Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi ghi nhớ và các dạng bài xích tập hay gặp

Bất đẳng thức Cô-si xuất xắc bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và mức độ vừa phải nhân của n số thực không âm. Nội dung bài viết hôm nay, thpt Sóc Trăng sẽ ra mắt về một trong những kiến thức phải nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI


1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn vẫn xem: Bất đẳng thức Cô-si: định hướng cần ghi lưu giữ và các dạng bài tập thường xuyên gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Gồm nhiều cách để chứng minh bđt này dẫu vậy hay tốt nhất là cách minh chứng quy hấp thụ của Cauchy.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi


Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và vừa phải nhân của n số thực ko âm được tuyên bố như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn to hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cùng chỉ bằng trung bình nhân khi còn chỉ khi n số đó bằng nhau.

*
*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ còn khi a = b

– Bất đẳng thức Cô say đắm với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

2. Những dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
x_1 - x_2 & ne 0 <3pt> left( x_1 - x_2 right) ^2 và > 0 <3pt> x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 0 <3pt> x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 và > 4 x_1 x_2 <3pt> left( x_1 + x_2 right) ^2& > 4 x_1 x_2 <3pt> Bigl( fracx_1 + x_22 Bigr)^2 và > x_1 x_2 <3pt> fracx_1 + x_22 & > sqrtx_1 x_2 endalign " />

điều buộc phải chứng minh.

d. Trường hợp n = 2k

Xem xét các trường hợp n= 2 k, với k là một số trong những nguyên dương. Cửa hàng chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học.

Trong trường phù hợp cơ bản,k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức đã được chứng tỏ ở trên.

Khi, tất cả một giá bán trị k> 1 bất kỳ, trả sử rằng bất đẳng thức đúng với n = 2k−1, và cần minh chứng rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm cho như vậy, quá trình được triển khai như sau:

*
*
*
*
sqrt<2^k>x_1 x_2 cdots x_2^k" />

(điều cần chứng minh).

e. Trường thích hợp n k

Nếu n không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn rằng là nhỏ tuổi hơn một vài nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vày chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn trên. Vày đó, nhưng không mất tính tổng quát, với m giá trị tuân thủ theo đúng hàm mũ tự nhiên cơ số 2 bự hơn n.

Xem thêm: Xây Dựng Đảng Về Đạo Đức, Liên Hệ Bản Thân, Xây Dựng Đảng Về Đạo Đức Trong Điều Kiện Hiện Nay

Vì vậy, ví như ta có n số, thì ta hoàn toàn có thể biểu diễn quý hiếm trung bình cùng α, cùng được không ngừng mở rộng như sau:

*
*
và = fracfracmn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + fracm-nn left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)m <6pt> & = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + left( m-n right) alpham <6pt> và = fracx_1 + x_2 + cdots + x_n + x_n+1 + cdots + x_mm <6pt> và > sqrtx_1 x_2 cdots x_n x_n+1 cdots x_m <6pt> & = sqrtx_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n,, endalign " />

như vậy

x_1 x_2 cdots x_n alpha^m-n <5pt> alpha^n và > x_1 x_2 cdots x_n <5pt> alpha & > sqrtx_1 x_2 cdots x_n endalign " />

điều nên chứng minh.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

a. Bài tập gồm lời giải:

Bài 1: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0 cùng ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 

*
. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, vận dụng bất đẳng thức Cô si đến hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi còn chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với tía số a, b, c ko âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán có được dấu bằng khi và bỏ ra khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô đam mê cho ba số a, b, c ko âm có:

*

Tương trường đoản cú ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: đổi mới đổi 

*
 rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: trở nên đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, bệnh minh:

*

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô say mê cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho bố số thực dương a, b, c thỏa mãn nhu cầu a + b + c = 3. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương thức làm trội)