Tích phân là kiến thức và kỹ năng quan trọng, để học xuất sắc thì học viên cần nhớ cục bộ công thức tích phân. Bài viết này đã giới thiệu cục bộ công thức và khối hệ thống các dạng tích phân thường gặp trong đề thi. Chỉ việc nhớ và áp dụng thành thạo là bạn đã đoạt điểm buổi tối đa.

Bạn đang xem: Tổng hợp các công thức tích phân và dạng bài tập liên quan


Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp đổi khác từ phương pháp tính tích phân2. Một trong những dạng toán thường gặpPhương pháp tính tích phân từng phần

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số (fleft( x ight)) liên tiếp trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là 1 trong nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) bên trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được gọi là tích phân của (f) từ bỏ (a) mang đến (b). Kí hiệu:

$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$

Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số (f,g) liên tục trên (left< a;b ight>,c) là điểm bất kì nằm trong (left< a;b ight>). Lúc ấy ta có:

(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân những hàm số cơ bạn dạng (đa thức, lượng giác, mũ,…) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bạn dạng kết phù hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))

ở đó, (fleft( x ight)) là hàm tiếp tục trên (left< a;b ight>) và (Fleft( x ight)) là 1 trong những nguyên hàm của (fleft( x ight)).


*

Tính tích phân bao gồm chứa dấu quý hiếm tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng (intlimits_a^b dx ), phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hoàn hảo hàm (fleft( x ight)) trên từng khoảng nhỏ dại nằm trong tầm (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt những tích phân đó.

Phương pháp thay đổi từ cách làm tính tích phân

1. Kiến thức và kỹ năng cần nhớ


Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức thay đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )

2. Một số trong những dạng toán hay gặp


Dạng 1: Tính tích phân bằng phương thức đổi trở thành (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), thay đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi vươn lên là (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo bí quyết (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức phải nhớ


Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )

2. Một trong những bài toán hay áp dụng cách thức tích phân từng phần


Dạng 1: Tích phân bao gồm chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 2: Tích phân gồm chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm nhiều thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 4: Tích phân bao gồm chứa hàm con số giác cùng hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

Xem thêm: Giải Bài Tập Toán 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 Trang 140, 141 Sgk Đại Số

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Hy vọng với nội dung bài viết này để giúp ích các bạn đạt hiệu quả cao.