Bài viết trả lời tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, đó là dạng toán thường gặp trong công tác Giải tích 12.

Bạn đang xem: Bài tập nguyên hàm từng phần

I. KIẾN THỨC VẬN DỤNG1. Định lí: nếu như $u = u(x)$ với $v = v(x)$ là nhì hàm số gồm đạo hàm tiếp tục trên $K$ thì $int u dv = uv – int v du.$

2. Phương thức chung sử dụng cách thức nguyên hàm từng phần kiếm tìm $int f (x)dx.$+ biến hóa $int f (x)dx = int p (x)q(x)dx$, $q(x)$ tìm nguyên hàm dễ hơn $p(x).$+ Đặt $left{ eginarray*20lu = p(x)\dv = q(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = p"(x)dx\v = Q(x)endarray ight.$ cùng với $Q(x)$ là 1 trong nguyên hàm của $q(x).$+ $int f (x)dx$ $ = p(x)Q(x) – int Q (x)p"(x)dx.$

3. Bí quyết đặt $u$, $dv$ một vài trường hòa hợp hay gặp.Trong bảng bưới trên đây ta gồm $p(x)$ là hàm đa thức.Cách nhớ: Ưu tiên đặt $u$ theo câu: Nhất lô, hai đa, tam lượng, tứ mũ.

*

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x + 1)e^x.$A. $int (2x + 1)e^xdx = (2x – 1)e^x + C.$B. $int (2x + 1)e^xdx = (2x + 3)e^x + C.$C. $int (2x + 1)e^xdx = (2x – 3)e^x + C.$D. $int (2x + 1)e^xdx = (2x + 1)e^x + C.$

Lời giải:Cách 1: Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x + 1\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = e^xendarray ight..$Khi đó $int (2x + 1)e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – int 2 e^xdx.$$ = (2x + 1)e^x – 2e^x + C$ $ = (2x – 1)e^x + C.$Chọn đáp án A.Cách 2: thực hiện bảng: Ta theo dõi và quan sát lại biện pháp làm bên trên và bổ sung như sau:Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x + 1\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = e^xendarray ight..$Khi đó $int (2x + 1)e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – int 2e^xdx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = 2\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 0dx\v = e^xendarray ight..$Khi kia $int 2 e^xdx = 2e^x + C.$$ Rightarrow int (2x + 1)e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – 2e^x + int 0e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – 2e^x + C.$Từ đó ta có thể trình bày cấp tốc theo bảng sau:

*

$ Rightarrow int (2x + 1)e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – 2e^x$ $ + int 0e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – 2e^x + C.$Chọn đáp án A.Phân tích kết quả:Cột trái mang $u$ với đạo hàm đến khi bằng $0$ thì dừng lại.Ta thấy công dụng bằng nhân chéo theo mũi thương hiệu lần 1 trừ nhân chéo cánh theo mũi thương hiệu lần 2.Tương từ nếu có nhiều mũi thương hiệu thì ta có hiệu quả tương tự: nhân chéo cánh lần 1 trừ nhân chéo lần 2 cùng nhân chéo cánh lần 3 trừ nhân chéo lần 4 ….

Ví dụ 2: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2e^ – x.$A. $int x^2 e^ – xdx = left( x^2 + 2x + 2 ight)e^ – x + C.$B. $int x^2 e^ – xdx = left( – x^2 + 2x – 2 ight)e^ – x + C.$C. $int x^2 e^ – xdx = left( x^2 – 2x + 2 ight)e^ – x + C.$D. $int x^2 e^ – xdx = left( – x^2 – 2x – 2 ight)e^ – x + C.$

Lời giải:Cách 1:Đặt $left{ eginarray*20lu = x^2\dv = e^ – xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2xdx\v = – e^ – xendarray ight..$Khi kia $int x^2 e^ – xdx = – x^2e^ – x + int 2 xe^ – xdx.$Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x\dv = e^ – xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = – e^ – xendarray ight..$Khi đó $int 2 xe^ – xdx$ $ = – 2xe^ – x + int 2 e^ – xdx$ $ = – 2xe^ – x – 2e^ – x + C.$$ Rightarrow int x^2 e^ – xdx$ $ = – x^2e^ – x – 2xe^ – x – 2e^ – x + C$ $ = left( – x^2 – 2x – 2 ight)e^ – x + C.$Chọn giải đáp D.Cách 2: áp dụng bảng:

