, có chiều sao ta nhìn từ G mút đến thấy lực F hướng quanh O ngược chiều kim đồng hồ, có độ dài bằng tích G G trị số lực F với cánh tay đòn của lực F đối với điểm O (hình 16).Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 8GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC 2. Biểu thức véctơ mômen của lực : Từ định nghĩa trên, ta có trị số z mômen của lực đối với điểm O là : G G M O (F ) G G B M O ( F ) = F .d = 2dt∆OAB G F (Trong đó F.d bằng hai lần A y diện tích tam giác OAB, chỉ O d tính trị số mà không kể đơn vị). G x Hình 16 Nếu ta gọi véctơ r = OA là G G G véc tơ bán kính điểm đặt A của lực F cà xác định véctơ r ∧ F rồi so sánh với G véctơ mômen lực F đói với điểm O là G G G G M O (F ) = r ∧ F (1.4) Véctơ mômen của lực đối với một điểm bằng tích véctơ giữa véctơ bán kính điểm đặt của lực với lực đó. G Chọn hệ trục Oxyz, ta gọi các hình chiếu lực F là X, Y, Z và hình chiếu của véctơ G r là x, y, z (x, y, z cũng là toạ độ điểm A). Do đó ta có : G G G i j k G G G G M O (F ) = r ∧ F = x y z X Y Z G G G Trong đó i , j , k là véctơ đơn vị trên các trục toạ độ x, y, z. G Từ đó, ta suy ra hình chiếu véctơ mômen của lực F là : G G M Ox ( F ) = yZ − Zy G G M Oy ( F ) = zX − xZ (1.5) G G M Oz ( F ) = xY − yX G G Nếu biết các hình chiếu này, véctơ mômen M O (F ) hoàn toàn xác định. Trong trường hợp các lực tác dụng lên vật cùng trong một mặt phẳng, ta coi mặt phẳng G G chứa lực F và điểm O đã được xác định. Vì vậy mômen lực F đối với điểm OChương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 9GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G trong mặt phẳng ấy là lượng đại số bằng cộng hoặc trừ tích số trị số lực F với G chiều dài cánh tay đòn lực F đối với điểm O. Ta kí hiệu : G G M O ( F ) = ± F .d (1.6) G Lấy dấu cộng khi lực F hướng quanh O ngược chiều kim đồng hồ và dấu trừ trong trường hợp ngược lại (Hình 17 a,b) G B A G F F A B a) d O O d b G G M O ( F ) = + F .d M O ( F ) = + F .d Hình 17 Đơn vị tính là : N/m - Mômen của lực đối với một điểm không thay đổi khi ta trượt lực trên phương tác dụng của nó. - Mômen của lực đối với điểm O bằng không khi phương tác dụng của lực qua G O. Lúc này, tác dụng của lực F không làm vật quay, chỉ gây ra phản lực tại điểm O.3.2 Mômen của lực đối với trục : Mômen của lựcđối với một trục đặt z Gtrưng tác dụng quay k khi F Glực tác dụng lên vật làm F1 G h F2 Gvật quay quanh trục đó. F O A(hình 18) π Thật vậy, giả sử Gcó lực F tác dụng lên vậtcó thể quay quanh trục z, Hình 18 Hình 19ta phân lực này ra hai G Gthành phần là F1 vuông góc với z, F1 song song với trục z theo quy tắc hìnhChương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 10GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Gbình hành. Ta nhận thấy chỉ có thành phần F1 gây ra tác dụng quay quanh trục z. Vìvậy, ta có định nghĩa sau : G G1. Định nghĩa : Mômen lực F đối với trục z là lượng đại số bằng mômen của F1 nằmtrong mặt phẳng vuông góc với trục z lấy đối với giao điểm của trục và mặt phẳng ấy.