Số phức và các dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều các bạn cảm thấy chúng kha khá trừu tượng và khá khó hiểu, 1 phần nguyên nhân là chúng ta đã quá quen cùng với số thực giữa những năm học tập trước.

Bạn đang xem: Bình phương số phức


Vì vậy, ở bài viết này romanhords.com sẽ khối hệ thống lại những dạng toán về số phức bên cạnh đó hướng dẫn phương pháp giải những dạng bài tập này. Trước lúc bắt tay vào giải những dạng bài xích tập số phức, các bạn cũng đề nghị nhớ những nội dung về định hướng số phức.

I. định hướng về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập đúng theo số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bằng nhau: 

*
*

2. Trình diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , (được trình diễn bởi điểm M(a,b) hay bởi 

*
 trong mặt phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- đến 2 số phức: , lúc đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- mang đến 2 số phức: , lúc đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân tách số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang đến số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 bao gồm đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 tất cả đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- cho phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức mang đến trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 trong nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân chia số phức dưới dạng lượng giác

- mang đến z = r(cosφ + isinφ) cùng z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Cách làm Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức bên dưới dạng lượng giác

• mang lại z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Những dạng toán về Số phức và giải pháp giải

Dạng 1: những phép tính về số phức

* cách thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và đặc điểm phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi giám sát các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng tốt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: đến số phức 

*
 Tính những số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng trước tiên của 1 cấp cho số nhân cùng với số hạng đầu tiên là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc thù của số phức, những phép chuyển đổi để xử lý bài toán.

° ví dụ như 1: tìm kiếm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức đề nghị tìm là 1 + i1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, với z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: khẳng định phần thực phần ảo, tra cứu đối số, nghịch đảo module, phối hợp của số phức và trình diễn hình học của số phức

* phương pháp giải: Dạng này chia làm nhiều loại bài xích toán tương quan tới tính chất của số phức.

♦ loại 1: search phần thực phần ảo của số phức

- bí quyết giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức vẫn cho tất cả phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đã cho có phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức vẫn cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ các loại 2: màn biểu diễn hình học của số phức

- bí quyết giải: sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong phương diện phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học tập của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức như thế nào có trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là màn trình diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ các loại 3: Tính Module của số phức

- cách giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: kiếm tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- bao gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ một số loại 4: kiếm tìm số đối của số phức

- giải pháp giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ các loại 5: search số phức liên hợp của số phức z

- cách giải: biến hóa số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức liên hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z cùng giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được các nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: tìm số phức nghịch đảo của số phức

- bí quyết giải: áp dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm các số thực khi 2 số phức bằng nhau.

- bí quyết giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x và y làm sao cho z = x + yi vừa lòng z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* cách thức giải:

♦ một số loại 1: Số phức z hài lòng về độ lâu năm (module) lúc đó ta áp dụng công thức 

♦ các loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), lúc đó ta sử dụng kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 và b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập hòa hợp điểm M màn trình diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập phù hợp điểm M là đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) call N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song tuy vậy với Ox

- Vậy quỹ tích của M là con đường thẳng qua N và song song cùng với Ox, chính là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là điểm biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường tròn trung khu I(1;-2) bán kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng những phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 với z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- khía cạnh khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- trường đoản cú (1) và (2) có VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức với phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z nếu w2 = z xuất xắc (x + yi)2 = a + bi.

- lưu giữ ý:

♦ khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản và dễ dàng sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, giỏi x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

- Là phương trình gồm dạng: az2 + bz + c = 0, trong những số ấy a, b, c là các số phức a≠0

- bí quyết giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình tất cả 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 lúc đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên tất cả 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tra cứu m để phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- gọi m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình tất cả 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình đang cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và mang về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- nhấn thấy, z=0 không hẳn nghiệm của phương trình đề nghị chia 2 vế mang đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) gồm 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, lúc ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) nhận biết z=0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt mang lại z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* phương pháp giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức gốc rễ cho hàng loạt công thức đặc trưng khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, bí quyết Euler.

- công thức 1: 

*

- cách làm 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được gọi là argument của z ký hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ quá ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính cực hiếm của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình đã cho có 2 nghiệm: 

*

- phương diện khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang lại trở thành: 

*

 

*
 (*)

- do z=-1 không hẳn là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm rất trị của số phức

* phương pháp giải: Vận dụng kiến thức và kỹ năng tìm rất trị

° lấy ví dụ như 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z bao gồm modul bé dại nhất.

Xem thêm: Hcl + Nacn = Nacl + Hcn Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu ? Hcn Là Chất Điện Li Mạnh Hay Yếu

* Lời giải:

- Đặt 

*
, lúc đó 
*

*
. Bởi vậy các điểm M màn biểu diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên phố tròn trọng điểm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá bán trị nhỏ tuổi nhất khi và chỉ còn khi điểm M∈(C) và gần O nhất. Khi ấy M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, cùng với M là giao điểm gần O hơn và 

*