*

$ Rightarrow int x^2 e^ – xdx$ $ = – x^2e^ – x – 2xe^ – x – 2e^ – x + C$ $ = left( – x^2 – 2x – 2 ight)e^ – x + C.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: đến $int (5x + 1)e^ – xdx $ $ = (mx + n)e^x + C$ với $m$, $n$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = 3m + n.$A. $S=-15.$B. $S=21.$C. $S=-21.$D. $S=15.$

Lời giải:Cách 1:Đặt $left{ eginarray*20lu = 5x + 1\dv = e^ – xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 5dx\v = – e^ – xendarray ight..$Khi kia $int (5x + 1)e^ – xdx $ $ = – (5x + 1)e^ – x + int 5e^ – x .$$ = – (5x + 1)e^ – x – 5e^ – x + C$ $ = ( – 5x – 6)e^ – x + C.$$ Rightarrow m = – 5$, $n = – 6$ $ Rightarrow S = 3m + n = – 21.$Chọn đáp án C.Cách 2: sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow int x^2 e^ – xdx$ $ = – (5x + 1)e^ – x – 5e^ – x + C$ $ = ( – 5x – 6)e^ – x + C.$Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: cho $int (3x + 2)e^ – 2xdx $ $ = (mx + n)e^x + C$ với $m$, $n$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – n.$A. $S=-10.$B. $S = frac14.$C. $S = frac54.$D. $S=10.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow int (3x + 2)e^ – 2xdx $ $ = – frac12(3x + 2)e^ – 2x – frac34e^ – 2x + C$ $ = left( – frac32x – frac74 ight)e^ – 2x + C.$$ Rightarrow m = – frac32$, $n = – frac74$ $ Rightarrow S = m – n = frac14.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 5: mang lại $int left( x^2 + x – 1 ight)e^xdx $ $ = left( mx^2 + nx + p ight)e^x + C$ với $m$, $n$, $p$ là những số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$A. $S=2.$B. $S=0.$C. $S=-2.$D. $S=3.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$int left( x^2 + x – 1 ight)e^xdx $ $ = left( x^2 + x – 1 ight)e^x$ $ – (2x + 1)e^x + 2e^x + C$ $ = left( x^2 – x ight)e^x + C.$$ Rightarrow m = 1$, $n = – 1$, $p = 0$ $ Rightarrow S = m + n + phường = 0.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 6: mang lại $F(x) = frac14x^4 + frac13x^3$ là 1 trong những nguyên hàm của hàm số $xf(x).$ search nguyên hàm của hàm số $f"(x)e^x.$A. $int f’ (x)e^xdx = (2x – 1)e^x + C.$B. $int f’ (x)e^xdx = (2x + 1)e^x + C.$C. $int f’ (x)e^xdx = (2x – 3)e^x + C.$D. $int f’ (x)e^xdx = (2x + 3)e^x + C.$

Lời giải:Ta có $F(x) = frac14x^4 + frac13x^3$ $ Rightarrow F"(x) = x^3 + x^2.$Theo đề bài bác suy ra $F"(x) = xf(x)$ $ Rightarrow f(x) = x^2 + x$ $ Rightarrow f"(x) = 2x + 1.$Suy ra $int f’ (x)e^xdx = int (2x + 1)e^xdx. $Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x + 1\dv = e^xendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = e^xendarray ight..$$ Rightarrow int f’ (x)e^xdx$ $ = int (2x + 1)e^xdx $ $ = (2x + 1)e^x – 2int e^x dx$ $ = (2x + 1)e^x – 2e^x + C.$$ = (2x – 1)e^x + C.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 7: cho $F(x) = x^3 + frac1x$ là một nguyên hàm của hàm số $frac – 1x^2 + xf(x).$ kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)e^ – x.$A. $int f (x)e^ – xdx = – 3xe^ – x + 3e^ – x + C.$B. $int f (x)e^ – xdx = – 3xe^ – x – 3e^ – x + C.$C. $int f (x)e^ – xdx = 3xe^ – x – 3e^ – x + C.$D. $int f (x)e^ – xdx = 3xe^ – x + 3e^ – x + C.$