(hình 19) GTa kí hiệu mômen lực F đối với trục z là G G G G M z ( F ) = M O ( F ) = ± F1 .h GTa lấy dấu cộng, nếu nhìn từ chiều dương của trục z xuống mặt phẳng (π) thấy lực Fhướng quanh trục z ngược chiều kim đồng hồ, lấy dấu trừ với chiều ngược lại.2. Trường hợp đặc biệt : G BNếu lực F song song với trục z G z z F G Gthì F1 = 0 hay lực F cắt trục z thì G F Ah = 0 (hình 20) và lúc đó : G F1 G G O a M z (F ) = 0 O bTrong trường hợp này, ta thấy lực Hình 20GF và trục z ở trong cùng mặtphẳng. Như vậy, mômen của lực đối với trục bằng 0 khi lực và trục cùng trong mộtmặt phẳng.3.3 Định lý liên hệ mômen lực đối với một điểm và mômen lực đối với trục : G Giả sử cho một lực F , một trục z và điểm O nằm trên trục z (hình 21). Ta lấy Gmômen của lực F đối với trục z và điểm O giữa hai đại lượng đó có sự liên hệ nhaubởi định lý sau : Định lý : Mômen lực đối với một trục bằng hình chiếu lên trục đó của véctơmômen lực lấy đối với điểm bất kỳ nằm trên trục ấy, nghĩa là : G G G G < M z ( F ) = HCz M O ( F ) > (1.8) ( hình chiếu lên trục z viết tắt là HCz )Chứng minh : Trên hình 21 ta thấy : G G M z ( F ) = F1 h = 2dt∆OabChương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 11GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌCTa cần chứng minh hình chiếu véctơ G G z B Gmômen M O (F ) lên trục z cũng có G G F M O (F )giá trị đó. Thật vậy, ta gọi γ là góc d G G γ h bgiữa trục và véctơ M O (F ) , thì: G A F1 < G G HC z M O (F ) => π O OaM O . cos γ = F .d cos γ = 2dt∆OAB. cos γ Hình 21Nhưng góc γ cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng tam giác OAB và tam giác Oab (vì G Gtrục z và véctơ M O (F ) tương ứng vuông góc với các mặt phẳng đó). Vì vậy, theo địnhlý hình chiếu diện tích thì : dt∆OAB. cos γ = dt∆Oabcho nên : M G z G ( F ) = HC z Định lý đã được chứng minh.Từ định lý trên, ta có thể biểu diễn mômen lực đối với một trục bằng giải tích : G G < G G > M x ( F ) = HC x M O ( F ) = yZ − Zy G G < G G > M y ( F ) = HC y M O ( F ) = zX − xZ (1.9) G G M z ( F ) = HC z M O ( F ) = xY − yXNhờ định lý này ta có thể chuyển việc tìm mômen của lực đối với một điểm về tínhmômen của lực đối với một trục.Sau đây ta làm một ví dụ : G F1Ví dụ 1: Cho một thanh L chịu lực tác H G Gdụng bởi lực F1 và F2 như hình 22. h1 h2Biết OA= 4m, OC = 6m, α = 300, F1 = G F220 N, F2 = 16 N. Tìm mômen các lực α C Ođối với điểm O. Hình 22 BGiải :Ta tìm tay đòn của các lực là :h1 = OA = 4m.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 12GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌCh2 = Ocsinα = 6xl/2 = 3m.Ta tính : GmO ( F1 ) = − F1 h1 = −20.4 = 80 Nm GmO ( F2 ) = − F2 h2 = +16.3 = +48 Nm GVí dụ 2 : Tìm mômen lực F tác dụng lên tấm zchữ nhật ABCD có cạnh a, b, đối với trục toạđộ x, y, z (Hình 23)Giải : G A a BĐể tìm mômen lực F đối với trục x ta chiếu G G G F F1 y G F "1 blên mặt phẳng vuông góc với trục x. Vì lực F G D F2 α Cnằm trong mặt phẳng này, nên cũng bằng chính x Hình 23nó. Vậy : G G m x ( F ) = m D ( F ) = + F .h = + F .a. sin α GỞ đây ta lấy dấu cộng, vì nhìn từ chiều dương trục x đến thấy lực F hướng quanh trụcx ngược chiều kim đồng hồ, còn h = DH = DCsinα = a.sinα G G Tìm mômen lực F đối với trục y, ta chiếu lực F lên mặt phẳng A vuông góc G Gvới trục y là F1 " , cánh tay đòn lực F1 " đối với điểm A là b. Theo hình vẽ ta có : G G G m y ( F1 " ) = m A ( F1 " ) = m B ( F1 " ) = − F .b sin α ( Vì F1’ = F1.sinα ) G Ta lấy dấu trừ vì lực F1 " hướng quanh trục y thuận chiều kim đồng hồ khi tanhìn từ chiều dương của trục đến. Tương tự ta có : G G m z ( F ) = m A ( F2 ) = − F .b cos αChương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 13GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC §4. LÝ THUYẾT VỀ NGẪU LỰC 4.1. Khái niệm về ngẫu lực : 1. Định nghĩa : Ngẫu lực là hệ hai lực có phương tác dụng song song nhau, ngược chiều và có cùng trị số. G A F1 G G Ví dụ : Trên hình 24, F1 , F2 tạo thành một ngẫu lực. G m F2 G G G B Một ngẫu lực không có hợp lực vì : R = F1 + F2 = 0 nghĩa là ta không thể thay thế một ngẫu lực bằng một lực được. Tác dụng của ngẫu lực lên vật làm vật quay Hình 24 và được xác định bằng ba yếu tố: G G - Mặt phẳng tác dụng ngẫu lực, nghĩa là mặt phẳng chứa hai lực F1 , F2 của ngẫu. - Chiều quay của ngẫu lực, nghĩa là chiều đi vòng theo chiều các lực Ta quy ước, chiều quay là dương nếu nó quay ngược chiều kim đồng hồ, ngược lại chiều quay âm. - Trị số mômen ngẫu lực, kí hiệu m. m = F1.d d – Gọi là cánh tay đòn ngẫu lực, là khoảng cách giữa hai phương tác dụng các lực của ngẫu. Nếu lực tính bằng N, chiều dài cánh tay đòn d tính bằng m thì mômen tính bằng Nm. Để biểu diễn ngẫu lực với ba đặc trưng ở trên, người ta dùng khái niệm véctơ G mômen của ngẫu (kí hiệu : m ) Véctơ này được xác định như sau : - Phương vuông góc với mặt phẳng tác G m dụng của ngẫu. - Có chiều sao cho khi ta nhìn từ mút G F véctơ đến gốc thấy chiều quay của ngẫu A d B G lực ngược chiều kim đồng hồ. F" - Còn độ dài biểu diễn trị số mômen Hình 25 ngẫu lực (hình 25)Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 14GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Trường hợp mặt phẳng ngẫu lực được xác định thì ngẫu lực được biểu diễn bằng mômen đại số : m = ± F .d (1.10) G G F" F Ta lấy dấu cộng khi chiều quay của ngẫu lực là dương G F G và dấu trừ khi chiều quay của F" ngẫu là âm (hình 26) Hình 26 Chú ý : * Về mặt toán học ta có thể biểu diễn véctơ mômen của ngẫu là : G G m = BA ∧ F G G trong đó A, B là điểm đặt của lực F và F " của ngẫu. Thật vậy, nếu ta so sánh thì hai véctơ đó có cùng phương, cùng chiều và trị số