Lời giải:Ta tất cả $F(x) = x^3 + frac1x$ $ Rightarrow F"(x) = 3x^2 – frac1x^2.$Theo đề suy ra $F"(x) = – frac1x^2 + xf(x)$ $ Rightarrow – frac1x^2 + 3x^2 = – frac1x^2 + xf(x)$ $ Rightarrow f(x) = 3x.$Suy ra $int f (x)e^ – xdx = int 3 xe^ – xdx.$Đặt $left{ eginarray*20lu = 3x\dv = e^ – xendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 3dx\v = – e^ – xendarray ight..$$ Rightarrow int f (x)e^ – xdx$ $ = int 3 xe^ – xdx = – 3xe^ – x + 3int e^ – x dx$ $ = – 3xe^ – x – 3e^ – x + C.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 8: cho $F(x) = (x – 1)e^x$ là 1 trong nguyên hàm của hàm số $f(x)e^2x.$ search nguyên hàm của hàm số $f"(x)e^2x.$A. $int f’ (x)e^2xdx = (x – 2)e^x + C.$B. $int f’ (x)e^2xdx = frac2 – x2e^x + C.$C. $int f’ (x)e^2xdx = (2 – x)e^x + C.$D. $int f’ (x)e^2xdx = (4 – 2x)e^x + C.$

Lời giải:Ta có $F(x) = (x – 1)e^x$ $ Rightarrow F"(x) = xe^x.$Theo đề suy ra $F"(x) = f(x)e^2x$ $ Rightarrow xe^x = f(x)e^2x.$$ Rightarrow f(x) = xe^ – x$ $ Rightarrow f"(x) = (1 – x)e^ – x.$$int f’ (x)e^2xdx$ $ = int (1 – x)e^xdx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = 1 – x\dv = e^xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = – dx\v = e^xendarray ight..$$ Rightarrow int f’ (x)e^2xdx$ $ = (1 – x)e^x + int e^x dx$ $ = (1 – x)e^x + e^x + C$ $ = (2 – x)e^x + C.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 9: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 5)sin x.$A. $int (3x + 5) sin xdx$ $ = – (3x + 5)cos x + 3sin x + C.$B. $int (3x + 5) sin xdx$ $ = (3x + 5)cos x – 3sin x + C.$C. $int (3x + 5) sin xdx$ $ = – (3x + 5)sin x + 3cos x + C.$D. $int (3x + 5) sin xdx$ $ = (3x + 5)sin x – 3cos x + C.$

Lời giải:Cách 1:Đặt $left{ eginarray*20lu = 3x + 5\dv = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 3dx\v = – cos xendarray ight..$Khi đó $int (3x + 5) sin xdx$ $ = – (3x + 5)cos x – int ( – 3cos x)dx .$$ = – (3x + 5)cos x + 3sin x + C.$Chọn đáp án A.Cách 2: sử dụng bảng:

*

$int (3x + 5) sin xdx$ $ = – (3x + 5)cos x + 3sin x + C.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 10: đến $int (2x + 1) sin 3xdx$ $ = (mx + n)cos 3x + psin 3x + C$ cùng với $m$, $n$, $p$ là những số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – 2n + p.$A. $S = frac29.$B. $S = frac92.$C. $S = frac119.$D. $S = frac112.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow int (2x + 1) sin 3xdx$ $ = – (2x + 1)frac13cos 3x + frac29sin 3x + C.$$ = left( – frac23x – frac13 ight)cos 3x + frac29sin 3x + C.$$ Rightarrow m = – frac23$, $n = – frac13$, $p = frac29$ $ Rightarrow S = m – 2n + p. = frac29.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 11: mang lại $int left( x^2 – x + 2 ight) sin xdx$ $ = left( mx^2 + nx + p ight)cos x$ $ + (qx + r)sin x + C$ cùng với $m$, $n$, $p$, $q$ là những số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p + q + r.$A. $S=0.$B. $S=1.$C. $S=2.$D. $S=3.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$int left( x^2 – x + 2 ight) sin xdx$ $ = – left( x^2 – x + 2 ight)cos x$ $ + (2x – 1)sin x$ $ + 2cos x + C.$$ = left( – x^2 + x ight)cos x + (2x – 1)sin x + C$ $ Rightarrow m = – 1$, $n = 1$, $p = 0$, $q = 2$, $r = – 1.$$ Rightarrow S = m + n + p. + q + r = 1.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 12: mang lại $int (3x + 4) cos xdx$ $ = (mx + n)sin x + pcos x + C$ cùng với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$A. $S=8.$B. $S=9.$C. $S=10.$D. $S=11.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$int (3x + 4) cos xdx$ $ = (3x + 4)sin x + 3cos x + C$ $ Rightarrow m = 3$, $n = 4$, $p = 3.$$ Rightarrow S = m + n + p = 10.$Chọn lời giải C.

Ví dụ 13: mang đến $int (3x + 2) cos 3xdx$ $ = (mx + n)sin 3x + pcos 3x + C$ cùng với $m$, $n$, $p$ là những số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m – n + p.$A. $S=0.$B. $S=1.$C. $S=2.$D. $S=3.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$int (3x + 4) cos xdx$ $ = frac13(3x + 2)sin 3x + frac13cos 3x + C.$$ = left( x + frac23 ight)sin 3x + frac13cos 3x + C.$$ Rightarrow m = 1$, $n = frac23$, $p = frac13$ $ Rightarrow S = m + n + p. = 2.$

Ví dụ 14: đến $int left( 2x^2 + x + 1 ight) cos 2xdx$ $ = left( mx^2 + nx + p ight)sin 2x$ $ + (qx + r)cos 2x + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m.n.p.q.r.$

Lời giải:Sử dụng bảng:

*

$int left( 2x^2 + x + 1 ight) cos 2xdx$ $ = frac12left( 2x^2 + x + 1 ight)sin 2x$ $ + frac14(4x + 1)cos 2x$ $ – frac12sin 2x + C.$$ = left( x^2 + frac12x ight)sin 2x$ $ + left( x + frac14 ight)cos 2x + C$ $ Rightarrow m = 1$, $n = frac12$, $p = 0$, $q = 1$, $r = frac14.$$ Rightarrow S = m.n.p.q.r = 0.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 15: đến $int (2x – 5) cos ^2xdx$ $ = left( mx^2 + nx ight)$ $ + (px + q)sin 2x$ $ + rcos 2x + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$, $h$ là những số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + phường + q + r.$A. $S = – frac52.$B. $S = 0.$C. $S = frac54.$D. $S = frac58.$

Lời giải:

*

$int (2x – 5) cos ^2xdx$ $ = (2x – 5)left( frac12x + frac14sin 2x ight)$ $ – 2left( frac14x^2 – frac18cos 2x ight) + C.$$ = left( fracx^22 – frac52x ight)$ $ + left( fracx2 – frac54 ight)sin 2x$ $ + frac14cos 2x + C.$$ Rightarrow m = frac12$, $n = – frac52$, $p = frac12$, $q = – frac54$, $r = frac14.$$ Rightarrow S = m + n + p. + q + r = – frac52.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 16: mang lại $int 1 6xsin ^22xdx$ $ = mx^2 + mxsin 4x$ $ + pcos 4x + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S= m.n.p.$A. $S=-6.$B. $S=4.$C. $S=5.$D. $S=8.$

Lời giải:

*

$int 1 6xsin ^22xdx$ $ = 16xleft( frac12x – frac18sin 4x ight)$ $ – 16left( frac14x^2 + frac132cos 4x ight) + C.$$ = 4x^2 – 2xsin 4x – frac12cos 4x + C$ $ Rightarrow m = 4$, $n = – 2$, $p = – frac12.$$ Rightarrow S = m.n.p = 4.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 17: đến $int frac2x + 1cos ^2x dx$ $ = (mx + n) an x$ $ + pln |cos x| + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p.$A. $S=2.$B. $S=3.$C. $S=4.$D. $S=5.$

Lời giải:

*

$int frac2x + 1cos ^2xdx $ $ = (2x + 1) an x$ $ + 2ln |cos x| + C.$$ Rightarrow m = 2$, $n = 1$, $p = 2.$$ Rightarrow S = m + n + p = 5.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 18: cho $int frac9x + 2sin ^23xdx $ $ = (mx + n)cot 3x$ $ + pln |sin 3x| + C$ với $m$, $n$, $p$ là những số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S= m.n.p.$A. $S=0.$B. $S=2.$C. $S=4.$D. $S=6.$