bằng nhau. * Trị số mômen của ngẫu là : m = F .d = 2dt∆ABC (Ở đây chỉ tính về trị số, mà không kể đơn vị) 2. Các tính chất tương đương của ngẫu lực : Qua thực nghiệm và ta có thể chứng minh được là tác dụng một ngẫu lên một vật rắn không thay đổi nếu : - Ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu hoặc dời trong những mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng ngẫu lực. - Ta có thể thay đổi chiều dài cánh tay đòn và trị số của lực. Từ đó, ta đi đến một kết luận tổng quát là : Hai ngẫu lực có véctơ mômen bằng nhau thì tương đương nhau. Vì vậy người ta gọi véctơ mômen của ngẫu là véctơ tự do. Đối với vật rắn có những ngẫu lực tác dụng, ta sẽ áp dụng định lý hợp hệ ngẫu lực sau đây : 4.2 Định lý : Hợp hệ ngẫu lực tác dụng lên một vật rắn, ta được một ngẫu lực tổng cộng, có véctơ mômen bằng tổng hình học véctơ mômen các ngẫu lực thành phần.Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 15GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC Chứng minh : Để chứng minh định lý này, G m1 trước tiên ta xét trường hợp hệ G G G m1 hai ngẫu lực tác dụng lên vật rắn R F1 G G G G G là ( F1 , F "1 ) và ( F2 , F " 2 ) có mặt m1 G F2 phẳng tác dụng là (π1) và (π2) G F " 21 giao nhau theo đường AB (hình G 26b). F "1 G R" Ta dời các ngẫu lực đó về Hình 26b cùng cánh tay đòn AB rồi lần G G G G G G lượt hợp các lực F1 và F2 được lực R , hợp lực F "1 và F " 2 được lực R " . Nhìn hình vẽ ta có : G G G G G ⎧ R = F1 + F2 F " = − F1 G G ⎨ G" G " vì G G nên R " = − R ⎩R" = F 1 + F 2 F " 2 = − F2 G G G Như vậy, lực R và R " tạo nên một ngẫu lực với véctơ mômen là M Ta tìm véctơmômen ngẫu lực này. Theo công thức (1.11) ta có : G G G G G G M = BA ∧ R = BA ∧ ( F1 + F2 ) = BA ∧ F1 + BA ∧ F2 G G G GNhưng : BA ∧ F1 = m1 , còn BA ∧ F2 = m2 G G GDo đó : M = m1 + m 2 GNghĩa là véctơ M biểu diễn bằng đường chéo hình bình hành mà các cạnh là các véctơmômen các ngẫu lực thành phần. Đối với 2 ngẫu lực ta chứng minh xong. Nếu một hệ ngẫu lực tác dụng lên vật rắn với các véctơ mômen làG G G Gm1 , m2 , m3 ,....mn thì ta cũng tiến hành tương tự như trên, lần lượt hợp hai ngẫu lực mộtvới nhau. Cuối cùng ta được ngẫu lực tổng cộng với véctơ mômen là : G G G G G G M = m1 + m2 + m3 + ... + mn = ∑ mk (1.13) Nếu các ngẫu lực cùng nằm trong mặt phẳng thì mômen ngẫu lực tổng cộngbằng tổng đại số mômen ngẫu lực thành phần : G G M = ∑ mk (1.13’)Chương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 16GIÁO TRÌNH CƠ LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G Để thuận tiện cho việc tính toán, véctơ mômen ngẫu lực tổng cộng M có thểtìm bằng phương pháp giải tích nhờ định lý hình chiếu véctơ lên một trục là: M x = ∑ mkx , M y = ∑ mky , M z = ∑ mkz G Đó là các hình chiếu của véctơ M lên các trục toạ độ x, y, z. Trị số của M là: M = M 2x + M 2y + M 2zChương I Các khái niệm cơ bản-Hệ tiên đề tĩnh học Trang 17GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC CHƯƠNG II LÝ THUYẾT HỆ LỰCBây giờ, ta sẽ áp dụng các lý luận ở trên để nghiên cứu cho hệ lực. Để khảo sát một hệlực ta tiến hành hai bước sau : - Thu gọn hệ lực - Tìm điều kiện cân bằng của hệ lựcTrước khi thu gọn, ta phải nắm vững hai đặc trưng hình học cơ bản của hệ lực. §1. HAI ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CƠ BẢN CỦA HỆ LỰC1.1 Véctơ chính của hệ lực : 1. Định nghĩa : Giả sử cho một hệ lực G G G G z G F1 , F2 , F3 ,..., Fn tác dụng lên vật rắn, ta định F1 nghĩa véctơ chính của hệ lực như sau : G F2 Véctơ chính của hệ lực là một véctơ O y bằng tổng hình học véctơ các lực thành G phần của hệ lực đó. Ta gọi R " là véctơ G x Fn chính của hệ lực, thì : Hình 27 G n G R" = ∑ Fk (2.1) k =1 2. Phương pháp xác định véctơ chính : Nếu chiếu đẳng thức véctơ (2.1) lên các trục toạ độ Đề-các vuông góc x, y, z ta được : R" x = ∑ Fkx = ∑ X k R" y = ∑ Fky = ∑ Yk (2.2) R" z = ∑ Fkz = ∑ Z k G Trong đó R" x , R" y , R" z là các hình chiếu véctơ R " , còn X k , Yk , Z k là hình chiếu lực G Fk lên các trục toạ độ x, y, z. G Từ công thức (2.2) ta tìm trị số, phương chiều của véctơ chính R " như sau : R" = (∑ X ) + (∑ Y ) + (∑ Z ) k 2 k 2 k 2 (2.3)Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 18GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT I PHẦN TĨNH HỌC G R G Ry G R cos( x, R) = x , cos( x, R) = , cos( x, R) = z R R R G G G G Đặc biệt nếu các lực F1 , F2 , F3 ,..., Fn là hệ lực phẳng, các lực nằm trong cùng mặt phẳng thì véctơ chính chỉ có hai hình chiếu : R" x = ∑ X k , R" y = ∑ Yk (2.4) và R" = (∑ X ) + (∑ Y ) k 2 k 2 b. Phương pháp hình học : Phương pháp này chỉ dùng cho hệ lực phẳng, còn hệ lực không gian, đa giác lực là đa giác ghềnh, ta khó xác định đựoc. G G G G Thật vậy, cho một hệ lực ( F1 , F2 , F3 ,..., Fn ) tác dụng lên vật rắn. Từ điểm O bật kỳ (hình 28) ta lần lượt vẽ các véctơ : G G G G F2 Oa = F1 , ab = F2 , ..., de = Fn G G F1 F3 G Nối Oe ta được véctơ chính R " của hệ lực : G R" = Oe = Oa + ab + ... + de G G G G G c R" = F1 + F2 + ... + Fn = ∑ Fk a d G Đa giác Oab,..,de là đa giác lực, véctơ R" O eOe đóng kín đa giác lực là véctơ chính. Hình 28 G Nếu véctơ chính bằng không, tức là R"= 0 , thì điểm e trên đa giác lực sẽ trùngvới điểm O. Ta gọi đa giác lực tự đóng kín.1.2 Mômen chính của hệ lực : 1. Định nghĩa : Mômen chính của hệ lực đối với một tâm là tổng mômen các lực thành phần của hệ lực đối với cùng tâm ấy. 2.

Xem thêm: Tên Tiếng Anh Của 12 Cung Hoàng Đạo Tiếng Anh: Tính Cách Hay Nhất!

Biểu thức và cách xác định : Đối với hệ lực không gian bất kỳ, mômen chính đối G với tâm O là véctơ, kí hiệu M O . Theo định nghĩa ta có : G G G M O = ∑ mO ( Fk ) (2.5) Trong hệ lực phẳng mômen chính biểu diễn bằng mômen đại số : G M O = ∑ m ( Fk ) (2.6)Chương II Lý thuyết hệ lực Trang 19