Lời giải:

*

$int frac9x + 2sin ^23xdx $ $ = left( – 3x – frac23 ight)cot 3x$ $ + ln |sin 3x| + C$ $ Rightarrow m = – 3$, $n = – frac23$, $p = 1.$$ Rightarrow S = m.n.p = 2.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: mang đến $int sin sqrt x dx$ $ = msqrt x cos sqrt x + nsin sqrt x + C$ với $m$, $n$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, điểm $M(m;n)$ là đỉnh của parabol như thế nào sau đây?A. $y = x^2 + 4x + 6.$B. $y = – x^2 – 4x + 1.$C. $y = x^2 + 4x + 3.$D. $y = 2x^2 + 8x + 3.$

Lời giải:Cách 1:Đặt $left{ eginarray*20lu = 2sqrt x \dv = frac12sqrt x sin sqrt x dx = sin sqrt x d(sqrt x )endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1sqrt x dx\v = – cos sqrt x endarray ight..$Khi đó $int sin sqrt x dx$ $ = int 2 sqrt x .frac12sqrt x sin sqrt x dx$ $ = – 2sqrt x cos sqrt x + int frac1sqrt x cos sqrt x dx.$$ = – 2sqrt x cos sqrt x $ $ + 2int cos sqrt x d(sqrt x )$ $ = – 2sqrt x cos sqrt x + 2sin sqrt x + C.$$ Rightarrow m = – 2$, $n = 2$ $ Rightarrow M( – 2;2)$ là đỉnh của parabol $y = x^2 + 4x + 6.$Chọn đáp án A.Cách 2: thực hiện bảng:

*

$int sin sqrt x dx$ $ = int 2 sqrt x .frac12sqrt x sin sqrt x dx$ $ = – 2sqrt x cos sqrt x + 2sin sqrt x + C.$Chọn câu trả lời A.Chú ý: Khi sử dụng bảng ta rất có thể dừng lại một bước nào kia chuyển một trong những phần từ $u$ sang trọng $dv$ hoặc ngược lại rồi có tác dụng tiếp.

Ví dụ 20: mang lại $int sqrt x sin sqrt x dx$ $ = (mx + n)cos sqrt x $ $ + psqrt x sin sqrt x + C$ với $m$, $n$, $p$ là những số nguyên, $C$ là hằng số. Vào hệ trục tọa độ $Oxyz$, điểm $M(m;n;p)$ thuộc phương diện phẳng tất cả phương trình như thế nào sau đây?A. $x + y – z + 2 = 0.$B. $x – y – z – 2 = 0.$C. $x + y = 0.$D. $x + z = 0.$

Lời giải:$int sqrt x sin sqrt x dx$ $ = int 2 xfrac12sqrt x sin sqrt x dx.$

*

$int sqrt x sin sqrt x dx$ $ = – 2xcos sqrt x $ $ + 4sqrt x sin sqrt x $ $ + 4cos sqrt x + C.$$ = ( – 2x + 4)cos sqrt x + 4sqrt x sin sqrt x + C$ $ Rightarrow m = – 2$, $n = 4$, $p = 4.$$ Rightarrow M( – 2;4;4)$ thuộc khía cạnh phẳng $x + y – z + 2 = 0.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 21: mang đến $F(x) = 2xe^x$ là 1 nguyên hàm của hàm số $e^xf(x).$ search nguyên hàm của hàm số $f(x)sin x.$A. $int f (x)sin xdx$ $ = (2x + 2)cos x – 2sin x + C.$B. $int f (x)sin xdx$ $ = (2x + 2)cos x + 2sin x + C.$C. $int f (x)sin xdx$ $ = – (2x + 2)cos x – 2sin x + C.$D. $int f (x)sin xdx$ $ = – (2x + 2)cos x + 2sin x + C.$

Lời giải:Ta gồm $F(x) = 2xe^x$ $ Rightarrow F"(x) = 2e^x + 2xe^x.$Theo đề suy ra $F"(x) = e^xf(x)$ $ Rightarrow f(x) = 2x + 2.$Suy ra $int f (x)sin xdx$ $ = int (2x + 2) sin xdx.$Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x + 2\dv = sin xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = – cos xendarray ight..$$ Rightarrow int f (x)sin xdx$ $ = – (2x + 2)cos x + 2int cos xdx $ $ = – (2x + 2)cos x + 2sin x + C.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 22: mang lại $F(x) = frac14x^4 – frac13x^3$ là một trong nguyên hàm của hàm số $xf(x).$ tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f"(x)cos x.$A. $int f’ (x)cos xdx$ $ = (2x – 1)sin x – 2cos x + C.$B. $int f’ (x)cos xdx$ $ = (2x – 1)sin x + 2cos x + C.$C. $int f’ (x)cos xdx$ $ = (1 – 2x)sin x + 2cos x + C.$D. $int f’ (x)cos xdx$ $ = (1 – 2x)sin x – 2cos x + C.$

Lời giải:Ta có $F(x) = frac14x^4 – frac13x^3$ $ Rightarrow F"(x) = x^3 – x^2.$Theo đề suy ra $F"(x) = xf(x)$ $ Rightarrow f(x) = x^2 – x$ $ Rightarrow f"(x) = 2x – 1.$Suy ra $int f’ (x)cos xdx$ $ = int (2x – 1) cos xdx.$Đặt $left{ eginarray*20lu = 2x – 1\dv = cos xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = 2dx\v = sin xendarray ight..$$ Rightarrow int f’ (x)cos xdx$ $ = (2x – 1)sin x – 2int sin xdx $ $ = (2x – 1)sin x + 2cos x + C.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 23: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = ln x$?A. $int ln xdx = fracln ^2x2 + C.$B. $int ln xdx = frac1x + C.$C. $int ln xdx = xln x – x + C.$D. $int ln xdx = xln x + x + C.$

Lời giải:Cách 1: Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = xendarray ight..$Khi kia $int ln xdx = xln x – int d x$ $ = xln x – x + C.$Chọn đáp án C.Cách 2: áp dụng bảng:

*

$int ln xdx = xln x – int d x$ $ = xln x – x + C.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 24: mang đến $int (4x + 2) ln xdx$ $ = left( mx^2 + nx + p ight)ln x$ $ + qx^2 + rx + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + p. + q + r.$A. $S = 1.$B. $S=2.$C. $S=7.$D. $S=6.$

Lời giải:

*

$int (4x + 2) ln xdx$ $ = left( 2x^2 + 2x ight)ln x$ $ – left( x^2 + 2x ight) + C.$$ Rightarrow m = 2$, $n = 2$, $p = 0$, $q = – 1$, $r = – 2$ $ Rightarrow S = m + n + phường + q + r = 1.$Chọn đáp án A.

Ví dụ 25: đến $int x ln ^2xdx$ $ = frac1mx^2ln ^2x + frac1nx^2ln x$ $ + frac1px^2 + C$ với $m$, $n$, $p$ là các số nguyên, $C$ là hằng số. Tính $S=m+n-p.$A. $S=0.$B. $S=-4.$C. $S=8.$D. $S=4.$

Lời giải:

*

$int x ln ^2xdx$ $ = fracx^22ln ^2x – fracx^22ln x + fracx^24 + C$ $ Rightarrow m = 2$, $n = – 2$, $p = 4.$$ Rightarrow S = m + n – p = – 4.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 26: đến $int (6x + 1) ln (x + 1)dx$ $ = left( mx^2 + nx ight)ln (x + 1)$ $ + px^2 + qx + rln (x + 1) + C$ với $m$, $n$, $p$, $q$, $r$ là các số hữu tỉ, $C$ là hằng số. Tính $S = m + n + phường + q + r.$A. $S = frac32.$B. $S = – frac32.$C. $S = frac12.$D. $S = frac52.$

Lời giải:

*

$int (6x + 1) ln (x + 1)dx$ $ = left( 3x^2 + x ight)ln (x + 1)$ $ – frac3x^22 + 2x – 2ln (x + 1) + C.$$ Rightarrow m = 3$, $n = 1$, $p = – frac32$, $q = 2$, $r = – 2$ $ Rightarrow S = m + n + p + q + r = frac52.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 27: mang lại $F(x) = frac12x^2$ là một trong những nguyên hàm của hàm số $fracf(x)x.$ tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f"(x)ln x.$A. $int f’ (x)ln xdx$ $ = – left( fracln xx^2 + frac12x^2 ight) + C.$B. $int f’ (x)ln xdx$ $ = fracln xx^2 + frac1x^2 + C.$C. $int f’ (x)ln xdx$ $ = – left( fracln xx^2 + frac1x^2 ight) + C.$D. $int f’ (x)ln xdx$ $ = fracln xx^2 + frac12x^2 + C.$

Lời giải:Ta có $F(x) = frac12x^2$ $ Rightarrow F"(x) = – frac1x^3.$Theo đề suy ra $F"(x) = fracf(x)x$ $ Rightarrow f(x) = – frac1x^2.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = f"(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = f(x) = – frac1x^2endarray ight..$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = f"(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = f(x) = – frac1x^2endarray ight..$$ Rightarrow int f’ (x)ln xdx$ $ = – fracln xx^2 + int frac1x^3dx $ $ = – fracln xx^2 – frac12x^2 + C$ $ = – left( fracln xx^2 + frac12x^2 ight) + C.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 28: mang lại $int fracln xx^2dx = fracaxln x + fracbx + C$ với $a$, $b$ là những số nguyên, $C$ là hằng số. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, điểm $M(a;b)$ ở trên vật dụng thị hàm số nào sau đây?A. $y=x.$B. $y=2x+3.$C. $y = x^2.$D. $y=3x +1.$

Lời giải:

*

$int fracln xx^2dx $ $ = – frac1xln x – frac1x + C$ $ Rightarrow a = – 1$, $b = – 1.$$ Rightarrow M( – 1; – 1)$ thuộc đường thẳng $y = x.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 29: mang lại $int frac1 + x^2x^3 ln xdx$ $ = frac1mln ^2x + frac1n.fracln xx^2$ $ + frac1p.frac1x^2 + C$ với $m$, $n$, $p$ là những số nguyên, $C$ là hằng số. Trong không khí với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $h$ từ bỏ điểm $M(m;n;p)$ đến gốc tọa độ.A. $h = sqrt 6 .$B. $h=2.$C. $h = 2sqrt 6 .$D. $h = 3sqrt 6 .$

Lời giải:Ta gồm $int frac1 + x^2x^3 ln xdx$ $ = int fracln xx^3dx + int fracln xxdx .$+ $int fracln xxdx $ $ = int ln xd(ln x) = fracln ^2x2 + C_1.$+ thực hiện bảng tính $int fracln xx^3dx. $

*

$ Rightarrow int fracln xx^3dx $ $ = – fracln x2x^2 – frac14x^2 + C_2.$$int frac1 + xx^2 ln xdx$ $ = fracln ^2x2 – fracln x2x^2 – frac14x^2 + C$ $ Rightarrow m = 2$, $n = – 2$, $p = – 4.$$ Rightarrow M(2; – 2; – 4).$$ Rightarrow h = OM$ $ = sqrt (2 – 0)^2 + ( – 2 – 0)^2 + ( – 4 – 0)^2 $ $ = 2sqrt 6 .$Chọn lời giải C.

Xem thêm: Cách Vẽ Chim Bay Trên Trời Png, Cách Vẽ Bầu Trời

Ví dụ 30: mang đến $F(x) = – frac13x^3$ là một trong nguyên hàm của hàm số $fracf(x)x.$ tìm nguyên hàm của hàm số $f"(x)ln x.$A. $int f’ (x)ln xdx = fracln xx^3 + frac15x^5 + C.$B. $int f’ (x)ln xdx = fracln xx^3 – frac15x^5 + C.$C. $int f’ (x)ln xdx = fracln xx^3 + frac13x^3 + C.$D. $int f’ (x)ln xdx = – fracln xx^3 + frac13x^3 + C.$

Lời giải:Ta tất cả $F(x) = – frac13x^3$ $ Rightarrow F"(x) = frac3x^23x^6 = frac1x^4.$Theo đề suy ra $F"(x) = fracf(x)x$ $ Rightarrow f(x) = frac1x^3.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = f"(x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = f(x) = frac1x^3endarray ight..$$ Rightarrow int f’ (x)ln xdx$ $ = fracln xx^3 – int frac1x^4dx $ $ = fracln xx^3 + frac13x^3 + C.$Chọn lời giải C.